1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В силу симметрии можем сказать, что искомый объем будет равен учетверенному объему части цилиндра, ограниченной плоскостями ZOX, XOY и верхним полушарием.Областью интегрированиябудет здесь половина основания цилиндра, контур которойсостоит из полуокружностиРис.
38.r = a cos ϕи отрезка оси OX, причем угол ϕ меняется от 0 долуч — от оси OX к оси OY .Уравнение поверхности шараπ,2и соответствующийx2 + y 2 + z 2 = a2в нашем случае перепишется в видеz 2 = a2 − (x2 + y 2 ),Поэтому искомый объем будетπv=4Z2dϕ0aZcos ϕ0π=43Z20pπa2 − r 2 rdr = 4(a2 − a3 sin3 ϕ)dϕ =Z2 0z=pa2 − r 2 . r=a cos ϕ31− (a2 − r 2 ) 2 dϕ =3r=0 ϕ= π4 3cos3 ϕ 2a ϕ + cos ϕ −=33ϕ=04π2= a3−.32360]§ 6. Кратные интегралы24160.
Криволинейные координаты. В предыдущем номере мыопределили элемент площади и рассмотрели вопрос о вычислении интеграла в случае прямолинейных прямоугольных координат (x, y) и полярных координат (r, ϕ). Рассмотрим тот же вопрос для любых координат (u, v). Введем вместо прямоугольныхкоординат x и y какие-нибудь новые переменные u и v по формуламϕ(x, y) = u, ψ(x, y) = v.(11)Если мы фиксируем значение u и будем считать v переменным,то получим семейство линийна плоскости.
Точно так же, если фиксируем значение v и будем считать u переменным, тополучим другое семейство линий. Линии этих двух семействмогут быть как кривыми линиями, так и прямыми.Положение точки M наплоскости определяется паройчисел (x, y) или, в силу (11),парой чисел (u, v). Эта параРис. 39.чисел (u, v) называется криволинейными координатами точки M .
Решая уравнения (11) относительно x и y, получим выражение прямоугольных координат (x, y)через криволинейные (u, v):x = ϕ1 (u, v),y = ψ1 (u, v).(12)В случае полярных координат u есть r и v есть ϕ. Линии постоянного u и постоянного v, о которых мы говорили выше, называются координатными линиями криволинейных ординат (u, v). Ониобразуют два семейства линий (окружности и лучи в полярных координатах).Определим теперь элемент площади dσ в криволинейных координатах (u, v).Для этого рассмотрим элемент площади M1 M2 M3 M4 (рис. 39),образованный двумя парами бесконечно близких координатных ли-242Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[60ний:ϕ(x, y) = u,ψ(x, y) = v,ϕ(x, y) = u + du,ψ(x, y) = v + dv.Координаты вершин четырехугольника M1 M2 M3 M4 с точностью до бесконечно малых порядков будут [I, 68]:(M1 ) x1 = ϕ1 (u, v),y1 = ψ1 (u, v);∂ϕ1 (u, v)du,∂u∂ψ1 (u, v)du;= ψ1 (u + du, v) = ψ1 (u, v) +∂u∂ϕ1 (u, v)∂ϕ1 (u, v)= ϕ1 (u + du, v + dv) = ϕ1 (u, v) +du +dv,∂u∂v∂ψ1 (u, v)∂ψ1 (u, v)du +dv;= ψ1 (u + du, v + dv) = ψ1 (u, v) +∂udv∂ϕ1 (u, v)= ϕ1 (u, v + dv) = ϕ( u, v) +dv,∂v∂ψ1 (u, v)dv.= ψ1 (u, v + dv) = ψ1 (u, v) +∂v(M2 ) x2 = ϕ1 (u + du, v) = ϕ1 (u, v) +y2(M3 ) x3y3(M4 ) x4y4Из написанных формул непосредственно вытекает, что x2 − x1 =x3 − x4 и y2 − y1 = y3 − y4 , а из этих равенств следует, что отрезки M1 M2 и M4 M3 равны и одинаково направлены. То же можносказать и об отрезках M1 M4 и M2 M3 , т.
е. с точностью до малыхвысших порядков M1 M2 M3 M4 есть параллелограмм, и его площадьравна удвоенной площади треугольника M1 M2 M3 , т. е. по известной формуле аналитической геометрииdσ = |x1 (y2 − y3 ) − y1 (x2 − x3 ) + (x2 y3 − x3 y2 )|.Подставляя выражения координат, получаем формулу для элемента площади в любых криволинейных координатах: ∂ϕ1 (u, v) ∂ψ1 (u, v) ∂ϕ1 (u, v) ∂ψ1 (u, v) dudv = |D|dudv,−dσ = du∂v∂v∂u60]§ 6. Кратные интегралы243где D называется функциональным определителем от функцийϕ1 (u, v) и ψ1 (u, v) по переменным u и v:D=∂ϕ1 (u, v) ∂ψ1 (u, v) ∂ϕ1 (u, v) ∂ψ1 (u, v)−.∂u∂v∂v∂uОкончательно формула замены переменных в двукратном интеграле будетZZZZf (x, y)dσ =F (u, v)|D|dudv,(13)(σ)(σ)где F (u, v) означает функцию от u и v, в которую перейдет f (x, y)в результате преобразования (12).
