1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Подставим в левую часть (20)y = erx ,(21)где r — некоторое вещественное или комплексное число. Дифференцируя и вынося erx за скобки, получимerx (r2 + pr + q) = 0,и функция (21) удовлетворяет уравнению (20), если r есть кореньквадратного уравненияr2 + pr + q = 0,(22)которое называется характеристическим уравнением для уравнения (20). В дальнейшем считаем, что p и q — вещественные числа.Если квадратное уравнение (20) имеет два различных вещественных корня r1 и r2 , то формула (21) дает нам два решения уравнения(20)y 1 = e r1 x , y 2 = e r2 x .(23)28]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами109Эти решения линейно независимы, ибо их отношение, равное er2 x :er1 x = e(r2 −r1 ) (r2 6= r1 ) не есть постоянная. Если корни не вещественны, то они мнимые сопряженные: r1 = α + βi и r2 = α −βi (β 6= 0)∗ . Взяв вещественную и мнимую части e(α+βi)x , получаем два также линейно независимых решения:1 (α+βi)x[e+ e(α−βi)x) ],21eαx sin βx = [e(α+βi)x − e(α−βi)x ]∗∗ .2ieαx cos βx =Положим теперь, что уравнение (22) имеет равные корни. Этобудет иметь место, если p2 − 4q = 0, и при этомp(24)r1 = r2 = − .2Изменим немного коэффициенты p и q так, чтобы корни сделались различными, например, сделаем так, чтобы корень r1 попрежнему имел значение (24), а корень r2 немного отличался отнего.
При этом получаются два решения (23). Вычтем первое решение из второго и разделим на постоянную (r2 − r1 ). Таким образом,мы опять получим решение [25]:y=e r2 x − e r1 x.r2 − r1(25)Будем теперь измененные значения коэффициентов p и q стремитьк их исходным значениям, при которых уравнение (22) имело двойной корень.
При этом r2 будет стремиться к r1 , в формуле (25)числитель и знаменатель будут стремиться к нулю, а вся дробь будет иметь своим пределом производную от функции erx по r приr = r1 , т. е. второе решение уравнение будет y2 = xer1 x . Итак, вслучае равных корней уравнения (22) мы имеем следующие двалинейно независимых решения:y 1 = e r1 x ,∗y2 = xer1 x .(26)Устаревшая терминология, r1 и r1 являются комплексно сопряженными.В качестве решений в этом случае можно взять экспоненты с комплексными показателями вида (23) допуская возможность комплексных произвольных постоянных.∗∗110Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[28Ввиду некоторой нестрогости предыдущих рассуждений убедимся непосредственной подстановкой, что y2 — действительно решение уравнения. Подставляя y2 в левую часть уравнения (20), получим(r12 xer1 x + 2r1 er1 x ) + p(r1 xer1 x + er1 x ) + qxer1 x == xer1 x (r12 + pr1 + q) + er1 x (2r1 + p).Первое из слагаемых правой части будет равно нулю, так как r = r1есть корень уравнения (22), а второе слагаемое равно нулю в силу (24) и таким образом действительно y2 есть решение уравнения(20).В случае вещественных различных корней r1 и r2 уравнение (20)имеет общий интегралy = C1 er1 x + C2 er2 x ,(27)в случае не вещественных сопряженных корней α±βi (β 6= 0) общийинтеграл будетy = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx),(28)в случае одного корня (двукратного) уравнения (20)y = (C1 + C2 x)erx .(29)Отметим еще тот частный случай формулы (28), когда уравнение(22) имеет чисто мнимый корень, т.
е. α = 0 и β 6= 0. При этомдолжно быть p = 0, а q должно быть положительным числом. Обозначая q = k 2 , мы будем для уравнения (22) иметь корни ±ki, иследовательно, уравнениеy ′′ + k 2 y = 0(30)y = C1 cos kx + C2 sin kx.(31)имеет общий интеграл29]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами11129. Линейные неоднородные уравнения второго порядкас постоянными коэффициентами. Рассмотрим теперь неоднородное уравнениеy ′′ + py ′ + qy = f (x),(32)где p и q — по-прежнему заданные вещественные числа и f (x) —заданная функция от x.
