1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Интегрируя уравнения (1) почленно от x0 до x и принимая вовнимание (2), получимZxy(x) = y0 + [p1 (t)y(t) + q1 (t)z(t)]dt,x0(3)Zxz(x) = z0 + [p2 (t)y(t) + q2 (t)z(t)]dt. x0Здесь мы для отчетливости выписали аргументы у функций y и z,а переменную интегрирования обозначили через t, чтобы не путатьее с верхним пределом интегрирования x. Итак, уравнения (1) сначальными условиями (2) приводят нас к уравнениям (3).Покажем теперь, наоборот, что если непрерывные функции y(x)и z(x) удовлетворяют уравнениям (3), то они удовлетворяют уравнениям (1) и начальным условиям (2). Действительно, полагая в50]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .181уравнениях (3) x = x0 и принимая во внимание, что интегралс одинаковыми пределами равен нулю, получим начальные условия (2), а дифференцируя уравнения (3) по x, получим уравнения (1) [I, 96].
Из сказанного следует, что уравнения (3) в указанном смысле равносильны уравнениям (1) с начальными условиями (2), и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь уравнения (3). Отметим, что в этих уравнениях искомые функции y(x) иz(x) входят как в левую часть, так и под знак интеграла в правуючасть.Выясним идею метода последовательных приближений. Считаяначальные значения y0 и z0 первыми приближенными к искомымфункциям y и z, заменяем в правых частях уравнений (3) y и z наy0 и z0 .
Таким образом, получим функции y1 (x) и z1 (x):y1 (x) = y0 +z1 (x) = z0 +Zxx0Zxx0[p1 (t)y0 + q1 (t)z0 ]dt,[p2 (t)y0 + q2 (t)z0 ]dt, (4)являющиеся вторым приближением к y и z. Эти функции y1 (x) иz1 (x), очевидно, непрерывны в вышеупомянутом промежутке I [I,96]. Заменяя теперь в правых частях уравнений (3) y и z на y1 (x)на z1 (x), получим третье приближение y2 (x) и z2 (x):y2 (x) = y0 +z2 (x) = z0 +Zxx0Zx[p1 (t)y1 (t) + q1 (t)z1 (t)]dt,[p2 (t)y1 (t) + q2 (t)z1 (t)]dt,x0причем y2 (x) и z2 (x) опять непрерывны на промежутке I и т. д.182Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .Общая формула, дающая (n + 1)-е приближение, будетZxyn (x) = y0 + [p1 (t)yn−1 (t) + q1 (t)zn−1 (t)]dt,zn (x) = z0 +x0Zxx0[p2 (t)yn−1 t) + q2 (t)zn−1 (t)]dt. [50(5)В промежутке I коэффициенты уравнений (1) суть, по условию,непрерывные функции, а потому в этом промежутке они будут поабсолютной величине не больше некоторого определенного положительного числа M [I, 35]:(x в I).(6)Обозначим, кроме того, буквой m наибольшее из двух положительных чисел |y0 | и |z0 |, т. е.|p1 (x)| 6 M,|q1 (x)| 6 M,|p2 (x)| 6 M,|y0 | 6 m,|q2 (x)| 6 M|z0 | 6 m.(7)В дальнейшем мы будем рассматривать лишь часть промежутка I,лежащую справа от x0 , т. е.
будем считать x− x0 > 0. Рассмотрениелевой части может быть сделано так же.Оценим разности между соседними последовательными приближениями. Первая из формул (4) даетy1 (x) − y0 =Zx[p1 (t)y0 + q1 (t)z0 ]dt.x0Заменяя под интегралом все величины абсолютными значениями и большими величинами, в силу (6) и (7) получим [I, 95]|y1 (x) − y0 | 6Zx(M m + M m)dt,x0то есть|y1 (x) − y0 | 6 m2M (x − x0 ),(8)50]§ 5.
Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .183и совершенно так же|z1 (x) − z0 | 6 m2M (x − x0 ).(81 )Первое из уравнений (5) при n = 2 будетy2 (x) = y0 +Zx[p1 (t)y1 (t) + q1 (t)z1 (t)]dt;x0вычитая из него почленно первое из уравнений (4), получим|y2 (x) − y1 (x)| =Zxx0{p1 (t)[y1 (t) − y0 ] + q1 (t)[z1 (t) − z0 ]}dt.Заменяя опять под интегралами все величины абсолютными значениями и пользуясь (6), (8) и (81 ), получим|y2 (x) − y1 (x)| 6Zxx0{M m2M (t − x0 ) + M m2M (t − x0 )}dt,или2|y2 (x) − y1 (x)| 6 2 mM2Zxx02(t − x0 )dt = m2 M2(t − x0 )22!t=x,t=x0откуда окончательно|y2 (x) − y1 (x)| 6 m[2M (x − x0 )]2.2!(9)[2M (x − x0 )]2.2!(91 )Совершенно так же|z2 (x) − z1 (x)| 6 mДалее, берем первые из уравнений (5) при n = 2 и n = 3.
Почленно вычитая, получимy3 (x) − y2 (x) =Zxx0{p1 (t)[y2 (t) − y1 (t)] + q1 (t)[z2 (t) − z1 (t)]}dt.184Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[50Пользуясь (6), (9) и (91 ), как и выше, будем иметь23 M 3|y3 (x) − y2 (x)| 6 m2Zxx0(t − x0 )2 dt,откуда[2M (x − x0 )]3,3![2M (x − x0 )]3|z3 (x) − z2 (x)| 6 m.3!|y3 (x) − y2 (x)| 6 mПродолжая так и дальше, можем написать общие оценки разности двух соседних приближений[2M (x − x0 )]n ,|yn (x) − yn−1 (x)| 6 mn!(10)[2M (x − x0 )]n |zn (x) − zn−1 (x)| 6 m.n!Пользуясь этими оценками, нетрудно показать, что функция yn (x)и zn (x) равномерно стремятся к некоторым предельным функциямy(x) и z(x) 2 при беспредельном увеличении значка n.
Докажем этодля последовательности функций yn (x). Эту последовательностьмы можем заменить бесконечным рядомy0 + [y1 (x) − y0 ] + [y2 (x) − y1 (x)]++ [y3 (x) − y2 (x)] + . . . + [yn (x) − yn−1 (x)] + . . . , (11)у которого сумма первых (n + 1) членов равна yn (x), и мы должны,таким образом, доказать равномерную сходимость ряда (11) [I, 144].Если l есть длина промежутка I, в котором меняется x, то перваяиз формул (10) показывает, что члены ряда (11) по абсолютнойвеличине не превосходят положительных чиселm(2M l)nn!(n = 1, 2, . .
.),2 Для дальнейшего существенно вспомнить параграфы о рядах с переменными членами и равномерной сходимости из тома I.50]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .185а ряд, составленный из этих чисел, сходится по признаку Даламбера, так как отношение последующего члена к предыдущему, равное 2Mln , стремится к нулю при беспредельном возрастании n. То же следует и из разложения ex [I, 129]. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса [I, 147], ряд (11) равномерно сходится в промежутке I, т. е.
в этом промежутке yn (x) равномерно стремится к некоторой функции y(x). Совершенно также можно доказать, что и последовательность zn (x) равномерно стремится в I к некоторой предельной функции z(x), т. е. вI имеет место равномерное по отношению x стремление к пределу:lim yn (x) = y(x),n→∞lim zn (x) = z(x).n→∞(12)Функции yn (x) и zn (x) непрерывны в I и, следовательно, то жеможно утверждать и относительно предельных функций y(x) и z(x)[I, 145].Отметим, что для части промежутка I, лежащей слева от x0 , гдеx − x0 6 0, мы должны в правых частях (8) и (81 ) заменить (x − x0 )на (x0 − x). В дальнейших оценках надо будет (t − x0 ) заменить(x0 − t) и т.
