1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Номы применим другой способ, а именно, вводя новые переменные ξи η, мы приведем сперва уравнение (45) к виду, более удобному длянепосредственного исследования. Положимξ = m1 x + n1 y,η = m2 x + n2 y,где mi , ni (i = 1, 2) — постоянные. Имеем:dξ = m1 dx + n1 dy,dη = m2 dx + n2 dy.(47)208Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[54Из уравнения (45), составляя производную пропорцию, получимdξdη=.m1 (a11 x+a12 y)+n1 (a21 x+a22 y) m2 (a11 x+a12 y)+n2(a21 x+a22 y)(48)Определим теперь коэффициенты в формулах (47) так, чтобы знаменатели написанных дробей были соответственно пропорциональны ξ и η.
Для первого знаменателя будем иметьm1 (a11 x + a12 y) + n1 (a21 x + a22 )y = ρ(m1 x + n1 y),откуда, сравнивая коэффициенты при x и y, получим систему уравнений для определения ρ, m1 , n1 — линейную однородную по отношению m1 , n1 :)(a11 − ρ)m1 + a21 n1 = 0,(491 )a12 m1 + (a22 − ρ)n1 = 0.Точно так же, обращаясь ко второму знаменателю и приравниваяего ρη, получим систему)(a11 − ρ)m2 + a21 n2 = 0,(492 )a12 m2 + (a22 − ρ)n2 = 0,причем ρ может иметь и другое значение.
Нулевые решения систем(491 ) и (492 ) не годятся, так как при этом преобразование переменных (47) теряет смысл. Нужно, чтобы эти системы имели решения,отличные от нулевого. Для этого необходимо и достаточно, чтобыкоэффициенты указанных систем удовлетворяли условию(a11 − ρ)(a22 − ρ) − a12 a21 = 0,то естьρ2 − (a11 + a22 )ρ + (a11 a22 − a12 a21 ) = 0.(50)При выполнении этого условия как система (491 ), так и система(492 ) приведутся к одному уравнению, и можно получить для неизвестных (m1 , n1 ) и (m2 , n2 ) решения, отличные от нулевого. Отметим, что, в силу предположения (46), уравнение (50) не можетиметь корня ρ = 0.54]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.
. .209Рассмотрим сначала тот случай, когда уравнение (50) имеетразличные вещественные корни ρ = ρ1 и ρ = ρ2 . Подставляя в(491 ) ρ = ρ1 и в (492 ) ρ = ρ2 , сможем найти отличные от нулевогорешения (m1 , n1 ) и (m2 , n2 ) этих систем. Покажем, чтоm1 n2 − m2 n1 6= 0,(51)т. е. что из уравнений (47) мы можем выразить x, y через ξ, η.Положим, например, что a12 6= 0. Фиксируя n1 6= 0 и n2 6= 0, поρ1 −a22 m2ρ2 −a22m2m11лучаем mn1 =a12 ; n2 =a12 , откуда n1 6= n2 , т. е. приходимк (51).
Поскольку n1 и n2 можно полагать равными любому числу,отличному от нуля, можем считать, что m1 n2 − m2 n1 = 1, и из (47)получаемx = n2 ξ − n1 η, y = −m2 ξ + m1 η.(52)В переменных ξ и η уравнение (45) имеет видdηdξ=.ρ1 ξρ2 η(53)Мы толкуем это уравнение, как и уравнение (41), в виде двух уравненийρ2 ηdη=,(531 )dξρ1 ξρ1 ξdξ=.dηρ2 η(532 )Обозначая через dt общую величину отношений (53), придем к двумдифференциальным уравнениямdξ= ρ1 ξ,dt(541 )dη= ρ2 η,dt(542 )откудаξ = c1 eρ1 t ,η = c2 eρ2 t ,(55)где c1 и c2 — произвольные постоянные. Лишняя произвольная постоянная получилась за счет возможности замены t на t + C0 , где210Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[54C0 — произвольная постоянная. Отметим, что уравнение (532 ) имеет очевидное решение ξ = 0, а уравнение (531 ) решение η = 0, т. е.уравнение (45) имеет интегральными линиями прямыеm1 x + n1 y = 0,(561 )m2 x + n2 y = 0.(562 )Точнее говоря, мы должны говорить о четырех полупрямых, исключая начало, в котором уравнение (45) теряет смысл.
Эти полупрямые стремятся к началу. Рассмотрим теперь отдельно следующие случаи:1. К о р н и ρ1 и ρ2 в е щ е с т в е н н ы, р а з л и ч н ы и о д ин а к о в ы х з н а к о в. Подставляя в формулы (52) вместо ξ и η ихвыражения (55) и решая относительно x и y, получаем параметрическое уравнение интегральных линийx = n2 c1 eρ1 t − n1 c2 eρ2 t ,y = m1 c2 eρ2 t − m2 c1 eρ1 t ,m1 c2 ρ2 e(ρ2 −ρ1 )t − m2 c1 ρ1dy.=dxn2 c1 ρ1 − n1 c2 ρ − 2e(ρ2 −ρ1 )tРис. 20.(571 )(572 )Если исключить прямые (561 ), (562 )и значения ξ = η = 0, которым соответствует x = y = 0, то c1 6= 0 иc2 6= 0, переменные ξ и η не обращаются в нуль ни при каком t и формулы (571 ) не дают точки x = y = 0.Если ρ1 и ρ2 положительны, то, ненарушая общности, можем считатьρ2 > ρ1 , а если ρ1 и ρ2 отрицательны,то будем считать ρ2 < ρ1 .
