1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. .и из того, что после подстановки в левую часть уравнения вынесется некоторая степень написанной показательной функции (в силуусловия однородности), и на этот множитель можно разделить обечасти уравнения. Аддитивная постоянная в интеграле, стоящем впоказателе степени у e, будет произвольным множителем в y.П р и м е р ы. 1. Уравнение видаy ′′ = f (y)(23)относится к случаю 2. Его можно проинтегрировать и непосредственно.Умножим обе его части на 2y ′ dx = 2dy:2y ′ y ′′ dx = 2f (y)dy.70Гл. I.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[18Слева стоит, очевидно, дифференциал от y ′2 и, интегрируя, получимy′2=Zypdy= f1 (y) + C1 ; (24)dxоткуда2f (y)dy + C1 = f1 (y) + C1 ,y0отделяя переменные и интегрируя, получимx + C2 =Zypy0dy.f1 (y) + C1(25)Если имеются начальные условияy ′ |x=x0 = y0′ ,y|x=x0 = y0 ,то, подставляя в (24) и (25) x = x0 , y = y0 и y ′ = y0′ , получимC1 = y0′2 ,C2 = −x0 ,и искомое решение будетx − x0 =Zyy0sdyRy.2f (y)dy +y0y0′2Положим, что точка движется по оси OX под действием силы F (x),зависящей только от положения точки.
Дифференциальное уравнениедвижения будет [15]d2 xm 2 = F (x).dtПусть x0 и v0 — начальная абсцисса и начальная скорость точки приt = 0:dx = v0 .x|t=0 = x0 ,dt t=0Умножая обе части уравнения на1m2dxdt2−1mv02 =2Zxx0F (x)dxdxdtdtилии интегрируя, получим1m2dxdt2−ZxF (x)dx =1mv02 .2x0(26)18]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .Первое слагаемое в левой части1m2dx 2dtxRскую энергию, а второе слагаемое [−71представляет собой кинетиче-F (x)dx] — потенциальную энер-x0гию движущейся точки, и из (26) следует, что сумма кинетической ипотенциальной энергии остается постоянной во все время движения.
Решая равенство (26) относительно dt и интегрируя, получим зависимостьмежду t и x.2. Рассмотрим задачу: найти кривую y = y(x), кривизна которой естьзаданная функция абсциссы1= ϕ(x).R(27)Это есть дифференциальное уравнение второго порядкаy ′′= ϕ(x).(1 + y ′2 )3 /2Вводя p = y ′ , получим уравнение первого порядка с отделяющимисяпеременнымиdp= ϕ(x)dx(1 + p2 )3 /2и, интегрируя, будем иметьоткудаpp=1 + p2Zxϕ(t)dt + C1 ,x0Rxϕ(t)dt + C1x0dy= −vp="#2udxxut1 − R ϕ(t)dt + C1x0и окончательноy=Zxψ(t)dt + C2∗ .x03.
Рассмотрим уравнениеx2 yy ′′ = (y − xy ′ )2 ,∗Через ψ(t) обозначена правая часть формулы (28).(28)72Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[19обе части которого однородные функции y, y ′ , y ′′ . Вводя подстановкуy=eRudx,получимx2 (u′ + u2 ) = (1 − xu)2 ,откуда для u получаем линейное уравнениеu′ +12u − 2 = 0,xxинтегрирование которого даетu = x−2 (C1 + x) = C1 xx−2 + x−1 .Подставляем в выражение y через u:y = e−C1 x−1+lg x+Cилиy = C2 xeC1 x−1,причем (−C1 ) мы заменили на C1 и положили eC = C2 .19.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Система n уравнений первого порядка с n неизвестнымифункциями в разрешенном относительно производных виде будет:dy1= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ), dxdy2= f2 (x, y1 , y2 , . . . yn ), dx(29)........................ dyn= fn (x, y1 , y2 , . . . , yn ).dxРешением системы (29) называется совокупность n функцийyi = ψi (x) (i = 1, 2, .
. . , n) таких, что при подстановке их в уравнения системы (29) эти уравнения обращаются в тождества относительно x. Предполагается, естественно, что функции ψi (x) непрерывны и имеют непрерывные производные. Как и в случае одного19]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .73уравнения n-го порядка, имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме А из [2].
Начальные условия имеют вид(0)y1 |x=x0 = y1 ,(0)y2 |x=x0 = y2 ,yn |x=x0 = yn(0) ,(30)(n−1)и вместо значений аргументов (x0 , y0 , y0′ , . . . , y0) надо говорить(0) (0)(0)о значениях аргументов (x0 , y1 , y2 , . . . yn ).Далее мы остановимся на общих понятиях, касающихся системы (29). Выше мы это делали для одного уравнения, и здесь мыне будем касаться подробностей.
Поскольку мы можем менять в(0)условиях (30) значения yi , решение, получаемое согласно теоремеА, содержит n произвольных постоянных. Произвольные постоян(0)ные могут входить в решения не как начальные данные yi но и вобщей формеyi = ψi (x, C1 , C2 , . . . , Cn ).(31)Придавая постоянным C1 , C2 , . . . , Cn определенные численные значения, будем получать частные решения системы (29). Чтобы выделить из семейства общего интеграла (31) решение, удовлетворяющее начальным условиям (30), надо определить C1 , C2 , . . .
, Cn изуравнений(0)yi= ψi (x0 , C1 , C2 , . . . , Cn ) (i = 1, 2, . . . , n)(32)и подставить найденные значения в формулы (31). Если произволь(0)ные постоянные Ci суть yi и удовлетворены условия теоремы А,то можно показать, что уравнения (31) разрешимы относительноCi , так что общий интеграл может быть записан в видеϕi (x, y1 , y2 , .
