1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Начальные условия(84) непосредственно следуют из формул (89) и (90), если принятьво внимание, что в формуле (90) внеинтегральный член равен нулю,как было указано выше. Таким образом формула (89) дает решениеуравнения (83) при начальных условиях (84). Подставляя в (89)вместо функции w(x, y, z, t; τ ) ее выражение (87), получимZt1(t − τ )×u(x, y, z, t) =4π0 2π πZ Z×f [x + α1 a(t − τ ), y + α2 a(t − τ ), z + α3 a(t − τ ), τ ]d1 σ dτ.00Это выражение для u преобразуем к другому виду. Вместо τ введемновую переменную интегрирования: r = a(t − τ ). Совершая замену718Гл.
VII. Уравнения математической физики[187переменных, получимu(x, y, z, t) ==14πa2Zat Z2πZπ rr sin θdrdθdϕ,f x + α1 r, y + α2 r, z + α3 r, t −a000или, умножая и деля на r,u(x, y, z, t) =1=4πa2Zat Z2πZπ00f x + α1 r, y + α2 r, z + α3 r, t −r0rar2 sin θdrdθdϕ.Принимая во внимание формулы (88) для αk и вспоминая выражение для элемента объема в сферических координатах, мы видим,что входящие в последнюю формулу три квадратуры равносильнытройному интегралу по сфере Dat с центром (x, y, z) и радиусом at.Вводя переменную точкуξ = x + α1 r,η = y + α2 r,ζ = z + α3 r,и, принимая во внимание, что α21 + α22 + α32 = 1, получимpr = (ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 ,и выражение для u запишется окончательно в видеZZZf ξ, η, ζ, t − ar1dv,u(x, y, z, t) =4πa2r(91)r6atгде неравенство r 6 at характеризует упомянутую выше сферу Dat .Характерным в подынтегральной функции последнего выраженияявляется тот факт, что функция f берется в момент времени t − ar ,предшествующий моменту t, для которого вычисляется u.
Разницаra в моментах времени дает то время, которое нужно для переходаиз точки (ξ, η, ζ) в точку (x, y, z) со скоростью a. Выражение (91) называется обычно запаздывающим потенциалом. Отметим еще, что187]§ 17. Волновое уравнение719основная формула (89) имеет простой физический смысл, а именноона показывает, что решение неоднородного уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям (84), является суммой импульсов w(x, y, z, t; τ )dτ , происходящих от наличия свободного члена иопределяемых уравнениями (85) и (86).Рассмотрим теперь неоднородное волновое уравнение для цилиндрических волн 2∂ u ∂ 2u∂ 2u2=a++ f (x, y, t)(92)∂t2∂x2∂y 2при нулевых начальных условиях. Совершенно так же, как и выше,мы можем получить решение задачи в видеu(x, y, t) =Ztw(x, y, t; τ )dτ,0где w(x, y, t; τ ) удовлетворяет однородному уравнению 2∂ w ∂2w∂2w2=a+∂t2∂x2∂y 2и начальным условиямw|t=τ = 0,∂w = f (x, y, τ ).∂t t=τПринимая во внимание формулу (80), получим окончательноZt Z Zf (ξ, η, τ )1dξdη dτ(93)u(x, y, t) =22πaa (t − τ )2 − ρ20ρ6a (t−τ )[ρ2 = (ξ − x)2 + (η − y)2 ].Отметим, что в последней формуле мы имеем интегрированиепо времени, чего не было в формуле (91), где зависимость от времени сводилась лишь к зависимости от времени радиуса сферы, по720Гл.
VII. Уравнения математической физики[188которой производилось интегрирование, и к зависимости от времени функции f (x, y, z, t). В линейном случае2∂2u2∂ u=a+ f (x, t)∂t2∂x2(94)решение будет, очевидно,1u(x, t) =2aZt .0x+a(t−τ)Zx−a(t−τ )f (ξ, τ )dξ dτ.(95)188. Точечный источник.
Если мы положим, что свободныйчлен в уравнении (83) отличен от нуля только в небольшой сфере сцентром в начале координат, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспредельном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения при наличии точечного источника, который начинает действовать с момента t = 0 и закон воздействия которого может бытьлюбым в зависимости от времени.
Положим, чтоpx2 + y 2 + z 2 > ε(96)f (x, y, z, t) прииZZZf (x, y, z, t)dxdydz = 4πω(t),(97)Cεгде Cε — сфера с центром в начале и радиусомε. Обратимся к форpx2 + y 2 + z 2 . В силу (96)муле (91) и будем считать, что at >достаточно произвести интегрирование по сфере Cε .
В пределе приε → 0 величинаp r будет равна расстоянию от точки (x, y, z) до начала, т. е. r = x2 + y 2 + z 2 , и мы получим, принимая во внимание(97),r1 (98)u(x, y, z, t) = w t −rap(r = x2 + y 2 + z 2 ).188]§ 17. Волновое уравнение721Кроме того надо считать, что u(x, y, z, t) = 0 при r > at, так как приr > at область интегрирования в интеграле (91) не содержит внутрисебя сферы Cε при достаточно малых ε. Отметим, что функция (98)при любом выборе дважды непрерывно дифференцируемой функции w(t) удовлетворяет однородному волновому уравнению и имеетособенность в начале координат.В случае уравнения (92) мы должны совершенно так же, как ивыше, считать:px2 + y 2 > εf (x, y, t) = 0 прииZZf (x, y, t)dxdy = 2πw(t),γεгде γε — круг с центром в начале и радиусом ε.
