1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Синусоидальная внешняя сила и резонанс. В приложенияхсвободный член часто бывает синусоидальной величинойx′′ + 2hx′ + k2 x = H0 sin(ωt + ϕ0 ).(73)35]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами129В настоящем случае будем искать решение уравнения в виде синусоидальной величины той же частоты ω, что и в свободном члене [30]:x = N sin(ωt + ϕ0 + δ).(74)Надо определить амплитуду N и с д в и г ф а з ы δ этого колебания.Подставляем выражение (74) в уравнение (73)− ω 2 N sin(ωt + ϕ0 + δ) + 2hωN cos(ωt + ϕ0 + δ)++ k2 N sin(ωt + ϕ0 + δ) = H0 sin(ωt + ϕ0 ).Аргумент тригонометрических функций, стоящих в левой части равенства, представим в виде суммы двух слагаемых (ωt + ϕ0 ) и δ.
Пользуясьформулами для синуса и косинуса суммы, получим[(k2 − ω 2 )N cos δ − 2hωN sin δ] sin(ωt + ϕ0 )++ [2hωN cos δ + (k2 − ω 2 )N sin δ] cos(ωt + ϕ0 ) = H0 sin(ωt + ϕ0 ).Приравнивая коэффициент при sin(ωt + ϕ0 ) постоянной H0 и приcos(ωt + ϕ0 ) нулю, получим два уравнения для определения N и δ:(k2 − ω 2 )N cos δ − 2hωN sin δ = H0 ,2hωN cos δ + (k2 − ω 2 )N sin δ = 0.Решаем их относительно cos δ и sin δ:cos δ =(k2 − ω 2 )H0,− ω 2 )2 + 4h2 ω 2 ]N [(k2sin δ = −2hωH0.N [(k2 − ω 2 )2 + 4h2 ω 2 ]Возводя почленно в квадрат и складывая, получим1=H02,N 2 [(k2 − ω 2 )2 + 4h2 ω 2 ]откуда находимN= pH0.(k2 − ω 2 )2 + 4h2 ω 2(75)Подставляя это значение N в предыдущие выражения cos δ и sin δ, получим формулы для определения δ:cos δ = pk2 − ω 2,(k2 − ω 2 )2 + 4h2 ω 2sin δ = p(k22hω.− ω 2 )2 + 4h2 ω 2(76)130Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[35Имея значения N и δ, согласно формуле (74), будем иметь синусоидальное частное решение уравнения (73). Общее решение этого уравнения будетx = Ae−ht sin(pt + ϕ) + N sin(ωt + ϕ0 + δ),(77)где A и ϕ — произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям. При этом мы считаем, что h2 − k2 = −p2 < 0, т. е. что собственные колебания суть затухающие колебания.
Ввиду наличия множителяe−ht (h > 0) первое слагаемое в выражении (77) быстро убывает при увеличении t, так что это слагаемое заметно влияет на величину x лишь приt, близких к нулю (устанавливающийся процесс), а в дальнейшем величина x определяется почти исключительно вторым чисто синусоидальнымслагаемым, не зависящим от начальных условий (установившийся процесс).Исследуем теперь формулы (75) и (76), служащие для определенияамплитуды N в разности фаз δ решения (74) и свободного члена в уравнении (73). Если бы в правой части уравнения (73) стояла только постоянная H0 , то уравнениеx′′ + 2hx′ + k2 x = H0имело бы очевидное частное решение в виде постояннойξ0 =H0.k2Эта постоянная есть величина того статического отклонения, которое произвела бы постоянная сила.Введем в рассмотрение отношениеλ=N,ξ0которое служит мерою динамической восприимчивости системы по отношению к действующей внешней силе.
Принимая во внимание формулу(75) и выражение ξ0 , получимλ= p(k2k2= r− ω 2 )2 + 4h2 ω 21−ω2k2124h2+ 2k.ω2k2Из последнего выражения видно, что λ зависит только от двух отношений2hω.(78)q= , γ=kk35]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами131Выясним механический смысл первого отношения. Если бы сопротивление отсутствовало, то собственные колебания выражались бы по формуле (60)x = A sin(kt + ϕ). Период возмущающей силы обозначим черези имели бы период τ = 2πk. Для q получим тогдаT = 2πωq=τ,T(79)т.
е. q равно отношению периода свободного колебаниясистемы без сопротивления кпериоду возмущающей силы.Таким образом, для величины λ получимλ= p1, (80)(1 − q 2 )2 + γ 2 q 2где значение q объяснено выше, а постоянная γ, какэто видно из ее определения,не зависит от действующейвнешней силы. Ввиду малостиh постоянная γ обычно мала,и если q не близко к единице,1то λ близко к величине 1−q2.На рис. 16 представлены графики величины λ как функции q при нескольких заданРис. 16.ных значениях γ.Деля числитель и знаменатель в выражениях (76) на k2 , получимформулы)cos δ = (1 − q 2 )λ,(81)sin δ = −γqλ,которые определяют разность фаз внешней силы и произведенного еювозмущения.Величина λ зависит от периода T внешней силы через посредствовеличины q. Найдем максимум величины λ как функции от q.
