1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(151)В этом случае вместо формулы (141) надо воспользоваться следующей формулой преобразования переменных:ct + d = er ,и вместо формулы (144) будет иметь место формула(ct + d)s Ds x = cs δ(δ − 1) . . . (δ − s + 1)x,с помощью которой уравнение (151) и приводится к уравнению спостоянными коэффициентами.43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Во многих случаях положение механической системы определяется не одной, а несколькими независимыми величинами q1 , q2 , . .
. , qk , которые называются координатными параметрами. Их число k дает число степеней свободы. Так, например,при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси мы имеемодну степень свободы — угол θ поворота тела вокруг оси. Вращение же тела вокруг неподвижной точки дает три степени свободы,и за координатные параметры можно, например, принять известные из кинематики твердого тела углы Эйлера: ϕ, ψ и θ.
Движениеточки по плоскости или сфере, или какой-либо иной поверхностипредставляет собой движение с двумя степенями свободы. В случае плоскости координатными параметрами могут служить обычные прямоугольные координаты x и y, а на сфере — долгота ϕ иширота ψ.При движении механической системы ее координатные параметры q1 , q2 , . . . , qk являются функциями от времени t и определяютсяиз системы дифференциальных уравнений и начальных условий. Вчастности, при рассмотрении малых колебаний системы около положения равновесия, которому соответствует значение параметровq1 = q2 = . .
. = qk = 0,154Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[43обычно удерживают в дифференциальных уравнениях лишь членыsпервого измерения∗ относительно qs и dqdt и таким образом получают систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами.Каждое из уравнений будет, вообще говоря, содержать все функцииqs и их производные по t первого и второго порядка.В случае двух степеней свободы система будет иметь вид)a1 q1′′ + b1 q1′ + c1 q1 + a2 q2′′ + b2 q2′ + c2 q2 = 0,(152)d1 q1′′ + e1 q1′ + f1 q1 + d2 q2′′ + e2 q2′ + f2 q2 = 0,где q1′ , q1′′ , q2′ , q2′′ — производные от q1 и q2 по t.Обозначая, как и выше, символическим множителем D операцию дифференцирования по t, можем переписать систему (152) так:)(a1 D2 + b1 D + c1 )q1 + (a2 D2 + b2 D + c2 )q2 = 0,(153)(d1 D2 + e1 D + f1 )q1 + (d2 D2 + e2 D + f2 )q2 = 0.Если на систему действуют внешние силы, то в правой части уравнений будет не нули, а известные функции t.Начальные условия имеют видq1 |t=0 = q10 ,′,q1′ |t=0 = q10q2 |t=0 = q20 ,′,q2′ |t=0 = q20′′где q10 , q10, q20 , q20— заданные числа, и общий интеграл системы(153) должен содержать четыре произвольные постоянные.Покажем, каким образом интегрирование системы (153) приводится к интегрированию одного линейного уравнения четвертогопорядка с одной неизвестной функцией [ср.
21]. Для этого введемвспомогательную функцию V от t, полагая [21]q1 = −(a2 D2 + b2 D + c2 )V,q2 = (a1 D2 + b1 D + c1 )V.(154)Подставляя эти выражения q1 и q2 в уравнения (153), увидим,что первое уравнение будет удовлетворено при любом выборе V ,и остается выбрать функцию V так, чтобы было удовлетворено ивторое из уравнений (153).∗Имеются ввиду члены первого порядка.43]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами155Подставляя выражения (154) в это второе уравнение, получимдля V уравнение четвертого порядка 1[(a1 D2 + b1 D + c1 )(d2 D2 + e2 D + f2 )−− (a2 D2 + b2 D + c2 )(d1 D2 + e1 D + f1 )]V = 0. (155)Найдя V , получим q1 и q2 из (154) простым дифференцированием.Пусть r1 , r2 , r3 , r4 — не кратные корни характеристическогоуравнения(a1 r2 + b1 r + c1 )(d2 r2 + e2 r + f2 )−− (a2 r2 + b2 r + c2 )(d1 r2 + e1 r + f1 ) = 0, (156)так чтоV = C1 er1 t + C2 er2 t + C3 er3 t + C4 er4 t .(157)Подставляя это выражение в формулы (154) и принимая во внимание, что Dert = rert и D2 ert = r2 ert , получим общее выражение для q1 и q2 .
