1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. u2 + v 2 = |C|2 , откуда, принимая во внимание (61),получаем семейство интегральных кривых уравнения (45)(p1 x + q1 y)2 + (p2 x + q2 y)2 = |C|2 ,(62)т. е. интегральные кривые — подобные эллипсы или их окружности.Ни одна интегральная кривая не проходит через особую точку,и эта последняя окружена замкнутыми интегральными линиями(рис. 23). Такая особая точка называется центром.
В этом случае при сколь угодно малом изменении коэффициентов aik у чистомнимых корней ρ1,2 = ±βi может появиться вещественная часть ицентр превратится в фокус.214Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[545. У р а в н е н и е (50) и м е е т к р а тн ы й к о р е н ь ρ1 = ρ2 , о т л и ч н ы йо т н у л я. При подстановке в коэффициенты системы (491 ) или (492 ) ρ = ρ1могут встретиться два случая: или всекоэффициенты при этом обратятся внуль, или среди коэффициентов будетпо крайней мере один, отличный от нуля. Рассмотрим сначала первый случайРис.
23.a12 = a21 = 0,a11 = a22 = ρ1 , (63)при этом система (45) будет иметь видdydx=ρ1 xρ1 yилиdydx=xyи ее общий интеграл y = Cx будет семейством прямых, проходящихчерез начало, т. е. начало координат будет узлом.Среди коэффициентов a12 , a11 −ρ1 , a22 −ρ1 есть по крайней мереодин, отличный от нуля.
Нетрудно видеть, что при этом a12 и a21 немогут оба быть равны нулю. Действительно, если a12 = a21 = 0, то,принимая во внимание кратность корня ρ1 уравнения (50), получим a11 = a22 = ρ1 : при сделанном предположении уравнение (50)превращается в уравнение ρ2 − (a11 + a22 )ρ + a11 a22 = 0, и условиекратности корня этого уравнения дает a11 = a22 , и общая величинаa11 и a22 и есть кратный корень уравнения. Итак, если предположить a12 = a21 = 0, то выполнены условия (63), что противоречитсделанному нами предположению. Поэтому хотя бы один из коэффициентов a12 или a21 отличен от нуля.
Положим, например, чтоa21 6= 0. Кратный корень уравнения (5) будет, очевидно,ρ1 =a11 + a22,2и система (491 ) при подстановке ρ = ρ1 должна привестись, как мывыше упоминали, к одному уравнениюa11 − a22m1 + a21 n1 = 0.254]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .21522Выберем m1 = a21 и n1 = − a11 −a, т. е.2ξ = a21 x −a11 − a22y,2(64)оставляя вторую переменную y прежней.
Дифференциальное уравнение можно будет написать в видеdydξ=ρ1 ξa21 x + a22 yили, подставляя вместо x его выражение, определяемое из формулы(64),dydξ=,(65)ρ1 ξξ + ρ1 yт. е.1dy y− −= 0.dξξρ1Интегрируя это линейное уравнение, получаемy = Cξ +ξ lg |ξ|.ρ1При ξ → 0 имеем y → 0 и dydξ →+∞. Освобождаясь от знаменателя вуравнении (65), видим, что имеетсяеще решение ξ = 0, т.
е.a21 x −a11 − a22y = 0.2(66)Все интегральные линии стремятсяодним своим концом к точке (0, 0)и касаются в этой точке прямой (66),т. е. мы имеем узел, но только с однойРис. 24.касательной в особой точке (рис. 24).Случай, когда уравнение (50) имеет корень ρ = 0, т. е. a11 a22 −a12 a21 = 0, не представляет интереса. Считая естественно, что ниодни из знаменателей в уравнении (45) не равен тождественно нулю, мы видим, что эти знаменатели в рассматриваемом случае отличаются лишь постоянным множителем, отличным от нуля, так216Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[54dyчто уравнение приводится к виду dx= k, где k — некоторая постоянная, отличная от нуля. Семейство интегральных линий естьсемейство параллельных прямых.Если мы в знаменателях уравнения (45) заменим x и y на (x−x0 )и (y − y0 ), то получим, очевидно, те же картины расположенияинтегральных кривых, что и выше, но вместо (0, 0) особой точкойбудет (x0 , y0 ).Положим, что в уравнении (41) P (x, y) и Q(x, y) — многочлены,равные нулю в точке (0, 0), и выделим из них члены с первымистепенямиP (x, y) = a11 x + a12 y + p(x, y),Q(x, y) = a21 x + a22 y + q(x, y), (67)где p(x, y) и q(x, y) равны нулю в точке (0, 0) и их частные производные по x и y также равны нулю в этой точке.
При этом в случаях:1), 2) и 3) картина интегральных линий в о к р е с т н о с т и т о ч к и(0, 0) будет того же характера, что и для уравнения (45), т. е. вслучае 1) точка (0, 0) будет узлом; в случае 2) — седлом и в случае3) — фокусом.Сформулируем результат более точно.В случае 1) все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к точке (0, 0), стремятся одним своих концом к этой точкеи при добавлении этой точки имеют в ней определенную касательную, причем две интегральные кривые имеют в точке (0, 0) общуюкасательную, т.
