1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Таким образом уравнение (20) устанавливает26Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[5связь между углами α и θ, так что вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, касательные к интегральным кривымоднородного уравнения должны быть параллельны между собой (рис.
3).Из этого свойства касательных становитсяочевидным то обстоятельство, что преобразование подобия с центром подобия в начале координат преобразует интегральную кривую винтегральную же кривую, ибо, при удлинениирадиусов-векторов точек кривой в одном и томже отношении, направления касательных наРис. 4.каждом радиусе-векторе не меняются (рис. 4).Если мы применим указанное выше преобразование подобия кинтегральной кривой, которая представляет собою прямую, проходящую через начало координат, топосле преобразования мы получимту же прямую, так что в этом случае упомянутый выше прием получения интегральных кривых из одной из них неприменим.П р и м е р.
Определить кривые, укоторых отрезок касательной от точкикасания M до пересечения с осью OXравен отрезку OT оси OX (рис. 5).Уравнение касательной имеет видY − y = y ′ (X − x),где (X, Y ) — текущие координаты касательной. Подставляя Y = 0 , определимслед касательной на оси OX:yOT = x − ′ ,yРис.
5.и условие M T 2 = OT 2 даст нам [I, 77]2y2y2+y=x−,y ′2y′5]§ 1. Уравнения первого порядка27откуда получаем дифференциальное уравнениеy′ =2xy,x2 − y 2(23)которое, очевидно, принадлежит к типу однородных. Вводим вместо yновую функцию u по формулеy = xu,y ′ = xu′ + u.Подставив в уравнение (23), имеемxu′ + u =2u1 − u2и переменные разделяютсяилиxu + u3du−= 0,dx1 − u21 − u2dx−du = 0.xu + u3Интегрируя, получаемx(u2 + 1)=Cuили, возвращаясь к y,x2 + y 2 − Cy = 0.(24)Это — окружности, проходящие через начало координат и касающиеся вэтой точке оси OX (рис. 5). Уравнение (23) имеет еще очевидное решениеy = 0. Оно может быть формально получено из (24) тем же приемом, который мы применили в примере 3 из [4].
Заменяем в (24) C на 1/C, послеэтого обе части (24) умножаем на C и затем полагаем C = 0. Числительи знаменатель правой части уравнения (23) одновременно обращаютсяв нуль только в точке (0, 0). Через эту точку проходят все окружностии прямая y = 0, и в этой точке поле направлений не определено. Еслирассматривать только уравнение (23), то на плоскости имеются четыреобласти B теоремы А. Они получаются, если на плоскости провести прямые y = ±x. В точках этих прямых знаменатель правой части уравнения(23) обращается в нуль. Во всех этих четырех областях на интегральныхкривых y есть однозначная функция x.Дифференциальное уравнениеax + by + cdy=f,dxa 1 x + b 1 y + c1(25)28Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[5как мы сейчас покажем, приводится к однородному или к уравнению с отделяющимися переменными. Введем вместо x и y новыепеременные ξ и η:x = ξ + α, y = η + β,(26)где α и β — постоянные, которые мы сейчас определим.Уравнение (25) в новых переменных будетaξ + bη + aα + bβ + cdη=f.dξa 1 ξ + b 1 η + a 1 α + b 1 β + c1Определим α и β из условияaα + bβ + c = 0,a1 α + b1 β + c1 = 0.При этом уравнение приведется к однородному!a + b ηξdη=f.dξa1 + b1 ηξПреобразованию (26) соответствует параллельное перенесениекоординатных осей, причем начало координат переходит в точкупересечения прямыхax + by + c = 0,a1 x + b1 y + c1 = 0.(27)Полученные в предыдущем результаты будут, таким образом,применимы к уравнению (25), с той лишь разницей, что роль началакоординат будет играть точка (α, β).Если прямые (27) параллельны, то указанное выше преобразование не может быть выполнено.
Но в этом случае, как известно изаналитической геометрии, коэффициенты в уравнениях (27) должны быть пропорциональныb1a1== λ и a1 x + b1 y = λ(ax + by);abвводя вместо у новую переменную u:u = ax + by,6]§ 1. Уравнения первого порядка29получим, как нетрудно видеть, уравнение с отделяющимися переменными.Ниже мы познакомимся с весьма важным приложением однородного уравнения.6.
