1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 15
Текст из файла (страница 15)
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[24и, следовательно, эти же три величины пропорциональны направляющим косинусам заданного направления в точке M . Соответствующаясистема дифференциальных уравнений будетdydzdx==,x−ay−bz−cи мы имеем два очевидных интегралаx−a= C1 ,z−cy−b= C2 .z−cГеометрически ясно, что семейством интегральных линий будет семейство прямых, проходящих через точку A(a, b, c). Соответствующееуравнение с частными производными(x − a)∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ (y − b)+ (z − c)=0∂x∂y∂zбудет определять конические поверхности, имеющие вершину в точке A,и общее уравнение таких поверхностей будетx−a y−b,= 0,Fz−c z−cгде F — произвольная функция своих двух аргументов.Отметим, что через заданную в пространстве линию (L) мы можемпровести, вообще говоря, только одну коническую поверхность, котораябудет образована прямыми, идущими из точки A в точки линии (L).
Ноесли линия (L) есть линия, принадлежащая семейству интегральных линий системы, т. е. прямая, проходящая через точку A, то можно провестибесчисленное множество конических поверхностей, содержащих такуюпрямую (L).4. Рассмотрим еще систему дифференциальных уравнений видаdydzdx==.cy − bzaz − cxbx − ay(94)Приравнивая все три отношения дифференциалу dt некоторой новой переменной t, можем написатьdx = (cy − bz)dt,dy = (az − cx)dt,dz = (bx − ay)dt.(95)Отсюда нетрудно составить два уравнения, которые непосредственнопроинтегрируются. Для составления первого умножим уравнения (95)24]§ 2.
Дифференциальные уравнения высших порядков. . .95почленно на a, b, c и сложим, а для составления второго уравнения умножим уравнения (95) на x, y, z и сложим. Таким образом, получаются двауравненияa dx + b dy + c dz = 0,x dx + y dy + z dz = 0,интегрирование которых и дает два интеграла системыax + by + cz = C1 ,x 2 + y 2 + z 2 = C2 .(96)Первый из интегралов дает семейство параллельных плоскостей, направляющие косинусы нормали к которым пропорциональны числам(a, b, c). Второй из интегралов дает семейство сфер с центром в начале.В пересечении этих плоскостей и сфер получится семейство интегральных линий системы (94).
Это будет, очевидно, семейство окружностей,расположенных на упомянутых выше плоскостях и имеющих центр напрямойyzx= = ,(97)abcпроходящей через начало координат и перпендикулярной ко всем упомянутым плоскостям.Нетрудно видеть, что соответствующее уравнение с частными производными∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ (az − cx)+ (bx − ay)=0(cy − bz)∂x∂y∂zопределяет поверхности вращения, для которых прямая (97) есть осьвращения, и общее уравнение таких поверхностей будетF (ax + by + cz,x2 + y 2 + z 2 ) = 0,где F — произвольная функция своих двух аргументов. Заметим, что видзнаменателей в системе (97) можно было бы определить из геометрических соображений, задавая соответственным образом поле направлений,как это мы делали в предыдущих примерах.5.
К линейному уравнению с частными производными приводит задача об ортогональных траекториях в пространстве. Положим, что заданосемейство поверхностейω(x, y, z) = C,(98)зависящее от параметра C, так что через всякую точку пространствапроходит, вообще говоря, одна и только одна поверхность семейства. Требуется найти поверхностьϕ(x, y, z) = C1 ,(99)96Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[24которая пересекала бы все поверхности (98) под прямым углом. Условиеперпендикулярности нормалей поверхностей (98) и (99) даст нам линейное уравнение с частными производными для искомой функции ϕ:∂ω ∂ϕ∂ω ∂ϕ∂ω ∂ϕ++= 0.∂x ∂x∂y ∂y∂z ∂zСоответствующая система обыкновенных уравненийdx∂ω∂x=dy∂ω∂y=dz∂ω∂z(100)определяет кривые, у которых в каждой их точке касательная есть нормаль к поверхности (98), проходящей через эту точку.
Еслиϕ1 (x, y, z) = C1 ,ϕ2 (x, y, z) + C2— два независимых интеграла системы (100), то уравнение искомых поверхностей будет иметь видF (ϕ1 , ϕ2 ) = 0.Г Л А В А IIЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕСВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ§ 3. Общая теория и уравнения с постояннымикоэффициентами25. Линейные однородные уравнения второго порядка.Теория линейных дифференциальных уравнений является наиболее простой и разработанной частью теории дифференциальныхуравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях. В [6] мы решали линейные уравнения первого порядка. В настоящей главе мы будем рассматривать линейныеуравнения любого порядка и начнем с уравнений второго порядка.Линейным однородным уравнением второго порядка называетсяуравнение видаP (y) = y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0,(1)где через P (y) мы для краткости обозначили левую часть.
Из линейности выражения P (y) относительно функции y и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных C, C1 и C2 :P (Cy) = CP (y),P (C1 y1 + C2 y2 ) = C1 P (y1 ) + C2 P (y2 ).98Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[25Если y = y1 есть решение уравнения, т. е. P (y1 ) = 0, то, очевидно, P (Cy1 ) = 0, т. е.
