1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 26
Текст из файла (страница 26)
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[45Если имеется линейное неоднородное уравнениеy ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x),у которого не только коэффициенты, но и свободный член сутьстепенные ряды, то его частное решение также можно искать ввиде степенного ряда.Сделаем одно замечание по поводу формул (6). Пусть P (x) иQ(x) — два многочлена от x, причем P (0) 6= 0.
Производя, как вышебыло сказано, деление многочленов, можем представить их частноев виде степенного рядаQ(x)= c0 + c1 x + c2 x2 + . . . ;P (x)(7)но возникает вопрос: будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, иесли это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будетли его сумма равна левой части равенства? Решение этих вопросовочень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, которая будет изложена в томе III. Мы приведем здесь лишьокончательный результат: степенной ряд формулы (7) сходитсяпри |x| < R, где R — модуль (или абсолютное значение) того корня уравнения P (x) = 0, который имеет наименьший модуль, иравенство (7) имеет место при указанных значениях x. Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредственно уравнение (5) при помощи степенного ряда, то полученный ряд будет наверно сходящимся при |x| < R, где R — модульнаименьшего по модулю корня уравнения P0 (x) = 0.Заметим, что если доказать сходимость ряда (3) внутри промежутка(−R, +R), то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения.
Действительно, прежде всего можновычислять y ′ и y ′′ простым почленным дифференцированием ряда (3)[I, 150]. Далее, подставляя выражения y, y ′ , и y ′′ в левую часть уравнения (2), мы можем почленно перемножать ряды y ′ и y на ряды p(x) иq(x) ввиду того, что степенные ряды сходятся абсолютно [I, 137, 148].Наконец, в силу выбора коэффициентов αn из равенств (4), мы имеемсокращение всех членов в левой части (2).46]§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов16746.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнениеy ′′ − xy = 0.Подставляя ряд (3), получим(2 · 1α2 + 3 · 2α3 x + 4 · 3α4 x2 + . . .) − x(α0 + α1 x + α2 x2 + . . .) = 0,откуда, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях x,получимx0 2 · 1α2 = 0,x1 3 · 2α3 − α0 = 0,x2 4 · 3α4 − α1 = 0,x3 5 · 4α5 − α2 = 0,. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xs (s + 2)(s + 1)αs+2 − αs−1 = 0,. ..............................Полагая α0 = 1 и α1 = 0, получим последовательно значения остальныхкоэффициентовα2 = 0,α3 =1,2·3α7 = α8 = 0,α4 = α5 = 0,α0 =α0 =1,2 · 3 · 5 · 6·1,2 · 3 · 5 · 6 · 8 · 9·т. е. отличными от нуля будут лишь коэффициенты αs , у которых значокs делится на 3, и мы можем написатьα3k+1 = α3k+2 = 0иα3k =1 · 4 · 7 . . .
(3k − 2).(3k)!Построенное нами решение будетy1 = 1 +∞X1 · 4 · 7 . . . (3k − 2) 3kx .(3k)!k=1Для построения второго решения положим α0 = и α1 = 1. Нетрудно,как и выше, показать, что это второе решение будетy2 = x +∞X2 · 5 · 8 .
. . (3k − 1) 3k+1x.(3k + 1)!k=1168Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[46Построенные степенные ряды будут сходящимися при всяком значении x.Проверим это для ряда y1 по признаку Даламбера [I, 121]. В немотношение последующего члена к предыдущему будет11 · 4 · 7 . . . (3k + 1) 3k+3 1 · 4 · 7 . . . (3k − 2) 3kxx =:x3 ,(3k + 3)!(3k)!(3k + 2)(3k + 3)и при любом значении x абсолютное значение этого отношения стремитсяк нулю при беспредельном возрастании k, откуда и вытекает абсолютнаясходимость ряда.2.