е. составляют при добавлении этой точки одну кривую с непрерывно меняющейся касательной, а все остальные интегральные кривые имеют в точке (0, 0) другую общую касательную.В случае 2) в окрестности (0, 0) существуют две пары интегральных кривых, стремящихся к точке (0, 0), причем кривые каждойпары вместе с точкой (0, 0) образуют одну кривую с непрерывно меняющейся касательной. Остальные интегральные кривые в окрестности (0, 0) не стремятся к этой точке и расположены примернотак, как и для уравнения (45).В случае 3) все интегральные кривые в окрестности (0, 0), каки для уравнения (45), беспредельно приближаются к этой точке,спиралеобразно закручиваясь в одном и том же направлении.В случае 4) особая точка может быть или фокусом или центром.В последнем случае все интегральные кривые, начинающиеся до-55]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. .
.217статочно близко к особой точке, суть замкнутые кривые, содержащие особую точку внутри.Указанные выше результаты сохраняются и для того, более общего случая, когда p(x, y) и q(x, y) определены только в окрестности (0, 0), имеют в этой окрестности (включая точку (0, 0)) непрерывные частные производные до третьего порядка и частные производные первого порядка равны нулю в точке (0, 0).55. Автономные системы. Вернемся к уравнению (41) и введем другие обозначения, а именно запишем его в следующем виде:dx2dx1=.f1 (x1 , x2 )f2 (x1 , x2 )(68)Вводя вспомогательную переменную dt, как это мы делали в [54],получим систему двух уравнений первого порядкаdx1= f1 (x1 , x2 ),dtdx2= f2 (x1 , x2 ).dt(69)Пусть (x1 , x2 ) — координаты точек плоскости X1 OX2 и t — время.Будем считать, что fi (x1 , x2 ) однозначные, непрерывные и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всейплоскости.
Таким образом, вся плоскость X1 OX2 и промежуток−∞ < t < +∞ изменения t являются областью B теоремы А существования и единственности в пространстве (x1 , x2 , t). Уравнения(69) можно толковать как задание составляющих вектора скорости, т. е. самого вектора скорости, а решения егоxi = ϕi (t) (i = 1, 2)(70)— как движения точек (x1 , x2 ) с течением времени. Решения уравнения (68) определяют траектории движущихся точек, а формулы(69) дают закон движения точек по этим траекториям в зависимости от времени.Для системы (69) характерен тот факт, что правые части уравнения не содержат t, и такие системы называются обычно автономными системами. Мы рассматриваем случай движения на плоскости, т. е.
случай двух функций x1 (t) и x2 (t). Если при x1 = a1 и218Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[55x2 = a2 правые части уравнений обращаются в нуль: f1 (a1 , a2 ) =f2 (a1 , a2 ) = 0, т. е. точка (a1 , a2 ) есть особая точка уравнения (68),то система (69) имеет очевидное решение x1 ≡ a1 и x2 ≡ a2 при−∞ < t < +∞ и точку (a1 , a2 ) естественно назвать точкой покоясистемы. В [54] мы рассмотрели при некоторых предположенияхвид траектории вблизи точек покоя. Положим для определенности, что во всякой ограниченной части плоскости имеется конечноечисло точек покоя. Если мы исключим все эти точки, то оставшаяся часть плоскости заполняется траекториями, каждая из которых имеет некоторый максимальный промежуток существованияa < t < b, и эти траектории не пересекаются друг с другом.
Изтого факта, что t входит в уравнения (69) только под знаком дифференциала, непосредственно следует, что наряду с решением (7)имеется решениеxi = ϕi (t + c) (i = 1, 2),(701 )где c — произвольная постоянная. Если a < t < b — максимальныйпромежуток существования решения (70), то для решения (701 ) этобудет промежуток a − c < t < b − c. Обоим решениям соответствуетодна и та же траектория. Решение (701 ) описывает ее с запаздыванием на величину c (при c > 0) по сравнению с решением (70).Выше мы упоминали, что различные траектории не имеют общихточек. Рассмотрим одну определенную траекторию l (не точка покоя), у которой существуют совпадающие точки при различныхt, т.
е. ϕi (t1 ) = ϕi (t2 ) (i = 1, 2) при t1 6= t2 . Учитывая теоремусуществования и единственности, нетрудно видеть, что эта замкнутая траектория, не содержащая, естественно, точек покоя (мы ихисключили). Можно также доказать, что функции ϕi (t)(i = 1, 2),соответствующие такой траектории, имеют промежуток существования −∞ < t < +∞ и обладают свойством периодичности, т. е.существует такое число ω, что ϕi (t + ω) = ϕi (t) (i = 1, 2) при всехt. Среди таких чисел ω имеется наименьшее, и все числа вида kω(k = ±1, ±2, . .
. ) суть также периоды. Точка xi = ϕi (t) (i = 1, 2)на всяком промежутке вида d 6 t < d + ω описывает замкнутуютраекторию один раз.Таким образом, кроме точек покоя, имеются два вида траекторий: 1) траектории, которые не самопересекаются (нет одинаковых55]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .219точек при различных t); 2) замкнутые траектории. Последние называются также циклами. Все сказанное выше имеет место и в случаелюбого числа переменныхdxi= fi (x1 , x2 , .
. . , xn ) (i = 1, 2, . . . , n).(71)dtВернемся к случаю плоскости. Одной из основных задач теории дифференциальных уравнений является качественное изучение расположения траекторий на всей плоскости или, как говорят,«в целом». Существенную роль при этом играют точки покоя ициклы. Иначе говоря, это есть задача о качественной картине интегральных кривых уравнения (68) на всей плоскости. Точки покояопределяются решением системы уравненийf1 (x1 , x2 ) = 0,f2 (x1 , x2 ) = 0.Весьма сложной является задача разыскания циклов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
