1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 22
Текст из файла (страница 22)
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[38т. е. имеет место переместительный закон по отношению к произведению символического множителя на любой постоянный множитель. Если F (D) есть полином от D с постоянными коэффициентамиF (D) = a0 Dn + a1 Dn−1 + . . . + an−1 D + an ,то операция F (D)x определяется так:F (D)x = a0 Dn x + a1 Dn−1 x + . . . + an−1 Dx + an x == a0dn−1 xdxdn x+a+ . . . + an−1+ an x.1dtndtn−1dtЕсли ϕ1 (D) и ϕ2 (D) — два полинома и ϕ(D) — их произведение,то, принимая во внимание формулу (104) и очевидное равенствоDn1 (Dn2 x) = Dn1 +n2 x, будем иметьϕ1 (D)[ϕ2 (D)x] = ϕ(D)x,причем множители ϕ1 (D) и ϕ2 (D) можно переставлять.Точно так же имеем, очевидно,[ϕ1 (D) + ϕ2 (D)]x = ϕ1 (D)x + ϕ2 (D)x,и полученный результат не зависит от порядка слагаемых ϕ1 (D) иϕ2 (D).Таким образом, обычные правила сложения, вычитания и умножения распространяются и на введенные нами символические полиномы.В силу (104) постоянный множитель можно выносить за знаксимволического полинома, т.
е. наряду с формулой (104) мы имеемF (D)(ax) = aF (D)x,но этого нельзя делать, конечно, с множителем, зависящем от t.Докажем теперь следующую формулу:F (D)(emt x) = emt F (D + m)x,(105)где m — постоянная. Формула показывает, что множитель видаemt можно выносить за знак символического полинома, заменяяв этом последнем букву D суммой (D + m).38]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами141Выражение F (D)(emt x) состоит из слагаемых вида an−s Ds(emt x),и достаточно доказать формулу (105) для каждого такого слагаемого, т.
е. достаточно доказать формулуDs (emt x) = emt (D + m)s x.(106)Применяя формулу Лейбница дифференцирования произведения,можем написать [I, 53]Ds (emt x) = (emt )s x + (emt )(s−1) x′ + Cs2 (emt )(s−2) x′′ ++ . . . + Csk (emt )(s−k) x(k) + . . . + emt x(s) ,где значки наверху в скобках указывают порядок производной поt, и Csk есть число сочетаний из s элементов по k. Принимая вовнимание, что (emt )(p) = mp emt и x(p) = Dp x, можем написать,вынося emt за скобку:Ds (emt x) = emt (ms x + Cs1 ms−1 DX + Cs2 ms−2 D2 x + . .
. ++ Csk ms−k Dk x + . . . + Ds x) == emt (ms + Cs1 ms−1 D + Cs2 ms−2 D2 + . . . + Csk ms−k Dk + . . . + Ds )x.Но правая часть совпадает с правой частью формулы (106). Такимобразом, эта формула и формула (105) доказаны.Определим теперь отрицательные степени D как операции, обратные дифференцированию, т. е.
D−s f (t) определим как решениеуравненияDs x = f (t),(107)причем, для того чтобы придать символу D−s f (t) определенныйсмысл, условимся брать то решение написанного уравнения, которое удовлетворяет нулевым начальным условиямx|t=t0 = x′ |t=t0 = . . . = x(s−1) |t=t0 = 0.(108)Иначе говоря, будем считать [17]:D−s1f (t) =(s − 1)!Ztt0(t − u)s−1 f (u)du.(109)142Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .
.[38Общее решение уравнения (107) будет тогда [17]:x=D−s1f (t) + Ps−1 (t) =(s − 1)!Ztt0(t − u)s−1 f (u)du + Ps−1 (t), (110)где Ps−1 (t) — многочлен (s − 1)-й степени от t с произвольными коэффициентами.Более общую операцию (D − α)−s f (t) определим, как решениеуравнения(D − α)s x = f (t),(111)удовлетворяющее условиям (108). Чтобы найти это решение, введемвместо x неизвестную функцию z, полагаяx = eαt z.(112)Подставляя в уравнение (111) и пользуясь правилом, выраженнымформулой (105), получим для z уравнениеeαt (D + α − α)s z = f (t) или Ds z = e−αt f (t).(113)Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиямz|t=t0 = z ′ |t=t0 = .
. . = z (s−1) |t=t0 = 0,(114)может быть определено по формуле (109), если только в ней заменить f (t) на e−αt f (t):1z=(s − 1)!Ztt0(t − u)s−1 e−αu f (u)du.Но из формулыDj = Dj eαt z = eαt (D + α)j z(j = 0, 1, 2, . . . , s − 1)вытекает, что если z удовлетворяет условиям (114), то x, определяемое по формуле (112), удовлетворяет условиям (108). Подставляя39]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами143найденное выражение z в формулу (112), получим искомое решениеуравнения (111)−s(D − α)eαtf (t) =(s − 1)!Ztt0(t − u)s−1 e−αu f (u)du.(115)Общее решение этого уравнения получим, если умножим общеерешение уравнения (113) на eαt , т. е. это общее решение будетx = (D − α)−s f (t) + eαt Ps−1 (t) =Zteαt(t − u)s−1 e−αu f (u)du + eαt Ps−1 (t),=(s − 1)!(116)t0где Ps−1 (t) — многочлен от t степени (s − 1) с произвольными коэффициентами.В частности, полагая f (t) = 0, получим общее решение уравнения(D − α)s x = 0(117)в видеx = eαt Ps−1 (t).(118)39.
