1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 27
Текст из файла (страница 27)
по сравнению с (12) появляется добавочное слагаемое βy1 lg x. Число β может оказаться и равным нулю, и тогда для y2 получим формулу (12). Пусть ρ1 − ρ2 = s, где s — целое положительное число, т. е.F (ρ2 + s) = F (ρ1 ) = 0. Если при этом соответствующее Qs в формуле (10) оказывается отличным от нуля, то β 6= 0. Если же Qs = 0, тоβ = 0, и второе решение не содержит логарифма.
Все высказанные вышеутверждения будут нами доказаны в томе III.48. Уравнение Бесселя. Это уравнение имеет видx2 y ′′ + xy ′ + (x2 − p2 )y = 0,(16)где p — заданная постоянная. Применения его встречаются в различныхвопросах астрономии, физики и техники.Сравнивая это уравнение с уравнением (8), видим, что a0 = 1 и b0 =−p2 , так что определяющее уравнение в данном случае будетρ(ρ − 1) + ρ − p2 = 0,илиρ2 − p2 = 0,и его корниρ1 = p,Ищем решение в видеρ2 = −p.y = xp (α0 + α1 x + α2 x2 + . . .).48]§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов173Подставляя в левую часть уравнения (16) и приравнивая коэффициентыпри различных степенях x нулю, получимxp+1 [(p + 1)2 − p2 ]α1 = 0,xp+2 [(p + 2)2 − p2 ]α2 + α0 = 0,. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xp+s [(p + s)2 − p2 ]αs + αs−2 = 0.Подставляя α0 = 1 и вычисляя последовательно коэффициенты, придем к решениюy1 = x p 1 −x4x2+−2(2p + 2)2 · 4 · (2p + 2)(2p + 4)−x6+... .2 · 4 · 6(2p + 2)(2p + 4)(2p + 6)(17)Используя второй корень ρ2 = −p, можем построить второе решениеуравнения (16). Оно может быть получено, очевидно, из решения (17)простой заменой p на (−p), так как уравнение (16) содержит только p2и не меняется при замене p на (−p):y2 = x−p1−x4x2+−2(−2p + 2)2 · 4 · (−2p + 2)(−2p + 4)−x6+...
.2 · 4 · 6 · (−2p + 2)(−2p + 4)(−2p + 6)(18)Разность корней определяющего уравнения равна 2p, а следовательно, оба написанных решения будут годиться, если p не равно целомучислу или половине целого нечетного числа, решение (17) с точностьюдо некоторого постоянного множителя дает бесселеву функцию p-го порядка, которую обозначают обычно через Jp (x) и называют также цилиндрической функцией первого рода.
Таким образом, если p не есть целоечисло или половина целого нечетного числа, то общее решение уравнения(16) будетy = C1 Jp (x) + C2 J−p (x).Степенной ряд, входящий в решение (17), сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться по обычному признаку Даламбера.174Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[48Положим теперь, что p = n есть целое положительное число. Решение(17) сохранит свою силу, а решение (18) потеряет силу, так как, начинаяс некоторого числа, один из множителей в знаменателе членов разложения (18) будет равен нулю.
При целом положительном p = n бесселевафункция Jn (x) определяется из формулы (17) добавлением постоянногомножителя 2n1n! ∗ :Jn (x) =xnx2x41−+−n2 n!2(2n + 2)2 · 4 · (2n + 2)(2n + 4)−x6+... .2 · 4 · 6(2n + 2)(2n + 4)(2n + 6)(19)Общий член в этом разложении будет(−1)s2nxn+2s.· n!2 · 4 · 6 · . . . 2s · (2n + 2)(2n + 4)(2n + 6) . . . (2n + 2s)В знаменателе каждый из 2s множителей, стоящих после 2n ·n!, содержитмножитель 2.
