1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Предельные задачи. Мы рассматривали выше задачуинтегрирования дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В дальнейшем мы часто будем встречаться сзадачами, в которых заданы не начальные условия, а условия наобоих концах того промежутка, в котором рассматривается задачаинтегрирования уравнения. Такого типа условия называются обычно граничными или предельными условиями. Их число должно равняться порядку уравнения. Выясним некоторые основные фактыдля задач с предельными условиями для случая линейных дифференциальных уравнений. Предварительно напомним некоторыесведения о системах линейных алгебраических уравнений.Пусть имеется два уравнения с двумя неизвестнымиa 1 x + b 1 y = c1 ,a2 x + b 2 y = c 2(88)36]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами135илиa1 x + b1 y = 0,a2 x + b2 y = 0.(89)Система (89) называется обычно однородной.
При решении написанных систем имеют место следующие два случая: 1) еслиa1 b2 − a2 b1 6= 0, то система (88) имеет решение и притом единственное при любых свободных членах c1 и c2 , а однородная система (89)имеет только нулевое решение x = y = 0; 2) если a1 b2 − a2 b1 = 0,то однородная система (89) имеет ненулевые решения, а система(88) имеет решение не при всяких свободных членах, и если онаимеет решения, то число решений бесконечно. Скажем подробнеео втором случае.
Пусть x = x0 , y = y0 — ненулевое решение системы (89). Нетрудно видеть, что x = cx0 , y = cy0 , где c — произвольная постоянная, также является решением системы (89). Еслисвободные члены в системе (88) таковы, что эта система имеет решения x = x1 , y = y1 , то формулы x = x1 + cx0 , y = y1 + cy0 прилюбом c дают также решение системы (88). Совершенно аналогичные обстоятельства имеют место и для n линейных уравнений с nнеизвестными: или однородная система (со свободными членами,равными нулю) имеет только нулевое решение и при этом неоднородная система имеет решение и притом единственное при любыхсвободных членах, или однородная система имеет решения, отличные от нулевого, и при этом неоднородная система имеет решенияне при любых свободных членах, и если имеет решения, то числорешений бесконечно.
В дальнейшем мы будем часто встречаться сальтернативой такого рода. Полное исследование систем линейныхалгебраических уравнений будет изложено в первой части третьеготома.Рассмотрим общую схему решения предельной задачи для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными предельными условиями. Пусть имеетсяуравнение видаy ′′ + [λr(x) + q(x)]y = 0,(90)где q(x) и r(x) — функции, непрерывные в конечном промежуткеa 6 x 6 b, и λ — численный параметр, который может приниматьразличные значения. Положим, что на концах указанного проме-136Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .
.[36жутка заданы однородные предельные условияy(a) = 0,y(b) = 0(91)γy(b) + δy ′ (b) = 0,(92)или более общиеαy(a) + βy ′ (a) = 0,где α, β, γ, δ — численные коэффициенты∗ .Введем в рассмотрение какие-либо линейно независимые решения уравнения (90). Они зависят, очевидно, не только от независимой переменной x, но и от того, какое значение имеет параметр λ,и мы обозначим их через y1 (x, λ) и y2 (x, λ). Общее решение уравнения (90) имеет видy(x, λ) = C1 y1 (x, λ) + C2 y2 (x, λ),(93)и предельные условия (91) приводят нас к однородной системе дляC1 и C2 :C1 y1 (a, λ) + C2 y2 (a, λ) = 0,C1 y1 (b, λ) + C2 y2 (b, λ) = 0.(94)Эта система имеет, очевидно, нулевое решение C1 = C2 = 0, которому соответствует нулевое решение y(x, λ) ≡ 0 задачи (90), (91).
Еслиλ выбрано так, что система (94) имеет только нулевое решение, тои предельная задача (90), (91) имеет только нулевое решение. Еслиже λ удовлетворяет уравнениюy1 (a, λ)y2 (b, λ) − y1 (b, λ)y2 (a, λ) = 0,(95)то система (94) имеет решение, отличное от нулевого, и, подставляязначение C1 , C2 в формулу (93), получим в этом случае ненулевоерешение y(x, λ) задачи (90), (91). При таких λ функция y(x, λ) будетудовлетворять уравнению (90) и условиям (91). Это решение можноумножать на произвольную постоянную, т.
е. Cy(x, λ) также будетрешением задачи (90), (91). Других решений при выбранном λ задача не будет иметь, ибо все решения, имеющие корень x = a, линейно∗Такая предельная задача называется задачей Штурма—Лиувилля.37]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами137зависимы. Таким образом, если λ не есть корень уравнения (95), тозадача (90), (91) не имеет решений, отличных от нулевого. Если жеλ — корень уравнения (95), то эта задача имеет решение y(x, λ) —отличное от нулевого, и это решение определено с точностью допроизвольного постоянного множителя.