Пределы интегрирования по u иv определятся из вида области (σ) аналогично тому, как это былоуказано в [59] для случая полярных координат.В формулах преобразования (11) мы рассматривали u и v какновые криволинейные координаты точек, считая самую плоскостьнеизменной. Мы можем, наоборот, считать u и v по-прежнему прямоугольными координатами, и тогда формулы (11) дадут нам преобразование плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты (x, y), преобразуется в точку с прямоугольнымикоординатами (u, v). Такоепреобразование деформирует областьP(σ) в новую область ( ). При такой точке зрения мы должны будем переписать формулу (13) так:ZZZZf (x, y)dσ =F (u, v)|D|dudv,(σ)(P)причемздесь u и v — прямоугольные координатыPP точек области( ), и пределы интегрирования в интеграле по ( ) определяютсятак, как это было указано в [59].
Если положить f (x, y) = F (u, v) =1, тоPполучим выражение площади σ области (σ) в виде интегралапо ( ):ZZσ=(P|D|dudv.)244Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[60Отсюда видно, между прочим, что при нашейPновой точке зрения значение |D| в какой-либо точке N области ( ) есть коэффиPциент изменения площади в точке N при деформации области ( )в область (σ), т. е. предел отношения площади некоторой области,лежащий в (σ) и содержащей образP точки N , к площади, соответствующей области, лежащей в ( ) (эта область содержит точку N ,когда эта последняя область стягивается к точке N . Более подробно мы рассмотрим с этой точки зрения преобразование переменныхв двойном интеграле в [80].П р и м е р ы. 1.
Рассмотрим на плоскости XOY круг x2 +y 2 6 1 с центром в начале координат и радиусом единица. Введем новые переменныепо формулам перехода к полярным координатам: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,но будем рассматривать и r и ϕ не как полярные координаты, а как прямолинейные прямоугольные координаты, т. е. будем считать, что точкас прямоугольными координатами (x, y) преобразовалась в точку с прямоугольными же координатами (r, ϕ). При этом, очевидно, вышеупомянутый круг перейдет в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 0,x = 1, y = 0, y = 2π (или r = 0, r = 1, ϕ = 0, ϕ = 2π), причем началукоординат x = y = 0 соответствует целая сторона r = 0 этого прямоугольника, а противоположные стороны ϕ = 0 и ϕ = 2π прямоугольникасоответствуют одному и тому же радиусу круга.
Применяя для прямоугольника правило приведения двойного интеграла к двум повторным,выражаемое формулой (8), непосредственно видим, что при интегрировании в полярных координатах по вышеуказанному кругу пределы интегрирования по r должны быть r = 0 и r = 1, а по ϕ соответственноϕ = 0 и ϕ = 2π. Аналогично можно объяснить и те правила определенияпределов при интегрировании в полярных координатах, которые даны в[59].В данном случаеD=∂(r cos ϕ) ∂(r sin ϕ)∂(r cos ϕ) ∂(r sin ϕ)·−·= r,∂r∂ϕ∂ϕ∂rи, как мы видели выше, dσ = rdrdϕ.2. В качестве другого примера второй точки зрения рассмотримпрямоугольный треугольник (σ), ограниченный координатными осямии прямой x + y = a. Точки, лежащие внутри (σ), определяются следующими неравенствами, которым должны подчиняться их координатыx > 0,y > 0,x + y < a.(14)61]§ 6.
Кратные интегралы245Введем новые переменные (u, v), полагая:x + y = u,ay = uv,т. е.u = x + y,v=ay,x+yилиuvu(a − v), y=.aaБудем рассматривать (u, v) тоже как прямолинейные прямоугольные координаты. Из последних формул следует, что неравенства (14) в новыхпеременных равносильныP неравенствам: 0 < u < a, 0 < v < a, которыеопределяют квадрат ( ), имеющий вершину в начале и стороны, направленные по осям.PВсякой точке (x, y) из (σ) соответствует определеннаяточка (u, v) из ( ) и наоборот.
Для D получаем выражениеx=D=uvua−vu+= ,a aaaaи формула (13) будет иметь видZZZZuf (x, y)dxdy =F (u, v) dudv,aP(σ)()или, вводя пределы интегрирования согласно (7) или (8),Za0dxa−xZ1f (x, y) =aZa00uduZaF (u, v)dv.061. Трехкратный интеграл. Двукратный интеграл, о котором мы говорили в [58], можно истолковать не как объем тела, акак массу, распределенную на плоской области (σ). В самом деле,вообразим, что на (σ) распределена материя. Пусть ∆m — количество материи на элементе ∆σ, содержащем внутри себя некоторуюточку N . Если при беспредельном сжатии ∆σ к точке N отношение∆m∆σ (∆σ — площадь упомянутого элемента) стремится к определенному пределу f (N ), то этот предел определяет плотность поверхностного распределения материи в точке N :lim∆m= f (N ).∆σ246Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[61Если (σ) разбита на малые элементы ∆σ, то масса отдельного элемента приближенно равна произведению f (N )∆σ, а для полноймассы на (σ) можем написать приближенноXm≈f (N )∆σ,(σ)где суммирование распространяется на все элементы ∆σ, заполняющие (σ). Полученное приближенное равенство будет тем болееточным, чем меньше каждый элемент ∆σ. В пределе при беспредельном сжимании по всем направлениям каждого из элементов∆σ, причем число этих элементов тем самым беспредельно увеличивается, мы будем иметьZZXm = limf (N )∆σ =f (N )dσ.(σ)(σ)Совершенно аналогичным путем рассмотрение массы пространственного распределения материи приведет нас к понятию трехкратного интеграла.
Вообразим некоторый объем (v) в пространстве, ограниченный замкнутой поверхностью (S). Пусть в этом объеме распределена материя, общая масса которой есть m. Разобьемвесь объем (v) на большое число n малых элементов ∆v и обозначиммассу каждого из них соответственно через ∆m. Пусть отношение∆m∆vпри сужении элемента ∆v к точке M , лежащей внутри этого элемента, имеет предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
