1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Введем новое понятие. Предельным циклом называется изолированный цикл,т. е. цикл l, обладающий следующим свойством: существует такоеположительное число ε, что траектория, проходящая через любуюточку, кратчайшее расстояние которой до l меньше ε, не есть замкнутая траектория.Траектории, проходящие через точку, лежащую внутри цикла l,в силу единственности лежат целиком внутри l. Аналогичное свойство имеем место и для траекторий, лежащих вне l. Приведем бездоказательства еще два результата.Внутри всякого цикла l находится по крайней мере одна точка покоя. Если l — предельный цикл, то все траектории, находящиеся как внутри, так и вне l и выходящие из точек, достаточноблизких к l, наматываются спиралеобразно на l при t → +∞ илиt → −∞, причем возможны следующие случаи: 1) внутренние ивнешние траектории наматываются на l при t → +∞; 2) то жесамое при t → −∞; 3) один из указанных классов траекторий наматывается при t → +∞, а другой при t → −∞.Предельные циклы имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение в физике.
Отметим, что, говоря о цикле,мы подразумеваем, как указано выше, замкнутую траекторию безточек покоя.220Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[56Можно доказать также следующие факты: траектории закручиваются вокруг точки покоя, являющейся фокусом, и стремятся к узлу при t → +∞ или t → −∞; если точка покоя — седло,то к ней стремятся четыре траектории: две при t → +∞ и две —при t → −∞, причем первые две и последние две образуют линии, проходящие через седло и имеющие непрерывно меняющуюсякасательную.Доказательство указанных выше утверждений и вообще изложение теории автономных систем можно найти в книгеЛ.
С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения».56. Примеры. 1. Возьмем пример из [9] и заменим дифференциальное уравнение системойdx1= 2x1 x2 ,dtdx2= 1 − 3x21 − x22 .dt(72)Уравнение семейства траекторий имеет видx1 (x21 + x22 − 1) = C.(73)3,0 ,3√Система (72) имеет четыре точки покоя M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 √M4 − 33 , 0 . Пользуясь формулой Тейлора, разлагаем правые частиРис.
25.уравнений (72) по степеням(x1 − α), (x2 − β), где α, β —координаты особых точек, исоставляем квадратное уравнение для ρ. Для точек M1noindent и M2 его корни вещественные и различных знаков, а для точек M3 и M4 —корни чисто мнимые. Такимобразом, особые точки M1 иM2 типа седла, а M3 и M4 —или фокусы или центры.
ПриC = 0 уравнение дает прямую x1 = 0 и окружность L:x21 +x22 = 1, на пересечении которых лежат M1 и M2 . Никакие другие траектории через56]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .221эти точки проходить не могут,так что можно утверждать, что существует четыре типа траекторий:1) траектории вне окружности L и справа от x1 = 0; 2) симметричныес ними относительно оси x1 = 0; 3) траектории внутри L и справа отx1 = 0; 4) симметричные с ними относительно x1 = 0. Указанная симметрия непосредственно следует из того, что левая часть уравнения (73)не меняется при замене x2 на (−x2 ).
Из (73) следует, что траектории,лежащие вне L, имеют ось x1 = 0 асимптотой. Для исследования траекторий,лежащих внутри L, разложим левую часть (73) по степенямx1 −√33√и x2 :√ 2 √√ 3 √ 33 2333 x1 −+x + x1 −+ x1 −x22 = C.33 233Из этого равенства следует, что траектории, лежащие внутри L, кромечасти оси x1 = 0, суть замкнутые кривые, внутри которых лежат точки покоя M3 и M4 — центры. Нетрудно показать, что вообще семействоалгебраических кривых не может иметь предельных циклов.
Картинатраекторий системы (72) изображена на рис. 25. Полагая во втором изуравнений (72) x1 = 0, получимdx2= 1 − x22 .dt22откуда dx> 0 при |x2 | < 1 и dx< 0 при |x2 | > 1, что определяетdtdtнаправление движения по оси x1 = 0 при возрастании t. Легко получитьэто направление и на других траекторияхp (рис. 25).Введем полярные координаты ρ = x21 + x22 и угол ϕ и определимпроизводную ρ2 по t вдоль траекторий.