В первомслучае из формул (571 ) и (572 ) слеdy2→ −mдует, что x → 0, y → 0 и dxn2при t → −∞. Если же ρ2 < ρ1 < 0,то мы получим тот же результат приt → +∞, т. е. все интегральные линии (571 ) стремятся к точке (0, 0), и54]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .211если мы добавим к ним эту точку, то получим линии, имеющие вэтой точке общую касательную (562 ). Исключение в отношении последнего утверждения относительно касательной составляет интегральная прямая (561 ). Особая точка описанного типа называетсяузлом.
В дальнейшем мы дадим полное определение узла. Отметим, что из (541 ) и (542 ) следует равенство η = C|m1 x + n1 y| ρρ21 ,т. е. уравнение (45) в рассматриваемом случае имеет общий интеграл видаρ2m2 x + n2 y = C|m1 x + n1 y| ρ1 ,(58)где C — произвольная постоянная.В качестве примера рассмотрим уравнениеdydx=,x2yкоторое имеет вид (45) (ρ1 = 1, ρ2 = 2). Его интегральные линии —семейство парабол y = Cx2 (y = 0 при C = 0) и ось x = 0 (рис. 20).2.
К о р н и ρ1 и ρ2 в е щ е с т в е н н ы, р а з л и ч н ы и р а з н ы хз н а к о в. В этом случае формула (58) дает|m1 x + n1 y|µ (m2 x + n2 y) = Cρ2µ=− >0 .ρ1(59)Отсюда видно, что кроме прямых (561 ) и (562 ), ни одна интегральная линия (C 6= 0) не приближается беспредельно к началу, т. е.невозможно, чтобы вдоль интегральной линии x → 0 и y → 0.Упомянутые интегральные прямые проходят через начало (C = 0).Каждая из них разбивается началом (особая точка) на две полупрямые. Особая точка такого типа называется седлом.Обратимся к формулам (571 ), которые имеют место и в рассматриваемом случае. Положим, что ρ1 > 0 и ρ2 < 0.
Указанныепрямые получаются, как нетрудно видеть, при c1 = 0 и при c2 = 0.На полупрямых, соответствующих первой прямой, x → 0, y → 0 приt → +∞ (ρ2 < 0), а для другой прямой — при t → −∞ (ρ1 > 0). Нарис. 21 стрелкой отмечено направление, соответствующее стремлению t к +∞.212Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[54Отметим, что при µ = 1 иC 6= 0 семейство (59) есть семейство двух гипербол, для которыхпрямые (561 ) и (562 ) суть асимптоты.3. К о р н и ρ1 и ρ2 — м н им ы е с о п р я ж е н н ы е: ρ1 = α +βi и ρ2 = α − βi, п р и ч е м α иβ о т л и ч н ы о т н у л я. Подставляя в коэффициенты системы (491 ) ρ = α + βi, получимдля (m1 , n1 ) отличное от нуля реРис. 21.шение, состоящее из комплексныхчисел. Подставляя в коэффициенты системы (492 ) ρ = a−βi, можемутверждать в виду вещественности aik , что отличное от нулевогорешение системы будет (m1 , n1 ), причем через a мы обозначаемкомплексное число, сопряженное с a.Из формул (47) мы видим, что, в силу вещественности x и y,величины ξ и η суть комплексные сопряженные.
Таким образом,левая и правая части равенства (53) должны быть комплекснымисопряженными (или вещественными), и из самого факта их равенства следует, что эти величины должны быть вещественными. Обозначая их общую величину через dt, приходим к уравнению (541 ) и(542 ), интегрирование которых с учетом того, что ξ и η — комплексные сопряженные, даетξ = Ceαt (cos βt + i sin βt),η = Ceαt (cos βt − i sin βt),(60)где C = c1 + c2 i — комплексная постоянная. При C = 0 получаем ξ = η = 0, т. е. особую точку x = y = 0.
При C 6= 0 имеем|ξ| = |η| = |C|eαt 6= 0, и эта величина → 0 при t → −∞, если α > 0,и при t → +∞ при α < 0. Принимая во внимание линейную зависимость между переменными (ξ, η) и (x, y), можем утверждать, чтовсе интегральные кривые уравнения (45) стремятся одним своимконцом к особой точке (0, 0). Пользуясь формулами (60) и указанной зависимостью между переменными, нетрудно показать, что приприближении к точке (0, 0) все интегральные кривые спиралеобраз-54]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.
. .213но закручиваются вокруг этой точки водном и том же направлении (рис. 22).Особая точка такого типа называетсяфокусом. Если мы положим ξ = u + viи η = u − vi, где u и v вещественны,то эти переменные выражаются черезx и y по формулам видаu = p1 x + q1 y,v = p2 x + q2 y, (61)где pk и qk — вещественны и p1 q2 −p2 q1 6= 0. Эти формулы дают возможность выразить x, y через u, v и убедиться на основании (60) в указанномвыше поведении интегральных кривых на плоскости XOY вблизи точкиРис.
22.(0, 0).Для рассмотренных выше трех случаев мы имеем следующийхарактерный факт: при произвольном, но достаточно малом изменении коэффициентов aik мы остаемся при прежнем предположении о корнях ρ1 , ρ2 , а следовательно, не меняется и характеррасположения интегральных кривых в окрестности особой точки.Иное мы будет иметь в следующем случае.4. К о р н и ρ1 и ρ2 — ч и с т о м н и м ы е: ρ1 = βi, ρ2 = −βi (β 6= 0).Мы имеем формулы (60) при α = 0, из которых следует, что |ξ|2 =|η|2 = |C|2 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
