1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Далее, в силу равномерного стремления yn−1 (t) → y(t) в I, существуеттакое число N (одно и то же для всех t из I), что |y(t) − yn−1 (t)| 6δ при n > N и всех t из I. Отсюда вытекает, что для всехt из I:|f [t, y(t)] − f [t, yn−1 (t)]| 6 ε при n > N,что и доказывает равномерное по отношению t из I стремление кпределуf [t, yn (t)] → f [t, y(t)].Обращаемся ко второй из формул (25) и переходим в обеих частяхк пределу при n → ∞. В силу упомянутой только что равномернойсходимости, можем переходить к пределу под знаком интеграла иполучим для предельной функции уравнение (20). Таким образом,мы пришли к следующему результату:Задача (18), (19) при сделанных относительно f (x, y) предположениях имеет решение на промежутке x0 − c 6 x 6 x0 + c, гдеb, и это решение может бытьc — наименьшее из двух чисел a и Mполучено по методу последовательных приближений.196Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[51Переходим к доказательству единственности решения задачи(18), (19), или, что то же, уравнения (20). Сначала, как и в [50],докажем единственность для некоторого промежутка достаточномалой длины. Пусть на некотором промежутке (x0 − l, x0 + l),где положительное число l удовлетворяет неравенствам l 6 c иkl = θ < 1, имеются два решения y(x) и Y (x). Подставляя их вуравнение (20) и вычитая почленно полученные равенства, будемиметьZxy(x) − Y (x) = {f [t, y(t)] − f [t, Y (t)]}dt,x0откуда|y(x) − Y (x)| 6Zxx0|f [t, y(t)] − f [t, Y (t)]|dt(x > x0 )или, в силу (24),|y(x) − Y (x)| 6 kZxx0|y(t) − Y (t)|dt(x > x0 ).(31)Предполагая, что решения различны на промежутке x0 6 x 6x0 + l, можем утверждать, что |y(x) − Y (x)| достигает на этомпромежутке положительного наибольшего значения δ при некотором значении x = ξ.
Подставляя в неравенство (31) x = ξ,придем, как и в [50], к неравенству δ 6 klδ или 1 6 kl, а, поусловию, kl < 1. Это противоречие и доказывает единственностьна промежутке x0 6 x 6 x0 + l и, аналогично, на промежуткеx0 − l 6 x 6 x0 . Мы доказали, что если (x0 , y0 ) — любая точкаиз B, то решение задачи (18), (19) единственно на некотором промежутке x0 − l 6 x 6 x0 + l, т.
е. мы доказали «единственностьв малом».Положим теперь, что задача имеет решение y(x) на некоторомпромежутке I1 и решение Y (x) на промежутке I2 , причем как I1 ,так и I2 содержат x = x0 . Пусть I — промежуток, состоящий из точек, общих I1 и I2 . На I существуют оба решения. Покажем, что51]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .197они совпадают на I. Для определенности будем считать x > x0на I, что несущественно.
Докажем совпадение y(x) и Y (x) на I отобратного. Положим, что y(x) и Y (x) не совпадают на I. В силудоказанного выше, они все же должны совпадать при всех x > x0 идостаточно близких к x0 . Пусть E — множество таких значений x,что y(x) и Y (x) совпадают на промежутке x0 6 x 6 x′ . Если некоторое x′ принадлежит E, то всякое x′′ , удовлетворяющее условиюx0 < x′′ < x′ , также принадлежит E.
По предположению, существуют такие значения x из I, при которых упомянутые решенияне совпадают, откуда следует, что множество E должно иметь точную верхнюю границу, принадлежащую I. Обозначим ее через x1 .На каждом промежутке x0 6 x 6 x′ при x0 < x′ < x1 решения совпадают, и, в силу их непрерывности, они совпадают и на промежутке x0 6 x 6 x1 .
Но, по определению x1 , существуют такие x > x1 , исколь угодно близкие x1 , при которых y(x) и Y (x) не совпадают. Сдругой стороны, приняв x1 и y(x1 ) = Y (x1 ) за начальные данные иприменив доказанную выше «единственность в малом», мы можемутверждать, что y(x) и Y (x) должны совпадать при всех x > x1и достаточно близких к x1 . Полученное противоречие доказываетсовпадение y(x) и Y (x) на всем I.
Отметим, что в рассматриваемомслучае промежуток (x0 , x0 + c) изменения x определяется сложнее,чем это было в случае систем линейных уравнений, где он совпадал с промежутком непрерывности коэффициентов и свободныхчленов.П р и м е р. Рассмотрим задачуy ′ = x2 + y 2 ,y|x=0 = 0.(32)Уравнение (20) будетy(x) =Zx[t2 + y 2 (t)]dt.0За область B мы можем брать всю плоскость XOY . Вычисляем yn (x):y1 (x) =Zx0x3,t dt =32y2 (x) =Zx 0t2 +t69dt =x3x7+,...363198Гл. II.
Линейные дифференциальные уравнения. . .[52Положительные числа a и b, определяющие прямоугольник Q, можнобрать любыми. При этом M = a2 + b2 и неравенства, определяющиеискомый промежуток изменения x, имеют видb.a 2 + b2Если брать b близким к нулю или большим, то второе неравенство даеттесный промежуток изменения x. То же будет, если брать a большим,а при a, близких к нулю, тесный промежуток дает первое неравенство.Таким образом, нам не удается получить для x сколь угодно большого1bпромежутка изменения.