Оно будет представлять собою также линейнуюкомбинацию четырех решений, каждое из которых будет содержать произвольный постоянный множитель. Так, например, решение V = C1 er1 t дастq1 = −C1 (a2 r12 + b2 r1 + c2 )er1 t ,q2 = C1 (a1 r12 + b1 r1 + c1 )er1 t . (158)Если уравнение (156) имеет комплексные корни, что обычно ивстречается в приложениях, то решение уравнений (155) полезнописать в тригонометрической форме, так что паре сопряженныхкорней r = a ± bi будут соответствовать решения для V :C1 eat cos btи C2 eat sin bt.Точно так же, если уравнение (156) имеет двукратный кореньr1 = r2 , то решения будутC1 er1 tи C2 ter1 t .1 Мы предполагаем, что a d − a d 6= 0; этот случай имеет всегда место при1 22 1рассмотрении движения материальной системы.156Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[43Отметим теперь тот случай, когда предыдущие вычисления недадут для q1 и q2 общего решения, содержащего четыре произвольные постоянные. Положим, что для некоторого корня r1 уравнение(156) будетa1 r12 + b1 r1 + c1 = a2 r12 + b2 r1 + c2 = 0.(159)В этом случае формулы (158) дадут для q1 и q2 тождественно нуль, а общее решение системы не будет содержать произвольной постоянной C1 .
Мы можем попытаться восстановить эту потерянную произвольную постоянную тем путем, что для введениявспомогательной функции V воспользуемся вместо уравнений (154)уравнениямиq1 = (d2 D2 + e2 D + f2 )V,q2 = −(d1 D2 + e1 D + f1 )V.(160)При этом второе из уравнений (153) будет удовлетворено привсяком выборе V , и, подставляя выражения (160) в первое из уравнений (153), получим для V то же уравнение (155), что и выше.При этом корень r1 характеристического уравнения (156) даст дляq1 и q2 вместо (158) выраженияq1 = C1 (d2 r12 + e2 r1 + f2 )er1 t ,q2 = −C1 (d1 r12 + e1 r1 + f1 )er1 t .Если хоть один из множителей (d1 r12 +e1 r1 +f1 ) и (d2 r12 +e2 r1 +f2 )будет отличен от нуля, то мы восстановим, таким образом, решение,соответствующее корню r = r1 уравнения (156).Остается еще рассмотреть тот случай, когда, кроме соотношений (159), имеют место соотношенияd1 r12 + e1 r1 + f1 = d2 r12 + e2 r1 + f2 = 0.(161)При этом нам не удается указанным путем восстановить решениесоответствующее корню r = r1 уравнения (156).
Но раз выполнены соотношения (159) и (161), то каждый из квадратных трехчленов, стоящих в левой части уравнения (156), будет иметь кореньr = r1 , т. е. будет содержать множитель (r − r1 ). Следовательно,при выполнении соотношений (159) и (161) корень r = r1 должен43]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами157быть кратным корнем уравнения (156). Ограничимся рассмотрением того случая, когда r = r1 будет двукратным корнем, и укажемдва решения системы, соответствующие этому двукратному корню.Эти два решения будутq1 = C1 er1 t ,q2 = 0(162)q2 = C2 er1 t .(163)иq1 = 0,Действительно, подставляя, например, выражения (162) в левуючасть уравнений (153), получим, в силу соотношений (159) и (161),тождества.Указанные два решения будут различны, так как в первом q2есть тождественно нуль, а во втором q2 отлично от нуля.Заметим, что если в случае кратного корня r1 = r2 не выполняется, например, одно из соотношений (159), то, подставляя в формулы (154):V = C1 er1 t и V = C2 ter1 t ,мы получим решение (158) и решение, содержащее t множителем:q1 = −C2 (a2 r12 + b2 r1 + c2 )ter1 t + C2 p1 er1 t ,q2 = C2 (a1 r12 + b1 r1 + c1 )ter1 t + C2 p2 er1 t ,где p1 и p2 — определенные постоянные.Общий интеграл неоднородной системы(a1 D2 + b1 D + c1 )q1 + (a2 D2 + b2 D + c2 )q2 = f1 (t),(d1 D2 + e1 D + f1 )q1 + (d2 D2 + e2 D + f2 )q2 = f2 (t),)(164)как и в случае одного уравнения, представляет собою сумму общего интеграла соответствующей однородной системы (153) и какоголибо частного решения неоднородной системы.
