1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если k ± liсуть корни уравнения (22), то надо приписать еще множитель x.31. Корни решений и колеблющиеся решения. Мы рассмотрим в этом номере вопрос о корнях решений уравнений (1),т. е. о корнях уравнения y(x) = 0, где y(x) — некоторое решениеуравнения (1). Мы, естественно, будем предполагать, что решениеy(x) отлично от нулевого решения y(x) ≡ 0.116Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[31Все наши рассуждения будут, как и выше, относиться к промежутку изменения x, в котором коэффициенты p(x) и q(x) — непрерывны. Если x0 есть корень некоторого решения y(x), отличногоот нулевого, т. е. y(x0 ) = 0, то обязательно y ′ (x0 ) 6= 0 ибо начальным данным y(x0 ) = y ′ (x0 ) = 0 соответствует нулевое решение.Если x0 есть корень двух решений y1 (x) и y2 (x), то из (4) следует, что ∆(y1 , y2 ) = 0 при x = x0 , т. е. решения y1 и y2 линейнозависимы. Таким образом, линейно независимые решения не имеютобщих корней.
Если решения линейно зависимы, т. е. отличаютсялишь постоянным множителем, то они имеют, очевидно, одни и теже корни.Пусть x0 — корень решения y(x), отличного от нулевого. Покажем, что существует окрестность этой точки x0 −δ 6 x 6 x0 +δ,которая не содержит других корней y(x). Если бы при любомсколь угодно малом положительном δ в указанной окрестности были бы корни, отличные от x0 , то мы могли бы составить бесконечную последовательность корней x1 , x2 , . .
. , отличных от x0 , котораябы стремилась к x0 (xn → x0 ). Составим отношениеy(xn ) − y(x0 ).xn − x0Поскольку y(xn ) = y(x0 ) = 0, это отношение равно нулю при всяком n. С другой стороны, при xn → x0 это отношение имеет пределy ′ (x0 ), и следовательно, y ′ (x0 ) = 0. Но, по условию y(x0 ) = 0, апотому y(x) есть нулевое решение, что противоречит нашему предположению. Из доказанного следует, что на всяком конечном замкнутом промежутке a 6 x 6 b может существовать толькоконечное число корней любого решения y(x). Если бы это было нетак, то существовала бы, как нетрудно показать, последовательность различных корней xn (n = 1, 2, . . .), принадлежащих промежутку a 6 x 6 b, имеющая предел, который мы обозначим черезx0 .
В силу непрерывности y(x) и xn → x0 из y(xn ) = 0 следует, чтои y(x0 ) = 0, причем любой окрестности x0 принадлежит бесконечное множество корней xn решения y(x), чего не может быть, какмы показали выше.Пусть x0 и x1 — последовательные корни некоторого решенияy2 (x), т. е. y2 (x0 ) = y2 (x1 ) = 0 и y2 (x) 6= 0 при x0 < x < x1 , а y1 (x) —31]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами117решение, линейно независимое с y2 (x).
Покажем, что y1 (x) имеет покрайней мере один корень на промежутке x0 < x < x1 . Будем вестидоказательство от обратного. Пусть таких корней нет. Из линейнойнезависимости следует, что y1 (x) не равно нулю при x = x0 и x = x1 ,т. е. y1 (x) 6= 0 на замкнутом промежутке x0 6 x 6 x1 , и следовательно, частное yy21 есть непрерывная на этом промежутке функция,равная нулю на его концах. Но из формулы (7) следует, что эточастное — монотонная на этом промежутке функция — возрастающая, если число ∆0 > 0, или убывающая, если ∆0 < 0. Полученноепротиворечие и доказывает, что y1 (x) имеет по крайней мере одинкорень на промежутке x0 < x < x1 . Если бы эта функция имеладва корня x′0 и x′1 на этом промежутке (x0 < x′0 < x′1 < x1 ), то, применяя предыдущие рассуждения, мы получили бы, что y2 (x) имеетпо крайней мере один корень между x′0 и x′1 , а это противоречиттому, что x0 и x1 — последовательные корни y2 (x).
Мы приходим,таким образом, к следующей теореме:Т е о р е м а 1 (Ш т у р м а). Если x0 и x1 — два последовательныхкорня некоторого решения y(x) уравнения (1), то всякое другоелинейно независимое с y(x) решение того же уравнения имеет вточности один корень между x0 и x1 .Иначе эту теорему можно сформулировать так: корни двух линейно независимых решений уравнения (1) взаимно разделяютдруг друга.Из сказанного следует, что если некоторое решение уравнения(1) имеет m корней на конечном замкнутом промежутке a 6 x 6 b,то число k корней всякого другого решения (отличного от нулевого) уравнения (1) при a 6 x 6 b подчиняется неравенствуm − 1 6 k 6 m + 1.
Введем новые понятия. Если решение y(x)имеет в некотором промежутке I не более одного корня, то ононазывается неколеблющимся в этом промежутке. Если же числокорней в I не меньше двух, то оно называется колеблющимся в I.Рассмотрим простейшее уравнение y ′′ − k 2 y = 0, где k 2 — положительная постоянная. Решения ekx и e−kx на всем бесконечном промежутке −∞ < x < +∞ не имеют корней. Общее решениеC1 ekx + C2 e−kx также не имеет корней, если постоянныеC1 и C2C21имеют одинаковый знак, и имеет один корень 2k lg − C−1 , если118Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[31эти постоянные разных знаков. Таким образом, всякое решение указанного уравнения будет неколеблющимся на любом промежутке.Уравнение y ′′ + k 2 y = 0 имеет решения cos kx и sin kx, которыена любом замкнутом промежутке, длина которого не меньше 2πk ,имеют не меньше двух корней, т. е. будут колеблющимися на такомпромежутке. Как легко видеть, то же можно утверждать и о любомрешении указанного уравнения.Разница в поведении решения рассмотренных уравнений обусловлена тем, что в первом из них коэффициент при y отрицателен(−k 2 ), а во втором положителен (+k 2 ).
