1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 13
Текст из файла (страница 13)
.83ибо на этой поверхности должно иметь место неравенство (66), котороепротиворечит (67); итак, условие (63) выполняется при всех t > 0, что итребовалось доказать.Функции x, y, z могут иметь любое геометрическое или механическоезначение, и лишь для наглядности доказательства мы рассматривали ихкак координаты точки. Положим, например, что в уравнениях (57) T иU не содержат времени t, так что имеет место интеграл (60). Пусть призначениях qs = 0 выполнены необходимые условия экстремума U :∂U∂U∂U== ...
== 0.∂q1∂q2∂qkУравнения (57) имеют при этом очевидное решение:qs = qs′ = 0(s = 1, 2, . . . , k).(68)которому соответствует положение равновесия системы. Если, кроме того, окажется, что при значениях qs = 0 потенциальная энергия (−U )имеет минимум, то можно утверждать, что разность (T − U ) при значениях (68) также имеет минимум, ибо при этом T , которое не можетбыть отрицательным, обратится в нуль, т. е. тоже имеет минимум.
Таким образом, мы видим, что в случае минимума потенциальной энергиисоответствующее положение равновесия будет устойчивым в отношениивеличин qs и qs′ (теорема Лагранжа—Дирихле).21. Системы уравнений и уравнения высших порядков. Выясним связь между системой дифференциальных уравнений первого порядка и одним уравнением высшего порядка. Еслимы имеем, например, одно дифференциальное уравнение третьегопорядкаy ′′′ = f (x, y, y ′ , y ′′ ),то, полагая y = y1 , y ′ = y2 , y ′′ = y3 , мы можем заменить это уравнение третьего порядка системой трех уравнений первого порядкаdy1= y2 ,dxdy2= y3 ,dxdy3= f (x1 , y1 , y2 , y3 ).dxНетрудно видеть, что уравнение третьего порядка и последняясистема равносильны в следующем смысле: если y(x) — решениеуравнения третьего порядка, то y1 (x) = y(x), y2 (x) = y ′ (x) и84Гл. I.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[21y3 (x) = y ′′ (x) есть решение системы, а если y1 (x), y2 (x), y3 (x) естьрешение системы, то y(x) = y1 (x) есть решение уравнения третьегопорядка.Мы производили уже подобную замену в [16]. Совершенно также, имея, например, систему двух уравнений второго порядкаy ′′ = f1 (x, y, y ′ , z, z ′ ),z ′′ = f2 (x, y, y ′ , z, z ′ ),где y и z — искомые функции от x, мы можем заменить ее системоючетырех уравнений первого порядка, вводя четыре искомые функции y = y1 , y ′ = y2 , z = y3 , z ′ = y4 . Прежняя система перепишетсяв видеy1′ = y2 ,y3′ = y4 ,y2′ = f1 (x, y1 , y2 , y3 , y4 ),y4′ = f2 (x, y1 , y2 , y3 , y4 ).Покажем, что, наоборот, интегрирование системы, можно, вообщеговоря (не всегда), заменить интегрированием одного уравнениявысшего порядка.
Рассмотрим, для примера, систему трех уравнений первого порядка, решенную относительно производныхy1′ = f1 (x, y1 , y2 , y3 ),y3′y2′ = f2 (x, y1 , y2 , y3 ),= f3 (x, y1 , y2 , y3 ).(69)Положим, что первое из уравнений содержит y2 . Решая относительно него, получимy2 = ω1 (x, y1 , y1′ , y3 ).(70)Подставляя в остальные два уравнения системы, будем иметьуравнения вида∂ω1 ′∂ω1 ′∂ω1 ′′∂ω1+y +y +y = ψ2 (x, y1 , y1′ , y3 ),∂x∂y1 1 ∂y3 3 ∂y1′ 1y3′ = ψ3 (x, y1 , y1′ , y3 ).Подставляя в первое уравнение выражение y3′ из второго и решаяпервое уравнение относительно y1′′ , получим систему двух уравнений с двумя искомыми функциями y1 и y3 видаy1′′ = ϕ(x, y1 , y1′ , y3 ),y3′ = ψ(x, y1 , y1′ , y3 ).(71)22]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
. .85Положим, что первое из уравнений содержит y3 . Решая относительно негоy3 = ω3 (x, y1 , y1′ , y1′′ )(72)и подставляя во второе из уравнений (71), получим уравнение третьего порядка относительно y1 , которое можем написать в видеy1′′′ = F (x, y1 , y1′ , y1′′ ).(73)Положим, что мы сумели проинтегрировать это уравнениеy1 = Φ(x, C1 , C2 , C3 ).Подставляя в уравнение (72), получим y3 , и подставляя затемв (70), получим y2 уже без всяких интегрирований. Если первоеиз уравнений (71) не содержит y3 , то мы имеем уже одно уравнение второго порядка для y1 .
