1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнения первого порядка43Подставляя в (53) ω1 (x, y) = x3 + xy 2 − x, получим3x2 + y 2 − 1 + 2xy1 − 3x2 − y 2= 0,2xyи непосредственно видно, что это равенство выполнено тождественно привсяких x и y.Уравнение (42) может иметь решения, которые и не заключаются в семействе общего интеграла, т. е. не могут быть полученыиз формулы (51) ни при каком частном значении C. Такие решения называются обычно особыми решениями. В качестве примерарассмотрим уравнение (18) и его общий интеграл (19). Решениеy = 0 уравнения (18) не заключается в семействе (19).
Как мывидели, через каждую точку решения y = 0 проходит несколькоинтегральных кривых. Решения, которые принадлежат области Bтеоремы А, мы не называем особыми. Обычно особыми решенияминазывают такие интегральные кривые, в каждой точке которых невыполнены условия теоремы существования и единственности. Онине получаются, обычно, из общего интеграла ни при каком численном значении C. В дальнейших примерах мы еще вернемся к ним.Но, как мы и выше указывали, основой дальнейшего будет служитьтеорема А.10. Уравнения, не решенные относительно y′ . Теориядифференциальных уравнений, не решенных относительно y ′ :Φ(x, y, y ′ ) = 0,(56)является значительно более сложной.
Решая это уравнение относительно y ′ , мы получим уравнение вида (42), но функция f (x, y)может быть и многозначной. Мы ограничимся в общем плане темслучаем, когда левая часть (56) есть многочлен второй степени относительно y ′ :y ′2 + 2P (x, y)y ′ + Q(x, y) = 0,(57)причем будем считать, что P (x, y) и Q(x, y) — многочлены от x и y.Решая относительно y ′ , получимp(58)y ′ = −P (x, y) ± R(x, y),44Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[10гдеR(x, y) = [P (x, y)]2 − Q(x, y).(59)Мы можем иметь одну или несколько областей B на плоскостиXOY , в которых R(x, y) > 0.
В этих областях формула (58) определяет два различных дифференциальных уравнения (два различныхзнака у радикала). Правая часть каждого из них непрерывна в B иимеет непрерывную частную производную по y. Согласно теоремеА через всякую точку M в области B проходят две и только двеинтегральные кривые, причем эти кривые в точке M не касают′ся, ибо они в этойp точке имеют различные значения y , разностькоторых равна 2 R(x, y) Никаких решений, помимо тех, которыеполучаются по теореме А, в области B нет (нет особых решений).В тех частях плоскости, где R(x, y) < 0, уравнение (58) не даетвещественных значений y ′ (нет поля направлений), и никаких интегральных кривых там нет. Наконец, рассмотрим уравнениеR(x, y) = 0.(60)Оно может определить одну или несколько линий (границы областей B, если последние существуют).
Эти линии могут быть интегральными кривыми уравнения (57), но могут и не быть таковыми.Мы не будем рассматривать более сложных случаев уравнений,не решенных относительно y ′ .П р и м е р 1. Рассмотрим уравнение, отличное по типу от (57),pa2 − y 2y 2 − a2′=0,или.(61)y=±y ′2 +2yyДля него имеются две области B1 , B2 — внутренние части полос междупрямыми y = 0 и y = ±a.
Отметим, что границы y = a и y = −aсуть решения уравнения (61). В уравнении (61) переменные отделяются;интегрируя, получим(x − C)2 + y 2 = a2 ,(62)т. е. семейство окружностей с центром на оси OX и радиусом a. В упомянутых областях мы имеем два дифференциальных уравнения (61), иформула (62) есть общий интеграл для обоих этих уравнений. В каждой точке из Bi пересекаются две окружности семейства (62). Прямые10]§ 1. Уравнения первого порядка45y = ±a суть особые решения уравнения (61) (рис. 8). Через каждую точку этих прямых проходит «в малом» четыре интегральные кривые уравнения (61) (ср. пример 4 из [4]). На частях плоскости y > a и y < −aдифференциальное уравнение (61) не определено.Рис. 8.Если точка (x0 , y0 ) лежит внутри Bi , то при подстановке x = x0 ,y = y0 в уравнение (62) получится квадратное уравнение для C.
Корниэтого уравнения дадут те значения C, при которых две окружности (62)проходят через точку (x0 , y0 ). Как мы упоминали, формула (62) естьобщий интеграл обоих уравнений (61) и эти два уравнения в известномсмысле естественно связаны между собою. На оси y = 0 окружностикасаются.П р и м е р 2. Рассмотрим еще одно уравнение, принципиально отличное от уравнения примера 1:y ′2 − xy ′ = 0.(63)Левая часть разлагается на множители y ′ (y ′ − x) = 0 и уравнение (63)равносильно совокупности двух уравнений y ′ = 0 и y ′ = x, имеющихобщие интегралыx2+ C.y=C и y=2Мы можем, совершенно искусственно, объединить их в один общийинтегралx2− C = 0.(631 )(y − C) y −2Это — общий интеграл уравнения (63).