Докажем теперь теорему онеколеблющихся решениях для уравнения с переменным коэффициентом.Т е о р е м а 2. Если r(x) — непрерывная функция на конечном замкнутом промежутке a 6 x 6 b и r(x) 6 0 на этом промежутке,то все решения уравненияy ′′ + r(x)y = 0(41)— неколеблющиеся на этом промежутке.Будем доказывать от обратного. Пусть имеется решение y0 (x)уравнения (16), отличное от нулевого и имеющее более одного корняна промежутке a 6 x 6 b, и пусть x1 и x2 — два последовательныхкорня y0 (x), так что y0 (x1 ) = y0 (x2 ) = 0 и y0 (x) 6= 0 при x1 <x < x2 . Не ограничивая общности, мы можем считать y0 (x) > 0при x1 < x < x2 , ибо если y0 (x) < 0, то мы заменим y0 (x) < 0 на[−y0 (x)].
Из (41) и r(x) 6 0 следует, чтоy0′′ (x) = −r(x)y0 (x) > 0 приx1 6 x 6 x2 ,а потому y0′ (x) не убывает на этом промежутке, т. е. y0′ (ξ) > y0′ (x1 )при x1 6 ξ 6 x2 . Напишем формулу Лагранжа [I, 63]:y0 (x2 ) = y0 (x1 ) + y0′ (ξ)(x2 − x1 ) (x1 < ξ < x2 ).Заменяя множитель y ′ (ξ) при положительной разности (x2 − x1 ) наy0′ (x1 ) 6 y0′ (ξ), получимy0 (x2 ) > y0 (x1 ) + y0′ (x1 )(x2 − x1 )31]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами119или, в силу y0 (x1 ) = 0,y0 (x2 ) > y0′ (x1 )(x2 − x1 ).Из y0 (x1 ) = 0 и y0 (x) > 0 при x1 < x < x2 следует, что y0′ (x1 ) > 0.Но, поскольку y0 (x) не есть нулевое решение, должно быть y0′ (x1 ) >0, и предыдущее неравенство приводит к неравенству y0 (x2 ) > 0,которое противоречит условию y0 (x2 ) = 0.
Теорема доказана.Сформулируем еще одну теорему, доказательство которой в основном аналогично доказательству предыдущей теоремы. Она касается вопроса сравнения колебательности решений двух уравненийy ′′ + r1 (x)y = 0, z ′′ + r2 (x)z = 0 (r1 (x) ≡/ r2 (x)).Т е о р е м а 3. Если r2 (x) > r1 (x) на промежутке a 6 x 6 b,то между каждыми двумя корнями любого решения y(x) первогоуравнения находится по крайней мере один корень любого решенияz(x) второго уравнения.Короче говоря, увеличение коэффициента r(x) в уравнении (41)может только увеличить колебательность всех его решений.
Отметим, что теорема 2 является следствием последней теоремы.Общее уравнение вида (1)y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0может быть приведено к виду (41) при помощи замены y(x) новойискомой функцией u(x):1y(x) = e− 2Rp(x)dxu(x).Подставляя это выражение в первоначальное уравнение (1), получим, как нетрудно проверить, уравнениеu′′ + r(x)u = 0,причем11r(x) = q(x) − [p(x)]2 − p′ (x).42120Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[32Отметим, что множитель показательного типа, входящий в выражение y(x) через u(x), не обращается в нуль, так что y(x) и u(x)имеют одни и те же корни.32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. В настоящем номере мы приведем бездоказательства результаты, аналогичные предыдущим, для уравнений высших порядков. В дальнейшем мы изложим общую теорию линейных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи особого метода — метода символического множителя, приэтом будут доказаны и упомянутые результаты.Однородное уравнение n-го порядка имеет видy (n) + p1 y (n−1) + . . .
+ pn−1 y ′ + pn y = 0,(42)где p1 , p2 , . . . , pn — заданные вещественные числа. Составим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению (22):rn + p1 rn−1 + . . . + pn−1 r + pn = 0.(43)Всякому простому вещественному корню r = r1 этого уравнениясоответствует решение y = er1 x . Если этот корень имеет кратностьs, то ему будут соответствовать следующие s решений:e r1 x ,xer1 x ,...,xs−1 er1 x .Паре мнимых сопряженных корней r = α ± βi первой кратностисоответствуют решенияeαx cos βxи eαx sin βx.Если корни не простые, а имеют кратность s, то им соответствуютследующие 2s решений:eαx cos βx,xeαx cos βx,...,xs−1 eαx cos βx,eαx sin βx,xeαx sin βx,...,xs−1 eαx sin βx.Таким образом, используя все корни уравнения (43), мы получимn решений уравнения (42).
Умножая эти решения на произвольныепостоянные и складывая, будем иметь общий интеграл уравнения.32]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами121Для разыскания частного решения неоднородного уравненияy (n) + p1 y (n−1) + . . . + pn−1 y ′ + pn y = f (x)можно применять метод изменения произвольных постоянных [27].Если правая часть имеет вид P (x)ekx , где P (x) — многочлен и k неесть корень уравнения (43), то и решение уравнения можно искать ввиде y = P1 (x)ekx , где P1 (x) — многочлен той же степени, что и P (x).Если k есть корень уравнения (43) кратности s, то надо положить y =xs P1 (x)ekx .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
