1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 84
Текст из файла (страница 84)
, bn−1 = bn−2 a + an−1 ,bn = bn−1 a + an = r1 .Эти равенства и дают возможность последовательно определить величины bs .Точно так же, обозначив частное и остаток при делении f1 (z) на (z − a),f2 (z) = c0 z n−2 + c1 z n−3 + . . . + cn−3 z + cn−2 ;cn−1 = r2 ,будем иметьc0 = b0 , c1 = c0 a + b1 , c2 = c1 a + b2 , . . . , cn−2 = cn−3 a + bn−2 ,cn−1 = cn−2 a + bn−1 = r2 ,т. е. коэффициенты cs вычисляют последовательно при помощи bs , также как bs при помощи as .Указанный прием вычисления называется правилом, или алгориф(k)мом Горнера21 ).
Применяя это правило, мы получим величины f k!(a) .Приведем схему вычислений, которая понятна без пояснений:21 Вообще алгорифмом называют определенное правило, согласно которомунадо производить математические операции, чтобы получить требуемый ответ.576Гл. VI.
Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .aa0 ,+a1 , a2 , a3 , . . . , an−2 , an−1 , anb0 a, b1 a, b2 a, . . . , bn−3 a, bn−2 a, bn−1 ab0 = a0 , b1 , b2 , b3 , . . . , bn−2 , bn−1 ,+c0 a, c1 a, c2 a, . . . , cn−3 a, cn−2 ac0 = a0 , c1 ,c2 , c3 , . . . , cn−2 ,bn = r1 = f (a)cn−1 = r2 =f ′ (a)1..................................................................l0 = a 0 , l1+m0 am0 = a0m0 =l2 = rn−1 =m1 = r1 =f n−2 (a)(n−2)!f (n−1) (a)(n−1)!f (n) (a)n!П р и м е р.
Найти значения функцииf (z) = z 5 + 2z 4 − 2z 2 − 25z + 100и ее производных при z = −5.a = −51,2, 0, –2, –25, 100–5 15, –75, 385, –18001, –3, 15, –77, 360–5, 40, –275, 1760−1700 = f (−5)1, –8, 55, –352–5, 65, –6002120 =1, –13, 120–5, 901, –18–511=−952 =210 =−23 =f V (−5)5!f ′′ (−5)2!f ′′′ (−5)3!f IV (−5)4!f ′ (−5)1![187188]§ 18. Основные свойства целых многочленов. .
.577188. Общий наибольший делитель. Рассмотрим два многочлена f1 (z) и f2 (z). Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем D(z)этих двух многочленов называется произведение всех двучленныхмножителей вида (z − a), входящих как в разложение f1 (z), таки в разложение f2 (z), причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения f1 (z) и f2 (z). Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли неиграют.
Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из техдвух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят,что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущемуможно определить и общий наибольший делитель нескольких многочленов.Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленовна множители первой степени.
Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения f (z) = 0, что и составляет одну изосновных задач алгебры.Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень f1 (z)не ниже степени f2 (z). Первый многочлен делим на второй, затемвторой многочлен f2 (z) разделим на остаток, получаемый при первом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемыйпри втором делении, и т.
д., пока не получится деление с остатком,равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Еслиэтот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимнопростыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив f1 (z) и f2 (z) на D(x), мы578Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.
. .[189получим взаимно простые многочлены. Один из них или оба немогут содержать z.Сравнивая разложения (9) и (10), мы видим, что общий наибольший делитель D(z) многочлена f (z) и его производной f ′ (z)будетD(z) = (z − z1 )k1 −1 (z − z2 )k2 −1 . . . (z − zm )km −1 ,причем мы опускаем постоянный множитель, что является несущественным.Разделив f (z) на D(z), получимf (z)= a0 (z − z1 )(z − z2 ) . .
. (z − zm ),D(z)т. е. при делении многочлена f (z) на общий наибольший делительf (z) и f ′ (z) получается многочлен, имеющий все корни простые исовпадающие с различными корнями f (z).Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена f (z) от кратных корней. Мы видим, что для этогонет необходимости решать уравнение f (z) = 0.Если f (z) и f ′ (z) взаимно простые, то f (z) имеет все корни простые и наоборот.189.
Вещественные многочлены. Рассмотрим теперь многочлен с вещественными коэффициентами:f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ,и пусть этот многочлен имеет комплексный корень z = a+bi (b 6= 0)кратности k, т. е.f (a + bi) = f ′ (a + bi) = . . . = f (k−1) (a + bi) = 0,f k (a + bi) = A + Bi 6= 0.Заменим теперь в выражении f (a+bi) и в производных все величины сопряженными. При этой замене коэффициенты as , как числа вещественные, останутся прежними и лишь (a + bi) перейдет в189]§ 18. Основные свойства целых многочленов. .