Корни уравнения (95), т. е.те значения λ, при которых задача (90), (91) имеет решение y(x, λ),отличное от нулевого, называются обычно собственными значениями этой задачи, а решения y(x, λ), собственными функциями задачи соответствующей указанному собственному значению. Совершенно аналогично можно рассмотреть и случай отдельных условийвида (92).Если же рассмотрим неоднородное уравнениеz ′′ + [λr(x) + q(x)]z = f (x)(96)при неоднородных предельных условияхz(a) = c,z(b) = d,(97)то, обозначая по-прежнему через y1 (x, λ) и y2 (x, λ) линейно независимые решения уравнения (90), мы придем к неоднородной системедля C1 , и C2 , левые части которой совпадают с левыми частямиуравнений (94). Если λ не есть собственное значение задачи (90),(91), т. е.
однородная система имеет только нулевое решение, тонеоднородная задача (96), (97) имеет при любых f (x), c и d решение z(x, λ) и притом единственное.Для линейных дифференциальных уравнений четного порядка2m естественно ставить m предельных условий при x = a и столькоже при x = b. При этом вместо системы (94) мы получим систему2m уравнений для 2m неизвестных C1 , C2 , . . . , C2m .37. Примеры.
1. Рассмотрим уравнениеy ′′ + λy = 0на промежутке 0 6 x 6 π и предельные условияy(0) = 0,y(π) = 0.(98)138Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[37При λ 6 0 уравнение не имеет колеблющихся решений [31] и, следовательно, при λ 6 0 нет решений, имеющих корни x = 0 и x = π. Итак,задача может иметь только положительные собственные значения. Приэтом общий интеграл уравнения (98) имеет вид√√(99)y = C1 cos λx + C2 sin λx,√положительным,√ибо изменение знака не влияетгде λ можно считать√на величину cos λx и меняет знак sin λx, причем это изменение знака может быть включено в произвольную постоянную C2 .
Предельныеусловия y(0) = y(π) = 0 дают√√C1 cos 0 + C2 sin 0 = 0, C1 cos λπ + C2 sin λπ = 0.Из первогоуравнения следует C1 = 0, и при этом второе уравнение дает√C2 sin λπ = 0. Постоянная C2 не может равняться нулю, так как приC1 = C2 = 0 мы получаем√нулевое решение√y ≡ 0 и, следовательно, дляλ получаем уравнение sin λπ = 0, откуда λπ = ±kπ (k = 1, 2, .
. .), т. е.√λ = ±k и λ = k2 . Таким образом, мы получаем бесчисленное множествособственных значений и соответствующих собственных функций: λk =k2 , yk (x) = Ck sin kx (k = 1, 2, . . .), где Ck — произвольные постоянные.При увеличении k число корней собственных функций на промежутке0 6 x 6 π увеличивается.Если λ — не есть квадрат целого числа, то любая неоднородная задача будет иметь единственное решение. В качестве примера рассмотримзадачуy ′′ − k2 y = x, y(0) = 0, y(π) = d (k > 0).(100)Общий интеграл уравнения имеет видy = C1 ekx + C2 e−kx −x,k2и предельные условия даютC1 + C2 = 0,C1 ekπ + C2 e−kπ = d +π,k2откудаk2 d + π.k2 (ekπ − e−kπ )2. Рассмотрим уравнение (98) на промежутке 0 6 x 6 l при предельных условияхC1 = −C2 =y(0) = 0,y ′ (l) + hy(l) = 0(h > 0).(101)38]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами139Можно проверить, что значения λ 6 0 не дают решений задачи. Первоеиз условий дает, как и выше, C1 = 0, и, подставляя в формулу (99),получаем из второго предельного условия уравнение для λ:√√√λ cos λl = −h sin λl.√Полагая λl = v, получим1tgv = αv.α=−hlЭто уравнение имеет бесчисленное множество корней ±vk (k = 1, 2, . .
.), иим соответствуют следующие собственные значения и собственные функции:v2vkλk = 2k , yk (x) = Ck sin x.llКорни vk суть абсциссы точек пересечения графика z = tgv и прямойz = αv на плоскости (v, z).38. Символический метод. Мы переходим теперь к изложению нового метода интегрирования одного линейного уравнения исистем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Способ этот, соответственным образом обобщенный, применяется и кболее сложным задачам. Сущность способа состоит в том, что мыбудем обозначать символически операцию дифференцирования понезависимой переменной t множителем D, стоящим слева от тойфункции, которую надо дифференцировать, так что если x естьнекоторая функция t, тоDx =dx,dt(102)и вообще при любом целом положительном sDs x =ds x.dts(103)Если a — постоянная, то, очевидно,Ds (ax) = aDs x,(104)140Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