Но это последнее уравнение является по существу «искусственным» объединением уравнений y ′ = 0 и46Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[11y ′ = x. К каждому из них применима теорема А, причем областью Bдля них обоих является вся плоскость XOY . Формула (631 ) является«искусственным» объединением общих интегралов упомянутых уравне2ний. Отметим, что функция y = 0 при x 6 0 и y = x2 при x > 0 являетсярешением уравнения (63). При переходе через значение x = 0 значенияy и y ′ изменяются непрерывно. Эта интегральная линия составлена изрешений уравнений y ′ = 0 и y ′ = x.Мы переходим теперь к изучению двух типов дифференциальных уравнений, не решенных относительно y ′ .11.
Уравнение Клеро. Предварительно введем одно новое понятие. Заменяя в дифференциальном уравнении (42) и (56) y ′ произвольной постоянной C1 , получим семейство линийf (x, y) = C1или Φ(x, y, C1 ) = 0.(64)Каждая линия этого семейства есть геометрическое место точекплоскости, которым отвечает одно и то же направление касательной к интегральным кривым. Это семейство называется семействомизоклин, или семейством линий равного уклона поля направлений,определяемого дифференциальным уравнением.Для однородного уравнения [5] изоклинами были прямые, проходящие через начало координат.Посмотрим, в каких случаях изоклина является интегральнойлинией уравнения, т.
е. дает решение уравнения. Возьмем какуюнибудь изоклинуΦ(x, y, b) = 0,соответствующую частному значению C1 = b. В точках этой изоклины дифференциальное уравнение дает одно и то же направление касательных, и именно мы имеем y ′ = b. Для того чтобы изоклина была и решением, необходимо и достаточно, чтобы угловойкоэффициент касательной к изоклине во всех ее точках был также равен b, откуда непосредственно видно, что изоклина должнабыть прямой с угловым коэффициентом b, ибо из y ′ = b вытекает, что y = bx + c, где c — некоторая постоянная. Итак, изоклинабудет решением уравнения только в том случае, когда она есть11]§ 1. Уравнения первого порядка47прямая и когда направление этой прямой совпадает с тем постоянным направлением касательных, которое определяется дифференциальным уравнением в точках этой изоклины.Переходим к первому типу уравнений, не решенных относительно y ′ . Уравнением Клеро называется уравнение видаy = xy ′ + ϕ(y ′ ).(65)Семейство его изоклин определяется уравнениемy = xC1 + ϕ(C1 ).(66)Все изоклины — прямые линии, и угловой коэффициент C1 каждойиз них есть та постоянная, которая заменила y ′ , т.
е. направление прямых (66) в каждой их точке совпадает с направлением касательных, которое определяется дифференциальным уравнениемв точках этой прямой. Вспоминая сказанное выше, можем утверждать, что каждая из прямых (66) есть и решение уравнения (65),т. е. семейство изоклин (66) есть в то же время и семейство общегоинтеграла уравнения (65).Укажем теперь другой способ получения общего интегралауравнения (65), причем этот способ даст нам не только общий интеграл, но и особое решение уравнения (65). Обозначая y ′ = p, перепишем уравнение (65):y = xp + ϕ(p).(651 )Дело сводится к нахождению p как функции от x: p = ω(x) так,чтобы при подстановке p = ω(x) в правую часть (651 ) получитьдля y такую функцию от x, производная которой y ′ была бы равна:y ′ = p = ω(x) Взяв дифференциалы от обеих частей (651 ) и полагая слева dy = y ′ dx = pdx, получим дифференциальное уравнениепервого порядка для p:pdx = pdx + xdp + ϕ′ (p)dpили [x + ϕ′ (p)]dp = 0.Приравнивая нулю каждый из множителей, мы получаем дваслучая.
Случай dp = 0 дает p = C, где C — произвольная постоянная; подставляя p = C в уравнение (651 ), получим опять общий48Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[11интеграл (66). Во втором случае мы имеем уравнениеx + ϕ′ (p) = 0.Исключая p из двух уравненийy = xp + ϕ(p) и x + ϕ′ (p) = 0,получим решение уравнения (65), уже не содержащее произвольной постоянной. Это решение обычно является особым решениемуравнения.К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательной, причем свойствоэто должно относиться лишьк самой касательной, но не кточке касания.
Действительно,уравнение касательной имеетвидY − y = y ′ (X − x)илиY = y ′ X + (y − xy ′ ),и всякое свойство касательной выражается соотношениеммежду (y − xy ′ ) и y ′ :Рис. 9.Φ(y − xy ′ , y ′ ) = 0.Решая его относительно (y−xy ′ ), придем к уравнению вида (65).Прямые линии, образующие общий интеграл уравнения Клеро, очевидно, не представляют интереса в смысле ответа на задачу, и этотответ будет даваться особым решением уравнения.П р и м е р 1. Уравнениеy = xy ′ + y ′211]§ 1. Уравнения первого порядкаимеет общий интеграл49y = XC + C 2 .Исключая p из уравненийy = xp + p2 ,x + 2p = 0,2получаем решение y = − x4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