Для нахождения общего интеграла этогоуравнения достаточно найти его частное решение и сложить его собщим интегралом соответствующего однородного уравнения (20).Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можно при помощи квадратур найти это частное решение, пользуясьметодом изменения произвольных постоянных [26].
Проделаем это,например, для уравнения видаy ′′ + k 2 y = f (x).(33)Общий интеграл соответствующего однородного уравнения определяется формулой (31), и нам надо искать частное решение уравнения (33) в видеu = v1 (x) cos kx + v2 (x) sin kx,(34)где v1 (x) и v2 (x) — искомые функции от x. Уравнения (16) дают вданном случае для производных этих функций систему двух уравнений первой степениv1′ (x) cos kx + v2′ (x) sin kx = 0,1−v1′ (x) sin kx + v2′ (x) cos kx = f (x).kРешая ее, получим1v1′ (x) = − f (x) sin kx,kv2′ (x) =1f (x) cos kx.kНапишем первообразные функции в виде интеграла с переменным112Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[29верхним пределом и обозначим через ξ переменную интегрирования1v1 (x) = −kZxf (ξ) sin kξdξ,x01v2 (x) =kZxf (ξ) cos kξdξ,x0где x0 — некоторое фиксированное число. Подставляя в формулу(34), получим частное решениеcos kxu=−kZxx0sin kxf (ξ) sin kξdξ +kZxf (ξ) cos kξdξ(341 )x0или, внося множители, не зависящие от переменной интегрирования, под знак интеграла,1u=kZxx0f (ξ) sin k(x − ξ)dξ,(342 )и общий интеграл уравнения (33) будет1y = C1 cos kx + C2 sin kx +kZxx0f (ξ) sin k(x − ξ)dξ.Сделаем по поводу формулы (342 ) два замечания.
Переменная xвходит в правую часть этой формулы двояким образом. Во-первых,x является верхним пределом интеграла и, во-вторых, она входитпод знак интеграла не как переменная интегрирования, но как добавочный параметр, который считается постоянным при интегрировании. Далее, нетрудно показать, что частное решение (342 ) удовлетворяет нулевым начальным условиям при x = x0 , т. е.u|x=x0 = 0,u′ |x=x0 = 0.(343 )Первое из этих равенств непосредственно вытекает из (342 ), так какпри x = x0 верхний предел интеграла совпадает с нижним, и интеграл равен нулю.
Чтобы проверить второе равенство, определим u′30]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами113из формулы (341 ), помня, что производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе.После очевидного сокращения получим′u = sin kxZxf (ξ) sin kξdξ + cos kxx0Zxf (ξ) cos kξdξ,x0откуда и вытекает непосредственно вторая из формул (343 ).30. Частные случаи. Если правая часть уравнения (32) имеет специальный вид, то можно гораздо проще отыскивать частные решения, неприбегая к методу изменения произвольных постоянных. Сделаем сначала одно замечание. Положим, что правая часть уравнения (32) естьсумма двух слагаемых:y ′′ + py ′ + qy = f1 (x) + f2 (x),(35)и положим, что u1 (x) и u2 (x) суть частные решения неоднородного уравнения, когда правая часть равна f1 (x) и f2 (x), т.
е.u′′1 + pu1 + qu1 = f1 (x),u′′2 + pu′2 + qu2 = f2 (x).Складывая, получим(u1 + u2 )′′ + p(u1 + u2 )′ + q(u1 + u2 ) = f1 (x) + f2 (x),т. е. (u1 + u2 ) есть частное решение уравнения (35).Рассмотрим теперь неоднородное уравнение видаy ′′ + py ′ + qy = aekx ,(36)где в правой части a и k — заданные числа. В дальнейшем, для сокращения письма, введем специальное обозначение для левой части уравнения(22):ϕ(r) = r 2 + pr + q.(37)Будем искать решение уравнения (36) в том же виде, что свободный член,т.