Рассмотрим уравнение(1 − x2 )y ′′ − xy ′ + a2 y = 0.Подставляя ряд (3), получим, приравнивая коэффициент при xn нулю,следующее соотношение между коэффициентами αn :(n + 2)(n + 1)αn+2 − n(n − 1)αn − nαn + a2 αn = 0или(n + 2)(n + 1)αn+2 = (n2 − a2 )αn .Полагая α0 = 1 и α1 = 0, получим решениеy1 = 1 −a2 2 a2 (a2 − 4) 4 a2 (a2 − 4)(a2 − 16) 6x +x −x + ...2!4!6!Совершенно так же, подставляя α0 = 0 и α1 = 1, получимy2 = x −a2 − 1 3 (a2 − 1)(a2 − 9) 5 (a2 − 1)(a2 − 9)(a2 − 25) 7x +x −x +...3!5!7!В рассматриваемом уравнении коэффициент P0 (x) = 1 − x2 при y ′′имеет корни x = ±1, а абсолютное значение обоих из этих корней равно единице.
Отсюда вытекает, что ряды y1 и y2 должны сходиться при−1 < x < +1, т. е. при |x| < 1.Нетрудно проверить это по признаку Даламбера. Беря отношениепоследующего члена к предыдущему, например, для ряда y1 , получим сточностью до знакаa2 (a2 − 4) . . . [a2 − (2n)2 ] 2n+2 a2 (a2 − 4) . . . [a2 − (2n − 2)2 ] 2nxx =:(2n + 2)!(2n)!=a2 − (2n)2x2 .(2n + 1)(2n + 2)47]§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов169Деля числитель и знаменатель на n2 , можем переписать абсолютноезначение этого отношения в виде2 4− an2624 + + 2nn 2 |x| .При беспредельном возрастании n это отношение стремится к |x|2 , и,очевидно, |x2 | < 1 при |x| < 1, т.
е., согласно признаку Даламбера, рядy1 абсолютно сходится при |x| < 1. Очевидно также, что он расходитсяпри |x| > 1, если только a не равно целому четному числу. В последнемслучае ряд y1 обрывается и превращается в многочлен. Аналогичныезаключения получаются и для ряда y2 . Можно проверить, что решенияy1 и y2 выражаются через элементарные функцииcos(a arccos x),sin(a arccos x).47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Значительное число уравнений, встречающихся в приложениях, имеет видx2 y ′′ + p(x) · xy ′ + q(x)y = 0,где p(x) и q(x), как и в уравнении (2), — ряды, расположенные по целым положительным степеням x, или просто многочлены.
Ввиду наличия множителя x2 при второй производной написанное уравнение не подходит под тип (2). Говорят, что написанное уравнение имеет в точке x = 0регулярную особую точку. Выписав явно степенные ряды p(x) и q(x)x2 y ′′ + (a0 + a1 x + a2 x2 + . . .)xy ′ + (b0 + b1 x + b2 x2 + . . .)y = 0,(8)будем искать решение уравнения уже не в виде простого степенного ряда(3), а в виде произведения некоторой степени x на такой ряд:y = xρ∞Xαs xs ,(9)s=0и первый коэффициент α0 мы можем, конечно, считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя степени ρ у множителя xρ , стоящего перед знаком суммы.170Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[47Подставим в левую часть уравнения (8) выражения y, y ′ и y ′′ :y=∞Xαs xρ+s ,s=0y ′′ =y′ =∞X(ρ + s)αs xρ+s−1 ,s=0∞Xs=0(ρ + s)(ρ + s − 1)αs xρ+s−2 .Собрав подобные члены и приравняв нулю коэффициенты при различных степенях x, получим ряд уравненийxρ [ρ(ρ − 1) + a0 ρ + b0 ]α0 = 0,xρ+1 [(ρ + 1)ρ + a0 (ρ + 1) + b0 ]α1 + a1 ρα0 + b1 α0 = 0,ρ+2 x [(ρ + 2)(ρ + 1) + a0 (ρ + 2) + b0 ]α2 + a1 (ρ + 1)α1 ++ a2 ρα0 + b1 α1 + b2 α0 = 0, (10). .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xρ+s [(ρ + s)(ρ + s − 1) + a0 (ρ + s) + b0 ]αs ++ Qs (α0 , α1 , α2 , . . . , αs−1 ) = 0,...........................................................Через Qs (α0 , α1 , α2 , . . . , αs−1 ) мы обозначили однородный многочленпервой степени от аргументов α0 , α1 , αs−1 .Ввиду того, что, по условию, α0 6= 0, первое из написанных уравненийдает квадратное уравнение для определения показателя ρ:F (ρ) = ρ(ρ − 1) + a0 ρ + b0 = 0.(11)Уравнение это называется определяющим уравнением.