.579(a−bi), т. е. многочлен f (z) останется прежним, но вместо z = a+biв него будет подставлено z = a − bi. После замены комплексныхчисел сопряженными, как известно [173], и общий результат, т. е.значение многочлена, переходит в сопряженное. Таким образом получимf (a − bi) = f ′ (a − bi) = .
. . = f (k−1) (a − bi) = 0,f k (a − bi) = A − Bi 6= 0,т. е. если многочлен с вещественными коэффициентами имееткомплексный корень z = a + bi(b 6= 0) кратности k, то он должен иметь и сопряженный корень z = a − bi той же кратности.Итак, комплексные корни многочлена f (z) с вещественными коэффициентами распределяются по парам сопряженных корней. Положим, что переменная z принимает лишь вещественные значения,и обозначим ее буквою x. Согласно формуле (3)f (x) = a0 (x − z1 )(x − z2 ) . .
. (x − zn ).Если среди корней n будут комплексные, то соответствующиеим множители также будут комплексными. Перемножив попарномножители, соответствующие паре сопряженных корней, получим[x − (a + bi)][x − (a − bi)] = [(x − a) − bi][(x − a) + bi] == (x − a)2 + b2 = x2 + px + q,гдеp = −2a, q = a2 + b2 (b 6= 0).Таким образом, пара комплексных сопряженных корней дает вещественный множитель второй степени, и мы можем высказать следующее положение: многочлен с вещественными коэффициентамиразлагается на вещественные множители первой и второй степени.Разложение это имеет следующий вид:580Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.
. .[190f (x) = a0 (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 . . . (x − xr )kr (x2 + p1 x + q1 )l1 ×× (x2 + p2 x + q2 )l2 . . . (x2 + pt x + qt )lt . (11)где x1 , x2 , . . . , xr — вещественные корни f (x) кратности k1 , k2 , . . . ,kr и множители второй степени происходят от пар комплексныхсопряженных корней кратности l1 , l2 , . . . , lt .190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Пусть, как и раньше, z1 , z2 , . . .
, zn суть корниуравненияa0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0.Согласно формуле (3), будем иметь тождество:a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = a0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ).Применяя в правой части известную из элементарной алгебры формулу для перемножения биномов, отличающихся вторыми членами,можем привести написанное тождество к видуa0 z n + a1 z n−1 + .
. . + ak z n−k + . . . + an == a0 z n − S1 z n−1 + S2 z n−2 + . . . + (−1)k Sk z n−k + . . . + (−1)n Sn ,где Sk обозначает сумму всевозможных произведений из чисел zs(s = 1, 2, . . . , n) по k множителей в каждом. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получимa2akana1S1 = − , S2 = , . . . , Sk = (−1)k , .
. . , Sn = (−1)n ,a0a0a0a0или в раскрытом видеa1 z1 + z2 + . . . + zn = − ,a0 a2 z1 z2 + z2 z3 + . . . + zn−1 zn = ,a0(12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an z1 z2 . . . zn = (−1)n .a0191]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .581Формулы эти являются обобщением известных свойств корнейквадратного уравнения на случай уравнения любой степени. Онидают, между прочим, возможность составить уравнение, когда известны его корни.191. Уравнение третьей степени. Мы не будем подробно заниматься вопросом о фактическом вычислении корней алгебраическихуравнений. Вопрос этот излагается в учебниках по приближенным вычислениям.
Мы остановимся лишь на случае уравнения третьей степении укажем также некоторые методы вычисления, которые будут полезныи в дальнейшем.Начнем с исследования уравнения третьей степениy3 + a1 y 2 + a2 y + a3 = 0.(13)Вместо y введем новую неизвестную x, полагаяy = x + α.Подставив это в левую часть уравнения (13), получим уравнениеx3 + (3α + a1 )x2 + (3α2 + 2a1 α + a2 )x + (α3 + a1 α2 + a2 α + a3 ) = 0.Если положим α = − a31 , то член с x2 пропадает, и, следовательно, подстановкаy =x−a13преобразует уравнение (13) к видуf (x) = x3 + px + q = 0,(14)2не содержащему члена с x .Если p и q — вещественны, то уравнение (14) может иметь или всетри вещественных корня, или один вещественный и два мнимых сопряженных корня [189]. Чтобы решить, какой из этих случае имеет место,составим первую производную левой части уравненияf ′ (x) = 3x2 + p.Если p > 0, то f ′ (x) > 0, и f (x) все время возрастает и будет иметь лишь один вещественный корень, ибо при переходе от x =582Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