Относя этот множитель к 2n , можем переписать общийчлен в виде(−1)s2n+2sxn+2s=· n! · 1 · 2 · 3 . . . s · (n+1)(n+2)(n+3) . . . (n+s)(−1)s x n+2s,=s!(n + s)! 2так что формула (19) может быть написана в видеJn (x) =∞Xs=0(−1)s x n+2s,s!(n + s)! 2(20)причем, как всегда, считается, что 0! = 1. В частности, при n = 0 получимJ0 (x) =∞X1 x 21 x 41 x 6(−1)s x 2s= 1−+−+...2222(s!)2(1!)2(2!)2(3!)2s=0(21)∗ Строго говоря, это выражение представляет разложение бесселевой функции Jn (x) в степенной ряд.48]§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов175В силу сказанного в [47], уравнение (16) при целом положительномp = n будем иметь наряду с решением (20) второе решение видаKn (x) = βJn (x) lg x + x−n∞Xβs xs .(22)s=0Это решение, очевидно, обращается в бесконечность при x = 0.Общий интеграл уравнения (16) при p = n будетy = C1 Jn (x) + C2 Kn (x).(23)Если мы хотим получить решение, конечное в точке x = 0, то мыдолжны взять постоянную C2 равной нулю, т.
е. должны ограничитьсярешением (20).Приведем более подробно вид решения (22) при p = 0. В этом случаеуравнение будет1(24)y ′′ + y ′ + y = 0,xи одно из его решений дается формулой (21). Второе решение можноискать в видеβJ0 (x) lg x + β0 + β1 x + β2 x2 + . . .Взяв линейную комбинацию этого решения с уже найденным, можемсвободный член β0 привести к нулю, так что окончательное решениеможно искать в видеβJ0 (x) lg x + β1 x + β2 x2 + . . .Подставляя это выражение в левую часть уравнения (24) и применяяспособ неопределенных коэффициентов, последовательно определим коэффициенты βn .
Не приводя всех вычислений, мы только укажем окончательное выражение второго решения. При этом коэффициент β, который оказывается не равным нулю, мы полагаем равным единицеx4x2K0 (x) = J0 (x) lg x + 2 − 2 222 ·411+2++x622 · 42 · 621+11+23− ...(25)Эта функция называется бесселевой, или цилиндрической, функциейнулевого порядка второго рода.176Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .
.[48Положим наконец, что p = 2n+1есть половина целого нечетного чис2ла. Хотя в этом случае разность корней определяющего уравнения и равна целому числу (2n + 1), но оба решения (17) и (18) сохраняют силу ибудут между собою линейно независимыми, так как у одного множитель2n+12n+1перед степенным рядом будет x 2 , а у другого x− 2 , и следовательно, отношение этих двух решений не может быть постоянной величиной.Подставляя, например, в решение (17) p = 12 , получим ряд1x4x6x2+−+ ...
=x2 1 −2·32·4·3·52·4·6·3·5·7x5x7x31sin x+−+ ... = √ .= √ x−3!5!7!xxq2, получим бесУмножая это решение на постоянный множительπселеву функцию J 1 (x):2J 1 (x) =2r2sin x.πxТочно так же формула (18) дастrJ− 1 (x) =22cos x.πxи общий интеграл уравнения (16) при p =12(26)(27)будетy = C1 J 1 (x) + C2 J− 1 (x).22Укажем, не приводя доказательства, на то, что вообще бесселевафункция со значком, равным половине нечетного числа, выражается через элементарные функции, а именно имеет видr 211Pnsin x + Qncos x ,J 2n+1 (x) =2πxxxгде Pn x1 и Qn x1 — многочлены от 1/x.
В частности,J 3 (x) =2r2πxsin x− cos x ,x49]§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядовJ 5 (x) =2J− 3 (x) =2j− 5 (x) =2rrr2πx2πx2πx17733− 1 sin x − cos x ,x2xcos x− sin x −,x33sin x +−1cosx.xx2Кроме того, для любого целого положительного n имеет место формулаr2 2n+1dnsin xnx 2.J 2n+1 (x) = (−1)2πd(x2 )nxВ этой формуле надо четную функциюпо x2 .sin xxдифференцировать n раз49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя. Укажемнекоторые уравнения, которые приводятся к уравнению Бесселя (16) заменой переменных.
Рассмотрим уравнение видаx2 y ′′ + xy ′ + (k2 x2 − p2 )y = 0,(28)где k — некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо x новуюнезависимую переменную ξ = kx. При это надо будет в уравнении (28)заменитьdy dξdyddyd2 ydy′′′==kи y =k= k2 2 ,y =dxdξ dxdξdxdξdξтак что уравнение (28) перепишетсяk 2 x2dyd2 y+ kx+ (k2 x2 − p2 )y = 0,dξ 2dξилиdyd2 y+ξ+ (ξ 2 − p2 )y = 0,dξ 2dξа это есть уравнение Бесселя (16) с независимой переменной ξ. Такимобразом, в силу ξ = kx, общий интеграл уравнения (28) будетξ2y = C1 Jp (kx) + C2 J−p (kx),(29)или, если p = n есть целое положительное число или нуль,y = C1 Jn (kx) + C2 Kn (kx).(291 )178Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[49Приведем еще обширный класс уравнений, приводящихся к уравнению Бесселя. Для этого введем в уравнение (16) новую независимуюпеременную t и новую функцию u по формуламy = tα uиx = γtβ ,(30)где α, β и γ — постоянные, причем β и γ отличны от нуля.