Если свободные члены f1 (t) и f2 (t) имеют видA0 eαt cos βt + B0 eαt sin βt = Deαt sin(βt + ϕ),то и частные решения можно искать в видеq1 = A1 eαt cos βt + B1 eαt sin βt,q2 = A2 eαt cos βt + B2 eαt sin βt,158Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[44если только (α ± βi) не является корнем уравнения (156). Подставляя эти выражения в левые части уравнений (164) и приравниваякоэффициенты при eαt cos βt и eαt sin βt, получим уравнения дляопределения A1 , B1 , A2 , B2 .Частные решения системы (164) можно получить при любыхf1 (t) и f2 (t) так же, как мы это делали в случае одного уравнения[40]. Решая систему (164) относительно q1 и q2 , получим, например,дляa 2 D 2 + b 2 D + c2d2 D2 + e2 D + f2f1 (t) −f2 (t),q1 =∆(D)∆(D)где через ∆(D) мы обозначили для краткости символический полином, стоящий в левой части уравнения (155).
Разлагая рациональные дроби и пользуясь указанным в [38] значением символического множителя (D − r)−k , мы и получим искомое решение системы(164).Заметим еще, что, пользуясь рассуждениями на [21], мы можемлегко приводить интегрирование системы линейных уравнений спостоянными коэффициентами к интегрированию одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
В томе III мы дадимобщий прием интегрирования систем уравнений с постоянными коэффициентами.44. Примеры. 1. Рассмотрим системуd2 y= z + x,dx2d2 z= y + 2x,dx2где y и z — искомые функции от x. Определяя из первого уравнения z:z=d2 y−xdx2(165)и подставляя во второе уравнение, получим уравнение четвертого порядка для y:d4 y− y = 2x,dx4общий интеграл которого определяется по обычным правилам:y = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x − 2x.44]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами159Подставляя это выражение в формулу (165), получим выражение для z:z = C1 ex + C2 e−x − C3 cos x − C4 sin x − x.2. Рассмотрим систему трех уравнений первого порядкаdx= y + z,dtdy= z + x,dtdz= x + y,dt(166)где x, y и z — искомые функции от t. Решая первое уравнение относительно y:dx−z(167)y=dtи подставляя это выражение в остальные два уравнения, получимdzd2 x−= z + x,dt2dtdzdx=x+− z.dtdt(168)из второго уравнения в первое, получим уравПодставляя выражение dzdtнение второго порядка, содержащее одно только x (исключительный случай):dxd2 x−− 2x = 0,dt2dtобщий интеграл которого будетx = C1 e2t + C2 e−t .(1691 )Подставляя это во второе из уравнений (168), получаем уравнение первого порядка для z:dz+ z = 3C1 e2t ,dtобщий интеграл которого будетz = C3 e−l + C1 e2t .(1692 )Подставляя выражения (1691 ) и (1692 ) в формулу (167), получим выражение для yy = C1 e2t − (C2 + C3 )e−t .(1693 )Здесь получился тот исключительный случай, о котором мы уже упоминали в [21].
Вместо одного дифференциального уравнения третьегопорядка мы получили одно уравнение второго порядка и еще одно уравнение первого порядка.160Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[443. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентамивстречаются не только при рассмотрении малых колебаний механических систем около положения равновесия, как мы уже упоминали выше,но и при исследовании электрических колебаний. Положим, что имеются две цепи, находящиеся в магнитной связи, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