Линейные уравнения и уравнение Бернулли. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение видаy ′ + P (x)y + Q(x) = 0.(28)Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободногочлена Q(x):z ′ + P (x)z = 0.Переменные здесь отделяютсяdz+ P (x)dx = 0,zи мы получимz = Ce−RP (x)dx.(29)Заменяем неопределенный интеграл определенным с переменнымверхним пределом:z = Ce−RxP (t)dtx0.Если имеется начальное условиеy|x=x0 = y0 ,(30)то C = y0 . Для интегрирования уравнения (25) воспользуемсятак называемым способом изменения произвольной постояннойЛагранжа, а именно — будем искать решение этого уравнения в виде (29):Ry = ue− P (x)dx ,считая только u не постоянной а искомой функцией от x. Дифференцируя, находимy ′ = u ′ e−RP (x)dx− uP (x)e−RP (x)dx.30Гл. I.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[6Подставив в уравнение (28), получимu ′ e−RP (x)dx+ Q(x) = 0, u′ = −Q(x)eZRu = C − Q(x)e P (x)dx dxи окончательно получаемy=e−RP (x)dxC−ZQ(x)eRP (x)dxRP (x)dx,dx .(31)При определении y по этой формуле надо брать одно из значенийнеопределенных интеграловZZRP (x)dx иQ(x)e P (x)dx dx,так как прибавление к ним произвольных постоянных изменяеттолько значение C.Заменяя их определенным интегралом с переменным верхнимпределом [I, 96], можем переписать формулу (31) так:RxRvZxP (u)du− P (u)duC − Q(v)ex0y = (x) = e x0dv .(32)x0Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами u и v, отличными от буквы x.Если задано начальное значение (30) искомого решения при x =x0 , то формула (32) дает вполне определенное решениеRvRxZxP (u)du− P (u)duy0 − Q(v)ex0dv .(33)y(x) = e x0x0Во всем предыдущем мы считали, что P (x) и Q(x) непрерывны внекотором промежутке I, содержащем точку x0 .
Из (33) вытекаетследующий важный факт: решение y(x) существует во всем промежутке I изменения x. Из формулы (32) следует, что решениялинейного дифференциального уравнения имеют видy = ϕ1 (x)C + ϕ2 (x),т. е. y есть линейная функция произвольной постоянной.(34)6]§ 1. Уравнения первого порядка31Пусть y1 есть решение уравнения (28)∗ . Полагаяy = y1 + z,(35)получим для z уравнениеz ′ + P (x)z + [y1′ + P (x)y1 + Q(x)] = 0.Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна нулю, так как, попредположению, y1 есть решение уравнения (28).
Следовательно, zесть решение соответствующего уравнения без свободного члена иопределяется по формуле (29), а тогда:y = y1 + Ce−RP (x)dx.(36)Положим теперь, что известно еще второе решение y2 уравнения(28), и пусть это решение получается из формулы (36) при C = a:y2 = y1 + ae−RRP (x)dx.(361 )Исключая e− P (x)dx из равенств (36) и (361 ), получим выражениеиз всех решений линейного уравнения через его два решения y1 иy2 :y = y1 + C1 (y2 − y1 ),где C1 — произвольная постоянная, заменяющая C/a в прежнихобозначениях.
Из последнего уравнения вытекает следующее соотношение:1 − C1y2 − y== C2 ,y − y1C12 −yесть величина постоянная,которое показывает, что отношение yy−y1т. е. семейство интегральных кривых линейного уравнения естьсемейство кривых, делящих в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя кривыми этого семейства.Таким образом, если известны две интегральные кривые L1 иL2 линейного уравнения, то всякая другая интегральная кривая Lопределяется постоянным значением отношений (рис. 6)AA2BB2CC2DD2==== ...A1 AB1 BC1 CD1 D∗Имеется в виду частное решение.32Гл. I.