Его общий интеграл будет содержатьдве произвольные постоянные. Подставляя этот общий интеграл вовторое из уравнений (71), получим уравнение первого порядка дляy3 . Его интегрирование введет третью произвольную постоянную.Наконец, формула (70) определит y2 уже без всяких интегрирований.22. Линейные уравнения с частными производными. Досих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения, содержащие производные от функций по одной независимой переменной.Такие уравнения, как мы уже упоминали, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Теперь мы рассмотримнекоторый класс уравнений с частными производными, посколькуэти уравнения непосредственно связаны с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вернемся к рассмотрениюсистемы дифференциальных уравнений (38)dx2dxn+1dx1== ...
=.X1X2Xn+1Равенствоϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = C(74)86Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[22или функция ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ), не сводящаяся тождественно к постоянной, называется интегралом системы (74), если при подстановке в нее какого-либо решения системы, которое имеется согласнотеореме существования и единственности, получается постоянная.Пусть, например, x1 — независимая переменная, а x2 , x3 , . . . ,xn+1 — функции от x1 , являющиеся решением системы (74).
Подставляя эти функции в выражение ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ), мы должныполучить постоянную, т. е. в результате подстановки независимаяпеременная x1 должна исчезнуть и, следовательно, полная производная по x1 должна равняться нулю [I, 69]∂ϕ dx2∂ϕ dx3∂ϕ dxn+1∂ϕ+++ ... += 0,∂x1∂x2 dx1∂x3 dx1∂xn+1 dx1или∂ϕ∂ϕ∂ϕdx1 +dx2 + . . . +dxn+1 = 0.∂x1∂x2∂xn+1(75)Но раз мы подставляли решение системы (74), то дифференциалы dxs должны быть пропорциональны величинам Xs и, заменяяв формуле (75) dxs пропорциональными величинами Xs , получимдля ϕ следующее уравнение:X1∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ X2+ .
. . + Xn+1= 0.∂x1∂x2∂xn+1(76)Функция ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) должна удовлетворять этому уравнению независимо от того, какое именно решение системы (74) мыподставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начальных условий в теореме существования и единственности, значенияпеременных x1 , x2 , . . . , xn+1 могут быть какие угодно, если мы берем все решения системы (74), т.
е. функция ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 )должна удовлетворять уравнению (76) тождественно относительно(x1 , x2 , . . . , xn+1 ). Мы получаем таким образом следующую теорему.Т е о р е м а 1. Если ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = C есть интеграл системы (74), то функция ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) должна удовлетворять уравнению с частными производными (76).Нетрудно доказать обратное предложение.22]§ 2.
Дифференциальные уравнения высших порядков. . .87Т е о р е м а 2. Если ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) есть какое-нибудь решение уравнения (76), то ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = C есть интеграл системы (74).Действительно, подставим в функцию ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) какоенибудь решение системы (74) и возьмем полный дифференциалdϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) =∂ϕ∂ϕ∂ϕdx1 +dx2 + . .
. +dxn+1 .∂x1∂x2∂xn+1Поскольку мы подставили решение системы, мы можем, в силу (74), заменить dxs пропорциональными величинами Xs , т. е.dxs = λXs , где λ — некоторой коэффициент пропорциональности.Отсюда∂ϕ∂ϕ∂ϕ.+ X2+ . . . + Xn+1dϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = λ X1∂x1∂x2∂xn+1Но поскольку ϕ, по условию теоремы, удовлетворяет уравнению (76) тождественно относительно x1 , x2 , . . .
, xn+1 , мы имеемdϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = 0. Выражение дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли переменные независимымиили нет [I, 153]. В нашем случае, при подстановке решения системы, ϕ будет функцией одной независимой переменной, напримерx1 , и оказалось, что дифференциал этой функции ϕ равен нулю,т. е. производная по x1 (после подстановки) тождественно равнанулю, иначе говоря, после подстановки ϕ не зависит от x1 , т. е. является постоянной.
Это и показывает, что ϕ(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) естьинтеграл системы, что и требовалось доказать.Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятия интеграла системы (74) и решения уравнения в частных производных (76). Еслиϕ1 = C1 ;ϕ2 = C2 , . . . , ϕk = Ckсуть k интегралов системы , то, как мы видели, произвольная функция F (ϕ1 , ϕ2 , . . .
, ϕk ) дает также интеграл системы, и мы можем,следовательно, сказать, что произвольная функция каких-либо решений уравнения (76) есть также решение этого уравнения. Еслиϕ1 (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = C1 , . . . , ϕn (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = Cn(77)88Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[22есть n независимых интегралов системы (74), то произвольнаяфункция F (ϕ1 , ϕ2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