е. в видеy = a1 ekx ,где a1 — искомый численный коэффициент. Подставляя это в (36) и сокращая на ekx , получим для определения a1 уравнение, которое, в силу(37), можно записать в видеϕ(k)a1 = a.114Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[30Если k не есть корень уравнения (22), т. е. ϕ(k) 6= 0, то из этого уравненияопределится a1 . Положим, что k есть простой корень уравнения (22), т. е.ϕ(k) = 0, но ϕ′ (k) 6= 0 [I, 186]. В данном случае будем искать решениеуравнения (36) в видеy = a1 xekx .Подставляя в уравнение и сокращая на ekx , получимϕ(k)a1 x + ϕ′ (k)a1 = a,или, в силу ϕ(k) = 0,ϕ′ (k)a1 = a,откуда определяется a1 , так как ϕ′ (k) 6= 0.
Если, наконец, число k1 естьдвукратный корень уравнения (22), т. е. ϕ(k) = ϕ′ (k) = 0, то, как и выше,нетрудно показать, что решение уравнения надо искать в видеy = a1 x2 ekx .Таким же методом можно находить решение и в более общем случае,когда свободный член имеет вид произведения P (x)ekx , где P (x) — многочлен от x. Если k не есть корень уравнения (22), то и решение надоискать в видеy = P1 (x)ekx ,∗(38)где P1 (x) — многочлен той же степени, что и P (x), причем искомыми являются коэффициенты P1 (x).
Подставляя (38) в уравнение, сокращая наekx и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получимуравнения для определения коэффициентов P1 (x).Если же k есть корень уравнения (22), то в правой части (38) надоввести множитель x или x2 , смотря по тому, будет ли k простым илидвукратным корнем уравнения (22).Перейдем теперь к тем случаям, когда свободный член содержит тригонометрические функции.
Рассмотрим сначала уравнениеy ′′ + py ′ + qy = ekx (a cos lx + b sin lx).(39)Пользуясь формулами [I, 177]cos lx =elxi + e−lxi,2sin lx =elxi − e−lxi,2i∗ Общее правило таково: частное решение, удовлетворяющее правой части уравнения не должно содержать слагаемых такого же вида, как решенияуравнения однородного.31]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами115можем представить правую часть уравнения (39) в видеAe(k+li)x + Be(k−li)x ,где A и B — некоторые постоянные. Если сопряженные числа (k ± li)не суть корни уравнения (22), то, согласно предыдущему, надо искатьрешение уравнения в видеy = A1 e(k+li)x + B1 e(k−li)x ,или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическимe±lxi = cos lx ± i sin lx,видим, что если (k ± li) не суть корни уравнения (22), то решение уравнения (39) надо искать в видеy = ekx (a1 cos lx + b1 sin lx),(40)где a1 и b1 — искомые постоянные.
Совершенно так же можно показать,что в правой части формулы (40) надо ввести множитель x, если (k ± li)суть корни уравнения (22). Постоянные a1 и b1 определяются подстановкой выражения (40) в уравнение (39). Заметим, что если в правой части(39) участвуют, например, только cos lx, то в решении (40) надо братьвсе же оба члена, содержащих как cos lx, так и sin lx.Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если правая часть имеет видekx [P (x) cos lx + Q(x) sin lx],где P (x) и Q(x) — многочлены от x, то решение надо искать в том жевидеekx [P1 (x) cos lx + Q1 (x) sin lx],где P1 (x) и Q1 (x) — многочлены от x, степени которых надо принятьравными наибольшей из степеней многочленов P (x) и Q(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