Обращаясь к формуле (93) и переходя к пределу, получим решение для точечногоисточника в случае цилиндрических волн:1u(x, y, t) =aρt−Z a0ω(τ )pdτ2a (t − τ )2 − ρ2u(x, y, t) = 0 при at < ρ(ρ =(at > ρ),px2 + y 2 ).(99)Формулы (98) и (99) отличаются, аналогично тому, что мы указывали в предыдущем параграфе [(91) и (93)]. Воздействие точечного источника на точку (x, y, z) в момент времени t согласно формуле (98) зависит только от интенсивности источника в момент времени t − ar . В случае формулы (90) это воздействие определяетсядействием точечного источника за промежуток времени от моментаt = 0 до момента t = aρ .В линейном случае (94), полагая, как всегда,Z+εf (x, t)dx = ω(t) и f (x, t) = 0−εпри |x| > ε,722Гл. VII.
Уравнения математической физики[189мы получаем, переходя к пределу в формуле (95):u(x, t) =t−Z|x|aω(τ )dτ0при |x| < at,(100)u(x, t) = 0 при |x| > at.189. Поперечные колебания мембран. До сих пор мы рассматривали волновые уравнения на плоскости и в пространстве при отсутствииграниц, так что, кроме дифференциального уравнения, имели только начальные условия. Предельные задачи для волнового уравнения на плоскости и в пространстве представляются гораздо более трудными, чем влинейном случае. Рассмотрим предельную задачу на плоскости в двухчастных случаях — когда основной областью, для которой решается задача, является прямоугольник или круг.
Мы будем физически толковатьволновое уравнение на плоскости, как уравнение для поперечных колебаний мембраны.Под мембраной мы понимаем весьма тонкую пленку, которая, подобно струне, работает только на растяжение, но не на изгиб. Если мембрана находится под действием равномерного натяжения T0 и в состоянииравновесия лежит в плоскости (x, y) и если мы ограничимся лишь темслучаем, когда движение происходит параллельно оси Oz, то смещениеu точки (x, y) мембраны будет функцией от x, y и t, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению струны,а именно 2∂2u∂ u∂2u2=a++ f (x, y, t),(101)∂t2∂x2∂y 2гдеrT0,a=ρρ — поверхностная плотность мембраны, ρf — внешняя сила или нагрузка.
На выводе уравнения (101) мы здесь останавливаться не будем.Кроме дифференциального уравнения (101), нужно иметь в виду предельное условие, которому должна удовлетворять функция u на контуре(C) — границе мембраны. Мы остановимся лишь на том случае, когда наконтуре (C) мембрана закреплена, т. е.u=0на(C).(102)190]§ 17. Волновое уравнение723Наконец, нужно задать начальное условие, т.
е. смещение и скоростьвсех точек мембраны в начальный момент∂u = ϕ2 (x, y).u|t=0 = ϕ1 (x, y),(103)∂t t=0190. Прямоугольная мембрана. Рассмотрим свободные колебанияпрямоугольной мембраны, контур которой есть прямоугольник со сторонамиx = 0, x = l, y = 0, y = m(104)в плоскости (x, y).
Внешнюю силу мы будем считать отсутствующей, т. е.f = 0.Нам нужно найти решение уравнения 2∂ u∂2u∂2u2=a+,(105)∂t2∂x2∂y 2удовлетворяющее условиям (102) и (103).Применяя опять способ стоячих волн (Фурье), ищем частное решениеуравнения (105) в виде(α cos ωt + β sin ωt)U (x, y),(106)что дает нам−ω 2 (α cos ωt + β sin ωt)U (x, y) = a2откуда, полагая∂2U∂2U+2∂x∂y 2(α cos ωt + β sin ωt),ω2= k2 ,a2(107)находим уравнение для U :∂2U∂2U++ k2 U = 0.2∂x∂y 2Ищем частное решение этого уравнения в видеU (x, y) = X(x)Y (y),что дает намX ′′ (x)Y (y) + X(x)Y ′′ (y) + k2 X(x)Y (y) = 0,(108)724Гл. VII. Уравнения математической физикиили[190X ′′ (x)Y ′′ (y) + k2 Y (y)=−= −λ2 ,X(x)Y (y)где λ2 — пока неопределенная постоянная.Итак, мы имеем два уравнения:X ′′ (x) + λ2 X(x) = 0,Y ′′ (y) + µ2 Y (y) = 0,(109)гдеµ2 = k2 − λ2 ,µ2 + λ2 = k2 .Уравнения (109) дают нам общий вид функций X(x) и Y (y):X(x) = C1 sin λx + C2 cos λx,Y (y) = C3 sin µx + C4 cos µx.Из условияu=0на(C)получаемU (x, y) = 0на(C),а это последнее условие, в свою очередь, распадается на следующие условия:X(0) = 0, X(l) = 0, Y (0) = 0, Y (m) = 0,откуда ясно, что C2 = C4 = 0, и если мы отбросим постоянные множители C1 и C3 , не равные нулю, то окажется:X(x) = sin λx,Y (y) = sin µy,(110)причемsin λl = 0,sin µm = 0.(111)Из уравнений (111) вытекает, что λ и µ имеет бесчисленное множествозначенийτπ.m(112)Взяв по произволу по одному значению λ и µ из рядов (112), получимсоответствующее значение постоянной k2 : 2τ2σ2+,kσ,τ= λ2σ + µ2τ = π 2l2m2λ = λ1 , λ2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