. . , yn ) = Ci(i = 1, 2, . . . , n).(33)Для уравнений первого порядка мы имели одно такое равенство[9]. Здесь каждое из равенств (33) называется первым интегралом,или, просто, интегралом системы (29).При решении системы мы, естественно, находим не сразу n интегралов системы, но нахождение каждого отдельного интегралаоблегчает нам, как мы увидим, дальнейшее интегрирование системы. Укажем определение отдельного интеграла системы.74Гл. I.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[19Соотношениеϕ(x, y1 , y2 , . . . , yn ) = C(34)называется интегралом системы (29), если функция ϕ(x, y1 ,y2 , . . . , yn ) отлична от постоянной и при подстановке в нее любого решения yi = ψi (x) (i = 1, 2, . . . , n) системы (29) она обращается в постоянную. Говоря о «любом» решении системы (29), мыподразумеваем все решения, которые получаются согласно теореме А в какой-либо области изменения начальных данных. Значениеэтой постоянной различно при различном выборе начальных данных (произвольная постоянная).Положим, что мы имеем несколько интегралов системы (29)ϕi (x, y1 , y2 , . .
. , yn ) = Ci(i = 1, 2, . . . , k),(35)где k — число интегралов. Любая из функций ϕi обращается впостоянную при подстановке вместо y1 , y2 , . . . , yn любого решения системы (29). Если мы возьмем произвольную функциюF (ϕ1 , ϕ2 , .
. . , ϕk ) от левых частей равенств (35), то и эта функцияобратится в постоянную при подстановке вместо y1 , y2 , . . . , yn любого решения системы, т. е. мы имеем интеграл системыF (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk ) = C.(36)Иначе говоря, любая функция левых частей интегралов системыесть также интеграл системы.
Интеграл (36) есть очевидное следствие интегралов (35). Предыдущее рассуждение требует некоторых оговорок, а именно надо оговорить, что левые части всех равенств (35) обращаются в постоянную при подстановке в них решений yi = ψi (x) (i = 1, 2, . . . , n), получаемых, согласно теореме А, изнекоторой одной и той же области изменения начальных данных.При подсчете числа произвольных постоянных в решении (31)существенно, чтобы невозможно было свести их число к меньшему.Например, в формулахy1 = (C1 + C2 )x + C3 ,y2 = C3 x2 ,y3 = x2 + C3 x + C1 + C2три произвольные постоянные можно свести к двум, полагая C1 +C2 = C. Критерий того, что этого сделать нельзя и что формулы (31) дают общий интеграл системы (29), заключается в том,19]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
. .75что соответствующим подбором произвольных постоянных мы можем удовлетворить любым начальным данным из некоторой области их изменения, т. е. что система (32) разрешима относительно C1 , C2 , . . . , Cn для некоторой области изменения величин(0) (0)(0)(x0 , y1 , y2 , . . . , yn ). Мы считаем, естественно, при этом, что правые части системы (29) удовлетворяют условиям теоремы А.Мы можем переписать систему (29) в виде пропорциональногорядаdy1dx==1f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )dy2dyn== ... =.
(37)f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )Умножая все знаменатели на один и тот же множитель, мы получим и в первом отношении знаменатель не единицу, а некоторуюфункцию от (x, y1 , y2 , . . . , yn ), и обозначая для симметрии переменные буквами x1 , x2 , . . . , xn+1 , перепишем систему (29) в виде:dx2dxn+1dxndx1== ... ==,X1X2XnXn+1(38)где Xi (i = 1, 2, . . . , n + 1) — заданные функции переменных x1 ,x2 , . .
. , xn+1 . Запись системы (29) в виде (38) удобна в силу своей симметрии. При это не фиксировано, какая именно из переменных xi считается независимой переменной. Предположим, что внекоторой области изменения переменных xi все функции Xi (i =1, 2, . . . , n + 1) непрерывны и имеют непрерывные производные повсем независимым переменным. Положим, кроме того, что в неко(0)(0)(0)торой точке M0 (x1 , x2 , . . .
, xn+1 ) из этой области функция Xn+1отлична от нуля. При этом, в силу непрерывности, она будет отличной от нуля и в окрестности этой точки, и для системы уравненийXidxi=dxn+1Xn+1(i = 1, 2, . . . , n)будет применима в окрестности M0 теорема А. Особыми будутлишь те точки, в которых все Xi (i = 1, 2, . . . , n + 1) обращаютсяв нуль.76Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[19Мы использовали выше при любом целом положительном (n+1)геометрические термины «точка», «окрестность точки», «область».При n = 1 и n = 2 это геометрически наглядно.
В общем случае эти понятия аналитически определяются аналогично тому, какэто делается, например, в трехмерном пространстве, при помощипрямолинейных прямоугольных координат. Мы вернемся к этому вдальнейшем. Интеграл системы (38) имеет видϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = C.(341 )Положим, что мы имеем n интеграловϕi (x1 , x2 , . . .
, xn+1 ) = Ci(i = 1, 2, . . . , n).(331 )Они называются независимыми, если эти равенства разрешимыотносительно каких-либо n из переменных xi (i = 1, 2, . . . , n + 1).Это решение дает нам n функций одной независимой переменнойи n произвольных постоянных, т. е. формулы, аналогичные формулам (31), а в виде (331 ) эти формулы разрешены относительнопроизвольных постоянных, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