Обыкновенные дифференциальные уравнения[6В силу этого равенства хорды A1 B1 , AB и A2 B2 должны или пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При беспредельном приближении отрезка ординаты B1 B2 к отрезку A1 A2 направление этих хорд перейдет в направление касательных к кривым вточках A1 , A и A2 ,и мы получаем следующее свойство касательных к интегральным кривым линейного уравнения: касательные к интегральнымкривым линейного уравРис. 6.нения в точках пересечения этих кривых прямой, параллельной оси OY , или пересекаются в одной точке, или параллельны.П р и м е р.
Рассмотрим процесс устанавливающегося переменного тока в цепи с самоиндукцией. Пусть i — сила тока, v — напряжение, R —сопротивление цепи и L — коэффициент самоиндукции.Имеет место соотношениеv = Ri + Ldi,dtоткуда для i получаем линейное уравнениеRvdi+ i − = 0.dtLLСчитая R и L постоянными и v — заданной функцией времени t, вычисляем интегралы, входящие в формулу (33):Zt0P dt =Zt0RRdt = t,LLZtQeRt00P dt1dt = −LZtRve L t dt.0Обозначив через i0 начальное значение i, т.
е. значение силы тока при t =0, получим, согласно (33), формулу для определения i в любой моментвремениZtRR1ve L t dt .i = e− L t i0 +L06]§ 1. Уравнения первого порядка33При постоянном напряжении v будем иметьvv −Re Lt + .i = i0 −RRRПри возрастании t множитель e− L t быстро убывает, и практическичерез короткий промежуток времени процесс можно будет считать устаv.новившимся, причем сила тока определяется по закону Ома: i = RВ частности, при i0 = 0 получим формулуRv 1 − e− L t(37)i=Rдля силы тока при замыкании цепи.Постоянную L/R называют временной постоянной рассматриваемойцепи.Рассмотрим напряжение v синусоидального характера v = A sin ωt.Согласно формуле (33), получимZtRRAe L t sin ωtdt .i = e− L t i0 +L0Нетрудно видеть, чтоZRRe L t sin ωtdt = e L tRLωL2sin ωt − 2 2cos ωt222ω L +Rω L + R2и, следовательноZt0RRe L t sin ωtdt = e L tRLωL2ωL2sincos.ωt−ωt+ 2 2222222ω L +Rω L +Rω L + R2Подставляя в выражение i, получимRRAωLAωLAsin ωt − 2 2cos ωt.
(38)e− L t + 2 2i = i0 + 2 22ω L +Rω L + R2ω L + R2RПервое слагаемое, содержащее множитель e− L t , быстро затухает, ипрактически через короткий промежуток времени после t = 0 сила тока будет определяться суммой двух остальных слагаемых формулы (38).Эта сумма представляет собою синусоидальную величину той же частоты ω, что и напряжение v, но с другими амплитудой и фазой.
Заметим34Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[6также, что эта сумма, дающая установившийся процесс тока, не зависитот начального значения тока i0 .Обобщением линейного дифференциального уравнения (28) является уравнение Бернулли:y ′ + P (x)y + Q(x)y m = 0,(39)причем показатель степени m можно считать отличным от нуля иединицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Делимобе части на y m :y −m y ′ + P (x)y 1−m + Q(x) = 0и вводим вместо y новую искомую функцию u:u = y 1−m ,u′ = (1 − m)y −m y ′ .При этом уравнение приведется к видуu′ + P1 (x)u + Q1 (x) = 0,гдеP1 (x) = (1 − m)P (x)иQ1 (x) = (1 − m)Q(x),т.
е. подстановкой u = y 1−m уравнение Бернулли (39) приводитсяк линейному и интегрируется затем как линейное.Отметим, что интегрирование дифференциального уравнениявидаy ′ + P (x)y + Q(x)y 2 + R(x) = 0,(40)которое называется уравнением Рикатти, не приводится при произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно привести клинейному уравнению, если известно какое-либо частное решение.Действительно, пусть y1 (x) — решение уравнения (40), т. е.y1′ + P (x)y1 + Q(x)y12 + R(x) = 0.(41)Введем в уравнение (40) вместо y новую искомую функцию uпо формуле1y = y1 + .u7]§ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