Дробь a2 +b2 имеет наибольшее значение 2a при1b = a, откуда следуют неравенства: |x| 6 a и |x| 6 2a , и наилучшей является оценка |x| 6 √12 , но решение, очевидно, продолжимо как направо,так и налево во вне промежутка − √12 6 x 6 √12 . Мы приведем болееподробный разбор этого примера ниже. Нетрудно видеть, что решениезадачи (32) есть кривая, симметричная относительно начала координат.Можно показать, что она уходит на бесконечность и имеет асимптотыx = ±h, где|x| 6 a,|x| 62, 002 < h < 2, 005.Отметим, что решение задачиy ′ = x2 − y 2 ,y|x=0 = 0существует на бесконечном промежутке −∞ < x < +∞.52.
Дополнения к теореме существования и единственности. Мы приведем теперь некоторые дополнительные результаты, непосредственно связанные с содержанием предыдущего номера. В нем было гарантировано существование решения задачи (18),(19) на промежутке x0 − c 6 x 6 x0 + c, где c — наименьшее изb. Но решение может, конечно, существовать и на болеечисел a и Mшироком промежутке. Мы можем взять значения x = c и y = y(c)за новые начальные данные и, таким образом, продолжить решение, оставаясь в области B. То же можно сделать и при x = x0 − c.При таком продолжении интегральная кривая беспредельно приближается к границе B.
Если B — бесконечная область, то понятиеприближения к границе B включает в себя и бесконечное удалениеточек интегральной кривой. В частности, если B есть вся плоскость52]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .199и решение задачи (18), (19) продолжимо направо на промежутокx0 6 x < h, где h — конечное число, но не на больший промежуток,то можно показать, что решение y = y(x) уходит на бесконечность,имея асимптоту x = h. Все эти утверждения являются следствиемтого, что во всякой ограниченной замкнутой области, принадлежащей B, имеют место оценки (22), (23), где M и k — некоторые положительные числа.
Вообще при указанном продолжении решенияy = y(x) задачи (18), (19) получается максимальный открытый промежуток существования p < x < q (конечный или бесконечный),так что всякое решение упомянутой задачи есть y(x) на промежутке p < x < q или на его части. Последнее совпадает с утверждениемединственности решения задачи.Обратимся теперь к условиям, которым мы подчинили f (x, y).Отметим прежде всего, что при доказательстве нам было важноиметь в каждом прямоугольнике Q, принадлежащем B, не наличие(x,y)но лишь неравенство Липшии непрерывность производной ∂f ∂yца (24). Это неравенство вместе с непрерывностью функции f (x, y)и можно взять как условия для f (x, y). Но пример из [2] показывает, что одной непрерывности f (x, y) недостаточно для единственности решения задачи (18), (19).
Можно показать (теорема Пеано),что если f (x, y) непрерывна в B и (x0 , y0 ) — точка, принадлежащаяB, то существует по крайней мере одно решение задачи (18), (19).Указанный выше пример из [2] показывает, что таких решений напромежутке x0 − δ 6 x 6 x0 + δ при любом малом δ > 0 может бытьбольше одного.Доказательство из [51] применимо и для системы уравненийdyi= fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ),dx.(33)(0)yi |x=x0 = yi(i = 1, 2, . .
. , n).В этом случае область B есть область изменения переменных(x, y1 , y2 , . . . , yn ). При n = 2 это есть область трехмерного пространства (x, y1 , y2 ) При n > 2 это — область (n + 1)-мерного пространства. Точка такой области есть последовательность (n + 1) чисел(x, y1 , y2 , . . . , yn ) (координаты точки). Расстояние между двумя точ-200Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .
.[52ками (a0 , a1 , a2 , . . . , an ) и (b0 , b1 , b2 , . . . , bn ) (n+1)-мерного пространства определяется формулойvu nuXd = t (bk − ak )2 .k=0Открытая область B есть множество точек, обладающих следующими двумя свойствами: 1) если некоторая точка P принадлежитB, то существует такое ε > 0, что B принадлежат и все точки,расстояние которых до P не больше ε∗ ; 2) если P и Q — любыедве точки из B, то существуют такие непрерывные функции ϕk (t)(k = 0, 1, 2, .
. . , n), определенные на некотором конечном промежутке α 6 t 6 β, что все точки, определяемые формуламиx = ϕ0 (t),yi = ϕi (t) (i = 1 < 2, . . . , n),принадлежат B при α 6 t 6 β, причем t = α дает координатыточки P и t = β — координаты точки Q. Это условие на геометрическом языке означает, что P и Q могут быть соединены линией,все точки которой принадлежат B.
В случае системы (33) условия теоремы A совершенно аналогичны условиям из [51]: функцииfi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) (i = 1, 2, . . . , n) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные по всем yk (k = 1, 2, . . . , n) в B, а(0) (0)(0)точка (x0 , y1 , y2 , . . . , yn ) принадлежит B.При доказательстве теоремы А в [51] мы исходили из рассмотрения прямоугольника Q, в центре которого находилась точка(x0 , y0 ). Мы могли бы вместо этого рассматривать прямоугольникx0 6 x 6 x0 + a, y0 − b 6 y 6 y0 + b, что привело бы к построению решения на промежутке x0 6 x 6 x0 + c, и при этом числаa, b и c могли бы оказаться отличными от тех, которые мы имелив [51].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