и y = Cy1 есть также решение уравнения.Точно так же, если y1 и y2 суть решения, тоy = C1 y1 + C2 y2(2)есть также решение при произвольных постоянных C1 и C2 , т. е.решения линейного однородного уравнения (1) можно умножатьна произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и длялинейного однородного уравнения любого порядка. Теорема существования и единственности для уравнения (1) формулируется особенно просто, как это мы покажем в конце этой главы: если p(x)и q(x) — непрерывные функции в некотором конечном замкнутомпромежутке I (a 6 x 6 b) и x0 — любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1),удовлетворяющее начальным условиямy|x=x0 = y0 ,y0′y ′ |x=x0 = y0′ ,(3)где y0 и — любые заданные числа, и это решение существует навсем промежутке I.Если фиксировать x0 и придавать y0 и y0′ всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпываютвсе решения уравнения (1).
Во всех этих решениях функции y(x),y ′ (x) и y ′′ (x) непрерывны вплоть до концов промежутка a 6 x 6 bи предельные значения y ′ (x) и y ′′ (x) при x = a суть производныеy ′ (a + 0), y ′′ (a + 0) — справа, а при x = b производные слева y ′ (b − 0),y ′′ (b − 0).
В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ±0 [ср.I]. Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежуткаa < x < b, который может быть как конечным, так и бесконечным.Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1) на промежутке непрерывных коэффициентов p(x) и q(x).Уравнение (1) имеет очевидное решение y ≡ 0 (нулевое решение). Ему соответствует y0 = y0′ = 0. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (1), мы будем подразумевать, что эти решенияотличны от нулевого решения.
Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть y1 и y2 — два решения25]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами99уравнения (1). Рассмотрим следующее выражение, составленное изних:∆(y1 , y2 ) = y1 y2′ − y2 y1′ .(4)Оно называется определителем Вронского решений y1 и y2 . Длянего имеет место следующая замечательная формула:∆(y1 , y2 ) = ∆0 e−Rxp(t)dtx0,(5)где ∆0 — постоянная, равная, очевидно, значению ∆(y1 , y2 ) приx = x0 . Для доказательства вычисляем производнуюd∆(y1 , y2 )= y1′ y2′ + y1 y2′′ − y2′ y1′ − y2 y1′′ = y1 y2′′ − y2 y1′′ .dxПринимая во внимание, что y1 и y2 суть решения уравнения (1),можем написатьy1′′ + p(x)y1′ + q(x)y1 = 0,y2′′ + p(x)y2′ + q(x)y2 = 0.Умножая первое уравнение на (−y2 ), второе на y1 и складываяпочленно, получимy1 y2′′ − y2 y1′′ + p(x)(y1 y2′ − y2 y1′ ) = 0и, следовательно,d∆(y1 , y2 )+ p(x)∆(y1 , y2 ) = 0.dxЭто есть линейное однородное уравнение относительно ∆(y1 , y2 )и, применяя формулу (29) из [6], получаем формулу (5).
Из этойформулы непосредственно следует, что определитель ∆(y1 , y2 ) илитождественно на промежутке I равен нулю, если постоянная ∆0равна нулю, или не равен нулю не при одном x из I, так как показательная функция в нуль не обращается. Напомним, что p(x)считается непрерывной на I функцией.Два решения y1 и y2 уравнения (1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми, если не существует тождественногоотносительно x на промежутке I соотношенияα1 y1 + α2 y2 = 0(6)100Гл. II.
Линейные дифференциальные уравнения. . .[25с постоянными коэффициентами α1 и α2 , отличными от нуля. Еслитакое соотношение имеется, то решения y1 и y2 называются линейнозависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, напримерα1 , равен нулю и α2 6= 0, то из (3) следует y2 ≡ 0, а это противоречит тому, что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следуетестественность требования того, что оба коэффициента отличны отнуля. Линейная зависимость решений y1 и y2 , выражаемая тождеством (6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем y2 = Cy1 , гдепостоянная C отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: y2′ = Cy1′ ; из двух соотношенийy2 (x) = Cy1 (x),y2′ (x) = Cy1′ (x)непосредственно следует, что определитель Вронского ∆(y1 , y2 )двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю.
Положим теперь наоборот, что определитель Вронского ∆(y1 , y2 ) —тождественно равен нулю, и покажем, что при этом решения y1 (x)и y2 (x) — линейно зависимы. Фиксируем такое значение x = x0 , прикотором y1 (x0 ) 6= 0, и напишем два уравнения, содержащие посто′′янную C, обозначая через y10 , y20 , y10, y20значения y1 , y2 и ихпроизводных при x = x0 :y20 = Cy10 ,′′y20= Cy10.20и, подставляя это во второе уравИз первого уравнения C = yy10нение, убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что∆(y1 , y2 ) равно нулю тождественно, и в частности при x = x0 .
Таким образом, решение y(x) = y2 (x) − Cy1 (x) и уравнения (1) удовлетворяет начальным условиям (3) при y0 = 0 и y0′ = 0, т. е. y(x)есть нулевое решение, откуда и следует, что y2 (x) − Cy1 (x) ≡ 0или y2 (x) = Cy1 (x). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского ∆(y1 , y2 )является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений y1 и y2 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