Пусть ρ1 иρ2 — его корни. Полагая в уравнениях (10) ρ = ρ1 или ρ = ρ2 , будемиметь ряд уравнений, из которых каждое последующее будет содержатьодним коэффициентом αs больше предыдущего, и таким образом постепенно можно будет определить α1 , α2 , . .
. Коэффициент α0 останетсяпроизвольным и будет играть роль произвольного множителя. Можноположить, например, α0 = 1.После подстановки ρ = ρ1 или ρ = ρ2 первое из уравнений (10) обратится в тождество, второе даст α1 , третье α2 и т. д. и вообще (s + 1)-едаст αs , если уже известны α0 , α1 , . . . , αs−1 . При этом надо только, чтобы коэффициент при αs в этом уравнении был отличен от нуля. Непосредственно видно, что этот коэффициент может быть получен из левой47]§ 4.
Интегрирование с помощью степенных рядов171части уравнения (11) заменою ρ на (ρ1 + s) или (ρ2 + s), т. е. он равенF (ρ1 + s) или F (ρ2 + s).Положим, что при построении решения (9) мы исходили из корняуравнения (11) ρ = ρ2 . Если F (ρ2 + s) 6= 0 при любом целом положительном s, то указанный выше прием вычисления коэффициентов αs будетвыполним и даст определенные значения для этих коэффициентов.Условие же F (ρ2 + s) 6= 0 равносильно, очевидно, тому условию, чтовторой корень ρ1 уравнения (11) не есть число вида (ρ2 +s), где s — целоеположительное число, т.
е., иначе говоря, разность корней (ρ1 − ρ2 ) недолжна быть целым положительным числом.Из сказанного нетрудно вывести следующие заключения.1. Если разность корней ρ1 и ρ2 уравнения (11) не равна целому числуили нулю, то можно использовать оба корня уравнения (11) и построитьвышеуказанным способом два решения видаy1 = x ρ1∞Xαs xs ,y 2 = x ρ2s=0∞Xβs xs(α0иs=0β0 6= 0).(12)2. Если разность (ρ1 − ρ2 )есть целое положительное число, то можнопостроить указанным выше способом, вообще говоря, лишь один ряд:y1 = x ρ1∞Xαs xs .(13)s=03. Если уравнение (11) имеет кратный корень ρ1 = ρ2 , то также можно построить лишь один ряд (13).По поводу сходимости построенных рядов имеет место предложение,аналогичное предложению, приведенному нами в [45]: если ряды∞Xs=0as xsи∞Xbs x ss=0сходятся при |x| < R, то при этих значениях x построенные вышеряды также будут сходящимися и будут давать решения уравнения(8).К разобранному приводится уравнениеx2 P0 (x)y ′′ + xP1 (x)y ′ + P2 (x)y = 0,(14)где P0 (x), P1 (x) и P2 (x) — многочлены или ряды, расположенные по целым положительным степеням x, причем P0 (0) 6= 0.
Здесь, как и в [45],172Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[48можно непосредственно подставлять ряд (9) в левую часть уравнения(14), не производя деление на P0 (x). Кроме того, как и в [45], можно рассматривать ряды, расположенные по целым положительным степенямне x, а разности (x − a).В первом случае два построенных решения (12) будут линейно независимыми, т.
е. их отношение не будет величиной постоянной, что вытекает непосредственно из того факта, что выражения y1 и y2 содержатперед знаком суммы различные степени xρ1 и xρ2 . Во втором и третьемслучаях мы построили только одно решение (13). Формула (9) из [25]дает возможность построить второе решение при помощи квадратуры.Пользуясь ею, нетрудно указать форму второго решения. Формулируемлишь результат. Если разность ρ1 − ρ2 есть целое положительное числоили нуль, то, кроме (13), будет решение видаy2 = βy1 lg x + xρ2∞Xβs xss=0(β0 6= s),(15)т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