Дифференцируя, имеем очевидные равенства1 1−βdy1 1−β dydt=t,=t,dxβγdxβγdtd2 y1 1−β1 1−β d2 y1 − β −β dy=tt+tdx2βγβγdt2βγdtи, кроме того,d2 ud2 ydu= tα 2 + 2αtα−1+ α(α − 1)tα−2 u.2dtdtdtdudy= tα+ αtα−1 u,dtdtПодставляя выражения y,dydxиd2 ydx2в уравнение (16) и заменяяих последними выражениями через u, duиdtтарных преобразований, уравнение для u:t2d2 u,dt2dydtиd2 ydt2получим, после элемен-dud2 u+ (2α + 1)t+ (α2 − β 2 p2 + β 2 γ 2 t2β )u = 0.dt2dt(31)Уравнение (16) имело общий интегралy = C1 Jp (x) + C2 J−p (x),и следовательно, в силу (30), уравнение (31) будет иметь общий интегралu = t−α y = C1 t−α Jp (γtβ ) + C2 t−α J−p (γtβ ),(32)причем, если p = n — целое положительно число или нуль, то J−p (γtβ )надо заменить на Kn (γtβ ).Уравнение (31) есть уравнение видаt2dud2 u+ at+ (b + ctm )u = 0,dt2dt(33)причем2α + 1 = a,α2 − β 2 p2 = b,β 2 γ 2 = c,2β = m.(34)50]§ 5.
Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .179Можно, наоборот, для любого заданного уравнения вида (33), приусловии, что постоянные c и m отличны от нуля, найти по формулам(34) α, β, γ и p и выразить общий интеграл уравнения (33), согласноформуле (32), через функции Бесселя.Если c или m равно нулю, то уравнение (33) есть уравнение Эйлера[42] и приводится, следовательно, просто к уравнению с постояннымикоэффициентами.Рассмотрим частный случай уравнения (33)tdud2 u+a+ tu = 0.dt2dt(35)Умножая уравнение на t, видим, что в данном случае a произвольно,b = 0, c = 1 и m = 2.
Уравнения (34) будут2α + 1 = a,α2 − β 2 p2 = 0,β 2 γ 2 = 1,2β = 2,откуда можно считатьα=a−1,2β = 1,γ = 1,p=a−1,2и, согласно (32), общий интеграл (35) будетu = C1 t1−a2J a−1 (t) + C2 t21−a2J 1−a (t),2причем, если, например, значок 1−aокажется целым отрицательным или2нулем, то надо заменить J 1−a на K a−1 . При a = 1 уравнение (35) совпа22дает с уравнением (24).Вообще уравнение (33) дает обширный класс линейных уравнений,часто встречающихся в приложениях, общий интеграл которых выражается, как мы видим, через функции Бесселя.§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений. Мы уже несколько раз упоминали о теореме существования и единственности для дифференциальных уравнений.180Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[50Приведем доказательство этой теоремы сначала для случая линейных дифференциальных уравнений. Для доказательства мы применим так называемый метод последовательных приближений, которым мы уже пользовались для приближенного вычисления корнейуравнений [I, 193].Для определенности рассмотрим систему двух линейных однородных уравненийdy= p1 (x)y + q1 (x)z,dxи начальные условияy|x=x0 = y0 ,dz= p2 (x)y + q2 (x)zdx(1)z|x=x0 = z0 .(2)Будем считать, что коэффициенты уравнений (1) суть непрерывныефункции x в некотором конечном замкнутом промежутке I(a 6 x 6b), содержащем начальное значение x0 , и в дальнейшем изложениимы считаем, что x принадлежит I.Решения y и z системы (1) должны быть, конечно, непрерывными функциями, имеющими производную, и из самих уравненийdydzи dxбудут непрерывными функциямивидно, что и производные dx[1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