Для этого132Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[35достаточно найти минимум1= (1 − q 2 )2 + γ 2 q 2λ2как функции от q 2 . Как нетрудно видеть,минимум будет дости этотγ4γ222гаться при q = 1 − 2 и будет равен γ − 4 . Отсюда следует, чтомаксимум λ будет достигаться приrγ2(82)q = 1−2и будет равенλmax =11qγ1−γ44.При малом γ величина q, которой соответствует максимум λ, близкак единице, т. е.
период внешней силы, производящей, при данной ее амплитуде, наибольший эффект, близок к периоду свободного колебания.Разница между этими периодами, зависящими от величины γ, обусловливается наличием сопротивления.Если сопротивление отсутствует, то γ = 0, и максимум λ достигается при q = 1 и равен бесконечности. В этом случае, характеризуемомусловием h = 0 и ω = k, уравнение (73) будетx′′ + k2 x = H0 sin(kt + ϕ0 ),(83)и его решение уже нельзя искать в виде (74).Предоставляем читателю проверить, что уравнение (83) будет иметьрешениеH0t cos(kt + ϕ0 ),x=−2kкоторое содержит t множителем [30].Вернемся вновь к рассмотрению того случая, когда имеется сопротивление, т.
е. h 6= 0. Как видно из графика, величина λ, быстро возрастая перед максимумом, быстро убывает после него. В этом нетрудноубедиться и из формулы (80) при малом γ. Подставляя в формулы (81)λmax и выражение q из формулы (82), получимrγ21−1γ2 ,, sin δ = − rcos δ = r2γ2γ21−1−4435]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами133откуда видно, что при наибольшемэффекте внешней силы и малом τразность фаз δ близка к − π2 .Возвратимся теперь к формуле (77).
При сравнительно уже небольших значениях t первое слагаемое, дающее собственные затухающие колебания, будет мало по сравнению со вторым. Будем теперь менять величину ω, т. е. период T возмущающей силы. В силу вышесказанногопри этом будет иметь место следующее явление: при приближении Tк некоторому определенному значению вынужденные колебания будутбыстро возрастать, достигнут максимума и затем при дальнейшем изменении T будут быстро падать. Это явление называется резонансом. Оновстречается при самых разнообразных явлениях, где мы имеем дело сколебаниями: при колебании механических систем, при электрическихколебаниях, в явлениях звука и т. д.Положим теперь, что правая часть уравнения содержит суммунескольких синусоидальных величинx′′ + 2hx′ + k2 x =mXHi sin(ωi t + ϕi ).(84)i=1Каждому слагаемому правой части уравнения соответствует некотороесвое вынужденное колебание видаNi sin(ωi t + ϕi + δi )(i = 1, 2, .
. . , m),причем Ni и δi определяются по формулам (75) и (76), если правая частьуравнения известна. Сумме всех внешних сил будет соответствовать сумма указанных выше вынужденных колебаний, т. е. частное решение уравнений (84) будет [30]x=mXNi sin(ωi t + ϕi + δi ).(85)i=1Покажем теперь, каким образом, наблюдая вынужденное колебание,можно определить амплитуды и периоды слагаемых в правой части уравнения (84), если они неизвестны.Положим, что мы можем изменять величину k2 , т. е. период τ свободных колебаний. При этом будет иметь место следующее явление: приприближении τ к некоторой величине τ1 амплитуда вынужденных колебаний будет быстро возрастать, достигнет максимума и при дальнейшемизменении τ быстро упадет и будет оставаться малой, пока период τ неприблизится к величине τ2 , которой будет соответствовать второй максимум амплитуды вышеописанного характера и т.
д.134Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[36Эти максимумы объясняются явлением резонанса с одной из внешних сил, стоящих в правой части уравнения (84), и величины τ1 , τ2 , . . .дают приближенное значениеРис. 17периодов этих внешних сил.Откладывая по оси абсцисс периоды свободных колебаний, а по оси ординат амплитуды вынужденных колебаний, получим кривую с несколькими максимумами(рис. 17). в сумме (85) будет велик по сравнениюПри τ = τj или k = kj = 2πτjс другими один член, а именно тот, у которого ωj близко к kj . Наблюдаяиз опыта максимальную величину амплитуды вынужденного колебания,мы можем считать ее приблизительно равной Nj и из формулыNj ≈ qHj(kj − ωj )2 + 4h2 ωj2,(86)принимая во внимание, что kj близко к ωj , сможем найти приближенноезначение напряжения силыHj ≈ 2hkj Nj .(87)36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
