1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . , ϕn ) есть решение уравнения (76).Это можно и непосредственно проверить, если подставить ϕ =F (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) в уравнение (76) и принять во внимание, чтофункции ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn удовлетворяют этому уравнению. Можнопоказать, на чем мы не останавливаемся, что при выполнении некоторых условий этой формулой выражается любое решение уравнения (76). Отсюда получается следующее правило интегрированияэтого уравнения: чтобы найти общее решение уравнения с частными производными (76), надо составить систему обыкновенныхдифференциальных уравнений (74) и найти n независимых интегралов (77) этой системы. Общее решение уравнения (78) будетϕ = F (ϕ1 , ϕ2 , . .
. , ϕn ),где F — произвольная функция своих n аргументов.Линейное относительно частных производных уравнение (76)обладает двумя особенностями: его коэффициенты Xi не содержатискомой функции ϕ и его свободный член равен нулю. В общемслучае линейного уравнения будем иметь уравнение видаY1∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ Y2+ .
. . + Yn+ Yn+1 = 0,∂x1∂x2∂xn(78)где Y1 , Y2 , . . . , Yn+1 содержат x1 , x2 , . . . , xn и ϕ. Будем искать семейство решений уравнения (78) в виде неявной функцииω(x1 , x2 , . . . , xn , ϕ) = C,(791 )где C — произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявной функции∂ω∂ϕi;= − ∂x∂ω∂xi∂ϕподставляя в (78), получим для ω уравнениеY1∂ω∂ω∂ω∂ω+ Y2+ . . .
+ Yn+ Yn+1= 0,∂x1∂x2∂xn∂ϕ(792 )23]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .89обладающее указанными выше двумя особенностями. Заметим, чтоввиду произвольности C в (791 ) переменные x1 , x2 , . . . , xn , ϕ могут иметь любые значения, и, как и выше, отсюда вытекает, чтоуравнение (792 ) должно выполняться тождественно относительноx1 , x2 , . . . , xn , ϕ. Его решение приводится к интегрированию соответствующей ему системы обыкновенных уравнений.
Если ω найдено, то (791 ) определит нам ϕ. Можно показать, что при некоторых общих предположениях относительно Yk таким путем можнополучать все решения уравнения (78).Обратим внимание на то, что общее решение уравнения с частными производными содержит произвольную функцию, тогда как вобщее решение обыкновенных дифференциальных уравнений входят лишь произвольные постоянные.В томе IV мы подробно изучим линейные уравнения с частнымипроизводными и установим соответствующую теорему существования и единственности.23. Геометрическая интерпретация.
Дадим геометрическуюинтерпретацию изложенной в [22] теории для случая трех переменных. Положим, что мы имеем в трехмерном пространстве поле направлений, т. е. в каждой точке пространства задано определенноенаправление. Введем какие-нибудь прямолинейные прямоугольныекоординатные оси. При этом всякое направление будет определяться тремя числами, пропорциональными направляющим косинусамэтого направления, т.
е. косинусам углов, образованных этим направлением с осями координат. Мы имеем в разных точках, вообще говоря, различные направления, и все поле направлений будетопределяться тремя функциямиu(x, y, z),v(x, y, z),w(x, y, z),(80)так что направляющие косинусы направления, заданного в точке(x, y, z), пропорциональны величинам (80).Как и для уравнения первого порядка, поставим себе задачунайти в пространстве такие кривые, в каждой точке которых касательная имеет то самое направление, которое в этой точке задано данным полем направлений.
Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам90Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[23dx, dy, dz, а при совпадении двух направлений величины, пропорциональные их направляющим косинусам, должны быть пропорциональны между собою, т. е. для определения искомых линий впространстве мы имеем систему дифференциальных уравненийdydzdx==.u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)(81)Интегрирование этой системы сводится к нахождению ее двухнезависимых интеграловϕ1 (x, y, z) = C1 ,ϕ2 (x, y, z) = C2 ,(82)т.
е. таких, что уравнения (82) разрешимы относительно каких-либодвух переменных. Эти два уравнения определяют некоторую линию пространства [I, 160]; придавая C1 и C2 различные численныезначения, получим семейство интегральных линий системы (81).Начальные условия сводятся к требованию, чтобы искомая линияпроходила через заданную точку (x0 , y0 , z0 ).
По этим начальнымусловиям определяются произвольные постоянные C1 и C2 .Перейдем теперь к геометрической интерпретации уравнения счастными производными. Считаем опять, что функции (80), как ивыше, определяют некоторое поле направлений. Требуется найтитакие поверхности, чтобы в каждой точке поверхности направление, определяемое в этой точке полем направлений, лежало в касательной плоскости к поверхности в этой точке.
Пусть уравнениенекоторого семейства искомых поверхностей будетϕ(x, y, z) = C.Направляющие косинусы нормали к этой поверхности, как извест∂ϕ ∂ϕно [I, 160], пропорциональны ∂ϕ∂x , ∂y , ∂z , и направление нормалидолжно быть перпендикулярно к направлению, определяемому величинами (80), так как последнее должно находиться в касательнойплоскости. Используя обычное условие перпендикулярности двухнаправлений [I, 160], получаем для определения ϕ линейное уравнение с частными производнымиu(x, y, z)∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ v(x, y, z)+ w(x, y, z)= 0.∂x∂y∂z(83)23]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. .