д. Неравенства (10) останутся справедливыми для всегопромежутка I при условии замены (x − x0 ) абсолютным значениемэтой разности.Докажем теперь, что предельные функции удовлетворяют уравнениям (3), т. е. уравнениям (1) и предельным условиям (2). Этонепосредственно вытекает из формул (5), если в обеих частях этихуравнений перейти к пределу при n → ∞. Тогда yn (x) и yn−1 (t)будут стремиться к y(x) и y(t), а zn (x) и zn−1 (t) — к z(x) и z(t), ив пределе для y(x) и z(x) получим уравнения (3). Проведем строгоэтот предельный переход.
Из (12) следуетlim [p1 (t)yn−1 (t) + q1 (t)zn−1 (t)] = p1 (t)y(t) + q1 (t)z(t),n→∞(121 )lim [p2 (t)yn−1 (t) + q2 (t)zn−1 (t)] = p2 (t)y(t) + q2 (t)z(t).n→∞Докажем, что эти предельные переходы имеют место равномернопо отношению к t в промежутке I. Ограничимся первой формулой.186Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[50Оценим разности между пределом и переменной:|[p1 (t)y(t) + q1 (t)z(t)] − [p1 (t)yn−1 (t) + q1 (t)zn−1 (t)]| 66 |p1 (t)||y(t) − yn−1 (t)| + |q1 (t)||z(t) − zn−1 (t)|.В силу равномерного стремления yn−1 (t) и zn−1 (t) к y(t) и z(t) прилюбом заданном ε > 0 существует число N , одно и то же для всехt из I такое, что|y(t) − yn−1 (t)| <ε,2M|z(t) − zn−1 (t)| <ε2Mприn > N.Отсюда, в силу (6) следует, что при любых t из I имеет место приn > N неравенство|[p1 (t)y(t) + q1 (t)z(t)] − [p1 (t)yn−1 (t) + q1 (t)zn−1 (t)]| < ε,что и доказывает равномерное стремление к пределу в формулах(121 ) во всем промежутке I и в любой его части (x0 , x).
Обращаемся к формулам (5) и пользуемся возможностью перехода к пределупод знаком интеграла для равномерно сходящихся последовательностей [I, 145]. Переходя к пределу, получаем из этих формул уравнения (3) для y(x) и z(x).Резюмируя, можем сказать, что метод последовательных приближений дал нам решение системы (1) при начальных условиях(2), т.
е. мы доказали существование решения. Покажем теперь, чтоискомое решение единственно. Пусть уравнения (3) имеют два решения: y(x), z(x) и Y (x), Z(x). Подставляя в уравнение (3) сначалаодно, а потом другое решение и вычитая почленно, будем иметьZxy(x) − Y (x) = {p1 (t)[y(t) − Y (t)] + q1 (t)[z(t) − Z(t)]}dt,x0(13)Zxz(x) − Z(x) = {p2 (t)[y(t) − Y (t)] + q2 (t)[z(t) − Z(t)]}dt. x0Возьмем справа от x0 промежуток I1 такой длины l1 , чтобы произведение 2M l1 = θ было меньше единицы. Докажем, что в этом50]§ 5.
Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .187промежутке упомянутые два решения совпадают. Если бы это былоне так, то абсолютные значения разностей|y(x) − Y (x)|,|z(x) − Z(x)|имели бы в I1 положительный максимум, который мы обозначимчислом δ. Пусть он достигается, например, первой разностью в точке x = ξ, т. е.|y(ξ) − Y (ξ)| = δ(14)и|y(x) − Y (x)| 6 δи |z(x) − Z(x)| 6 δ(x в I1 ).(141 )Рассмотрим первое из уравнений (13) при x = ξ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