Линейные однородные уравнения высших порядковс постоянными коэффициентами. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет видx(n) + a1 x(n−1) + . . . + an−1 x + an x = 0.(119)Обозначая символическим множителем D операцию дифференцирования по t и вводя полиномϕ(D) = Dn + a1 Dn−1 + .
. . + an−1 D + an ,можем написать уравнение в видеϕ(D)x = 0.(120)144Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .Составим характеристическое уравнение,уравнению (119):[39соответствующееrn + a1 rn−1 + . . . + an−1 r + an = 0,и пусть это уравнение имеет корни r1 , r2 , . . . , rm кратностиk1 , k2 , . . . , km :k1 + k2 + . . .
+ km = n.(121)(122)Разлагая полином ϕ(D) на множители, можем представить уравнение (120) в виде(D − r1 )k1 (D − r2 )k2 . . . (D − rm )km x = 0.(123)Уравнение(D − rm )km x = 0,(124)согласно формуле (118) [38], имеет общее решениеx = erm t Pkm −1 (t),(125)где Pkm −1 (t) — многочлен степени (km − 1) с произвольными коэффициентами.Функция (125) будет, очевидно, решением и уравнения (123).Действительно, подставляя в этот уравнение выражение (125), врезультате операции (D − rm )km получим нуль, и операция(D − r1 )k1 (D − r2 )k2 . . . (D − rm−1 )km−1 ,произведенная над нулем, даст очевидно, также нуль. Переставляямножители, мы могли бы поставить ближайшим к x не множитель(D − rm )km , а какой-либо другой множитель (D − rs )ks .
Таким образом мы убеждаемся в существовании ряда частных решений:xs = ers t Pks −1 (t) (s = 1, 2, . . . , m),(126)где Pks −1 (t) — многочлен степени (ks − 1) с произвольными коэффициентами.39]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами145Придавая в формуле (126) s все значения от 1 до m и складывая все полученные таким образом решения, будем иметь решениеуравнения (123) [27]:x = er1 t Pk1 −1 (t) + er2 t Pk2 −1 (t) + . . . + erm t Pkm −1 (t).(127)Всякий многочлен Pks −1 степени (ks −1) с произвольными коэффициентами содержит всего ks произвольных постоянных, и следовательно, в силу соотношения (122), решение (127) содержит всегоn произвольных постоянных.
Ввиду этого обстоятельства можнодумать, что формула (127) дает общее решение уравнения (119),т. е. что всякое решение этого уравнения заключается в формуле(127).При m = 1 это было нами доказано выше формулой (118) из [38]и, таким образом, остается показать, что если наше утверждениесправедливо для случая (m − 1) сомножителей вида (D − rs )ks ,то оно будет справедливо и для m сомножителей. Докажем это.Уравнение (123) можно переписать в видегде(D − r1 )k1 (D − r2 )k2 .
. . (D − rm−1 )km−1 y = 0,y = (D − rm )km x.Мы считаем доказанным наше утверждение для (m − 1) сомножителей, а потому для y имеем общее решениеy = (D − rm )km x = er1 t Qk1 −1 (t) + er2 t Qk2 −1 (t) + . . . ++ erm−1 t Qkm−1 −1 (t),где Qks −1 (t) — произвольные многочлены степени (ks − 1). Полагаяx = erm t z,(128)rm tвынося eза знак символического полинома и деля обе частиравенства на erm t , получимDkm z = e(r1 −rm )t Qk1 −1 (t) + e(r2 −rm )t Qk2 −1 (t) + .
. . ++ e(rm−1 −rm )t Qkm−1 −1 (t).146Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[39Мы получим общее выражение для z, если проинтегрируем правуючасть km раз по t и добавим многочлен степени (km −1) [17]. Но, какизвестно [I, 201], интеграл от произведения показательной функцииeαt на многочлен k-й степени от t имеет тот же вид, т. е. z должноиметь видz = e(r1 −rm )t Pk1 −1 (t) + e(r2 −rm )t Pk2 −1 (t) + . . . ++ e(rm−1 −rm )t Pkm−1 −1 (t) + Pkm −1 (t).В силу (128) получаем, что x должен обязательно иметь вид, даваемый формулой (127), что и требовалось доказать.В частности, если все корни характеристического уравненияпростые, то все многочлены Pks −1 (t) будут нулевой степени (ks =1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