.91Соответствующая этому уравнению система обыкновенныхдифференциальных уравнений есть система (81), так что общее решение уравнения (83) имеет видϕ = F (ϕ1 , ϕ2 ),а общее уравнение искомых поверхностей будетF (ϕ1 , ϕ2 ) = 0,(84)где F — произвольная функция своих двух аргументов. Произвольную постоянную C можно не писать ввиду произвольности F , а ϕ1и ϕ2 дают два независимых интеграла (82) системы (81). Если выберем определенным образом функцию F , то поверхность (84) будет,очевидно, геометрическим местом тех интегральных линий системы (81), у которых значения постоянных в равенствах (82) связанысоотношениемF (C1 , C2 ) = 0.(85)Решение уравнения (83) становится, вообще говоря, определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую (L). Это требование является начальным условием для уравнения с частными производными(83). Искомая поверхность будет, очевидно, образована теми интегральными линиями системы (81), которые выходят из точек кривой (L), т.
е. для которых координаты точек кривой (L) определяютначальные условия. В силу теоремы существования и единственности, для системы (81) мы получаем таким образом определеннуюповерхность. Исключительным представляется тот случай, когдасама данная кривая (L) является интегральной кривой системы(81).
В этом случае предыдущее построение даст нам не поверхность, а саму кривую (L).Можно показать, что в этом случае через линию (L) проходит,вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей ϕ = 0, где ϕудовлетворяет уравнению (83). Подробно мы будем это излагать вчетвертом томе.Положим, что уравнение линии (L) задано в виде совокупностидвух уравненийψ1 (x, y, z) = 0,ψ2 (x, y, z) = 0.(86)92Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[24Исключая из четырех уравнений (82) и (86) переменные x, y,z, получим соотношение между C1 , и C2 , которое, в силу (85), иопределит вид функции F , которую надо взять, чтобы уравнение(84) давало искомую поверхность, проходящую через линию (86).24.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение с частными производнымиxz∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ yz− (x2 + y 2 )= 0.∂x∂y∂z(87)Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравненийбудетdydzdx==.(88)xzyz−(x2 + y 2 )Выше [20] мы нашли ее два независимых интегралаy= C1 ,xx 2 + y 2 + z 2 = C2 .(89)Первое из уравнений дает семейство плоскостей, проходящих через осьOZ, а второе — сферы с центром в начале координат. Интегральнымилиниями системы (88) будет семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат.
Общее решениеуравнения (87) будетy, x2 + y 2 + z 2 ,(90)ϕ=Fxгде F — произвольная функция своих двух аргументов. Найдем видфункции F так, чтобы поверхностьy, x2 + y 2 + z 2 = 0F(91)xпроходила через прямуюx = 1,y = z.(92)Исключаем x, y, и z из уравнений (89) и (92). Первое из уравнений (89)и уравнения (92) даютx = 1,y = C1 ,z = C1 ;подставляя во второе из уравнений (89), получаем соотношение междуC1 и C2 :1 + 2C12 − C2 = 0,т. е.F (C1 , C2 ) = 1 + 2C12 − C2 .24]§ 2.
Дифференциальные уравнения высших порядков. . .93При таком виде функции F уравнение (91) дает уравнение искомойповерхности1+2y2− (x2 + y 2 + z 2 ) = 0x2илиx2 + 2y 2 − x2 (x2 + y 2 + z 2 ) = 0.2. Положим, что поле направлений, определяемое системой дифференциальных уравнений, таково, что во всех точках пространства направление одно и то же. Пусть (a, b, c) — числа, пропорциональные направляющим косинусам этого фиксированного направления.
Системадифференциальных уравнений будетdydzdx==abcилиc dx − a dz = 0,c dy − b dz = 0,что дает сразу два интегралаcx − az = C1 ,cy − bz = C2 .Интегральные линии суть, очевидно, параллельные прямые линии,имеющие указанное выше фиксированное направление. Соответствующее уравнение с частными производнымиa∂ϕ∂ϕ∂ϕ+b+c=0∂x∂y∂z(93)определяет поверхности ϕ(x, y, z) = 0, являющиеся геометрическим местом некоторых из указанных выше прямых линий, т.
е. уравнение (93)есть уравнение цилиндрических поверхностей. Его общее решение имеетвидϕ = F (cx − az, cy − bz),где F — произвольная функция, и общее уравнение цилиндрических поверхностей, образующие которых имеют указанное выше направление,будетF (cx − az, cy − bz) = 0.3. Положим, что поле направлений таково, что в каждой точкеM (x, y, z) направление, даваемое полем, совпадает с направлением вектора, идущего из фиксированной точки A(a, b, c) в точку M (x, y, z). Проекции этого вектора на координатные оси будутx − a,y − b,z−c94Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