Пользуясь уравнениями (72),получимdx1dx2dρ2= 2 x1+ x2= 2x2 (1 − ρ2 ),dtdtdtоткудаdρdρ= (1 − ρ2 ) sin ϕ или= − sin ϕdtdtρ2 − 1иRt−2ρ−1= C1 e t0 sin ϕdt.(74)ρ+1Их этой формулы видно, что для траекторий, лежащих вне L, интервализменения t конечен. Действительно, при беспредельном удалении вдоль222Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[56этих траекторий наверх или вниз (ρ → +∞) левая часть равенства (74)стремится к единице, а sin ϕ → ±1, откуда и следует, что t стремится приэтом к конечным пределам.2. Рассмотрим системуdx1= x1 (x21 + x22 − 1) − x2 (x21 + x22 + 1),dt(75)dx2= x2 (x21 + x22 − 1) + x1 (x21 + x22 + 1).dtНетрудно показать, что она имеет единственную точку покоя — фокус (0,0). Используя уравнения (75), получимdρ2= 2ρ2 (ρ2 − 1).dtИз этого равенства следует, что окружность L:x21 + x22 − 1 = 0(76)(77)является замкнутой траекторией, ибо производная от левой части (77)по t в силу (76) равна нулю [9]. Из (76) следует, что на любой траектории,находящейся внутри L, ρ убывает при возрастании t, а на траекторияхвне L — возрастает.
Отсюда следует, что никаких замкнутых траекторий,кроме L, нет (L — предельный цикл) и что траектории закручиваютсявокруг L при t → −∞ как внутри, так и извне. Внутренние траекториизакручиваются вокруг фокуса при t → +∞.Получим явные выражения для ρ и ϕ через t. Уравнение (76) естьуравнение первого порядка для ρ, причем переменные в нем разделаются,и, интегрируя, получим1.(78)ρ2 =1 + Ce2tПри C > 0 получаются внутренние траектории (ρ < 1), при C < 0 внешние (ρ > 1), а при C = 0 — окружность (77). Для полярного угла ϕполучаем вдоль траекторий dx2dx1d1x2dϕ== x1− x2arctgdtdtx1dtdtx21 + x22и, в силу (75),dϕ= ρ2 + 1dt(79)и, пользуясь (78), получаемϕ = 2t −1lg(1 + Ce2t ) + C1 .2(80)56]§ 5.
Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .223Из (78) и (79) непосредственно следует сказанное выше о внутреннихтраекториях. Для внешних траекторий промежуток существования определяется неравенством1−∞ < t < − lg(−C)2(C < 0).При t → −∞ траектории закручиваются вокруг L, а при t → − 12 lg(−C)траектории беспредельно удаляются,закручиваясь против часовой стрелки(ρ → +∞, ϕ → +∞). При C = 0 непоРис. 26.= 2,средственно получаем: ρ = 1 и dϕdtт.
е. x1 = cos(2t + C1 ), x2 = sin(2t + C1 ). На рис. 26 представлен характеррасположения траекторий с указанием движения по ним при возрастании t.3. Рассмотрим аналогичный по характеру, но более сложный примерdx1= x1 (x21 + x22 − 1)(x21 + x22 − 9) − x2 (x21 + x22 − 2x1 − 8),dt(81)dx2= x2 (x21 + x22 − 1)(x21 + x22 − 9) + x1 (x21 + x22 − 2x1 − 8).dtПриравнивая правые части нулю, получаем три точки покоя:√ √ 135351,−, M3,−.M1 (0, 0), M22222Поступая, как в примере 1, нетрудно показать, что M1 — фокус, M2 —узел и M3 — седло.
Вместо (76) имеем уравнениеdρ2= 2ρ2 (ρ2 − 1)(ρ2 − 9),dt(82)из которого следуют, как и в примере 2, два решения системыx21 + x22 − 1 = 0,(831 )x21 + x22 − 9 = 0.(832 )Решение (832 ) разбивается точками покоя M2 и M3 на две траектории.Кроме того, из (82) следует, что ρ возрастает при возрастании t внутри окружности (831 ), а также вне окружности (832 ) и убывает между224Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[56двумя этими окружностями и, следовательно, у системы (81) нет замкнутых траекторий кроме окружности (831 ).Траектории, находящиеся внутри окружности (831 ), закручиваютсявокруг фокуса M1 при t → −∞ и вокруг окружности (831 ) (предельный цикл) при t → +∞. Все траектории, находящиеся вне окружности(832 ), кроме одной, стремятся к узлу M2 при t → −∞ и одна — к седлуM3 также при t → −∞. Внутри кругового кольца между окружностями(831 ) и (832 ) траектории идут от точек M2 и M3 (из этой точки — только одна) и затем закручиваются вокруг предельного цикла (831 ) приt → +∞.
Выше мы отметили, что окружность (832 ) разбивается точками M2 и M3 на две траектории l1 и l2 . Касательная к окружности (832 )в точке M2 является касательной к l1 и l2 , а касательные траекторииимеют другую общую касательную в этой точке [ср. 54]. Аналогичнымобразом, в седле M3 две траектории, отличные от l1 и l2 , имеют в M3общую касательную, отличную от касательной к окружности.Интегрируя уравнение (82), получимρ16 (ρ2 − 9)= Ce144t ,(ρ2 − 1)9(84)и при ρ > 3, т. е. для траекторий, находящихся вне окружности (832 ),постоянная C должна быть положительной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
