1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 86
Текст из файла (страница 86)
. . ,(30)(31)причемf1 (x1 ) = f2 (x0 ),f1 (x2 ) = f2 (x1 ), . . . ,f1 (xn ) = f2 (xn−1 ), . . .Нетрудно указать геометрический смысл полученных приближений.Искомый корень есть абсцисса точки пересечения кривыхy = f1 (x)(321 )y = f2 (x).(322 )иНа рис. 183 и 184 изображены обе эти кривые, причем в случаерис. 183 производные f1′ (x) и f2′ (x) имеют в точке пересечения одинаковые знаки, а в случае рис. 184 — разные знаки, и в обоих случаях|f2′ (ξ)| < |f1′ (ξ)|.Равенствам (31) соответствует следующее построение: проводим прямую x = x0 , параллельную оси OY , до пересечения ее в точке (x0 , y0 )с кривой (322 ); через эту точку пересечения проводим прямую y = y0 ,параллельную оси OX, до пересечения ее в точке (x1 , y0 ) с кривой (321 );через точку (x1 , y0 ) проводим опять прямую x = x1 , параллельную осиOY , до пересечения ее с кривой (322 ) в точке (x1 , y1 ); через эту последнюю точку проводим прямую y = y1 до пересечения ее с кривой (321 ) в590Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[193точке (x2 , y1 ) и т. д. Абсциссы точек пересечения и дают нам последовательность (30).Если первое приближение взято достаточно близко к ξ, то эта последовательность, как видно из чертежа, стремится к ξ, как к пределу,причем в случае, когда f1′ (ξ) и f2′ (ξ) одинаковых знаков, получается ступенчатая ломаная линия, стремящаяся к ξ (черт. 183), а если f1′ (ξ) иf2′ (ξ) разных знаков, то эта ломаная линия стремится к ξ, имея формуспирали (черт.
184). Мы не будем приводить условий и строгого доказательства того, что последовательность (30) стремится к ξ как к пределу.Во многих случаях это можно непосредственно обнаружить из чертежа.Рис. 183.Рис. 184.Особенно удобен для приложения указанный способ в том случае,когда уравнение (29) имеет видx = f2 (x).Пусть ξ есть корень этого уравнения, приближенное значение которогоx0 = ξ + hнам известно. Ряд последовательных приближений будетx1 = f2 (x0 ),x2 = f2 (x1 ),...,xn = f2 (xn−1 ),...Можно показать, что действительно xn → ξ при n → ∞, если функция f2 (x) имеет производную f2′ (x), которая удовлетворяет условию|f2′ (x)| 6 q < 1193]§ 18. Основные свойства целых многочленов. .
.591в промежуткеξ − h 6 x 6 ξ + h.П р и м е р 1. Рассмотрим уравнениеx5 − x − 0, 2 = 0.(33)Его вещественные корни суть абсциссы точек пересечения линий(рис. 185)y = x5 ,(341 )y = x + 0, 2,(342 )и, как видно из рис. 185, уравнение(33) имеет один положительный идва отрицательных корня.В точках пересечения A и B,соответствующих положительномукорню и большему по абсолютному значению отрицательному корРис. 185.ню, угловой коэффициент прямой(342 ) меньше по абсолютному значению, чем угловой коэффициент касательной к кривой (341 ), т. е. при вычислении этих корней методомитерации уравнение (33) надо представить в видеx5 = x + 0, 2.Принимая за первое приближение при вычислении положительногокорня x0 = 1, получим таблицу (I).√5xn + 0, 2xn + 0, 21,2x1 = 1, 0371,237x2 = 1, 04341,2434x3 = 1, 04451,2445x4 = 1, 04472(I)592Гл. VI.
Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[193Значение x4 дает искомый корень с точностью до четвертого знака.При вычислении отрицательного корня, большего по абсолютному значению, примем за первое приближение x0 = −1 и получаем таблицу (II).√5xn + 0, 2xn + 0, 2—0,8x1 = −0, 956—0,756x2 = −0, 9456—0,7456x3 = −0, 9430—0,7430x4 = −0, 9423—0,7423x5 = −0, 94214—0,74214(II)x6 = −0, 94210В точке C, которой соответствует отрицательный корень, меньшийпо абсолютному значению, угловой коэффициент касательной к кривой(341 ) по абсолютному значению меньше единицы, и потому при применении метода итерации уравнение (33) надо представить в видеx = x5 − 0, 2.Принимая за первое приближение x0 = 0, получим таблицу (III).x5n − 0, 2x5n—0x1 = −0, 2(III)—0,00032x2 = −0, 20032Во всех трех случаях приближение к корню происходило по ступенчатой линии, как это изображено на рис.
183, в чем нетрудно убедитьсяиз рис. 185, и во всех трех случаях приближения xn стремятся при увеличении n к искомому корню, изменяясь монотонно.П р и м е р 2.x = tg x.(35)194]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .593Корни этого уравнениясуть абсциссы точек пересечения линий (рис. 186)y = x,y = tg x,и, как видно из рис. 186,уравнение имеет по одномукорню в каждом из промежутковhππi,(2n − 1) , (2n + 1)22n = 0, ±1, ±2, . .
.Для положительных корней будет иметь место приближенное равенствоπαn ≈ (2n + 1) ,2где буквою αn мы обозначаем n-й положительный коРис. 186.рень уравнения (35).. Для применения метода итерацииВычислим корень α1 , близкий к 3π2перепишем уравнение (35) в видеx = arctg x.и примем за первое приближение x0 = 3π2При вычислении последовательности приближенийxn = arctg xn−1надо всегда брать значение арктангенса, содержащееся в третьей четверти.
Пользуясь таблицами логарифмов и выражая дуги в радианномизмерении, получимx0 = 4, 7124,x1 = 4, 5033,x2 = 4, 4938,x3 = 4, 4935.194. Способ Ньютона. Процесс итерации, указанный на рис. 183 и184, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации,594Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.
. .[194для которых применяются и прямые, наклонные к координатным осям.Одним из таких способов является способ Ньютона.Рис. 187.Рис. 188.Пусть x′0 и x0 — приближенные значения корня ξ уравненияf (x) = 0,(36)и положим, что в промежутке (x′0 , x0 ) это уравнение имеет один толькокорень ξ. На рис.
187 и 188 изображен график кривойy = f (x).Абсциссы точек N и P суть приближенные значения x′0 и x0 корня ξ,который является абсциссой точки A. В точке P проведена касательнаяP Q1 к кривой, и из точки пересечения Q1 этой касательной с осью абсцисс проведена ордината Q1 Q кривой; в точке Q проведена касательнаяQR1 к кривой и из точки R1 проведена ордината R1 R кривой и т.
д.Точки P1 , Q1 , R1 , . . . , как видно из чертежа, стремятся к точке A,так что их абсциссы x0 , x1 , x2 , . . . являются последовательными приближениями для корня ξ. Выведем формулу, выражающую xn через xn−1 .Уравнение касательной P Q1 будетY − f (x0 ) = f ′ (x0 )(X − x0 ).Подставляя Y = 0, найдем абсциссу точки Q1 :x1 = x0 −f (x0 ),f ′ (x0 )(37)195]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .595f (xn−1 ),f ′ (xn−1 )(38)и, вообще,xn = xn−1 −n = 1, 2, 3 . . .То обстоятельство, что xn действительно являются приближениямик корню ξ, мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для тогослучая, когда f (x) монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке (x′0 , x0 ), другими словами, когда f ′ (x) и f ′′ (x) сохраняют знакв этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательствеэтого мы останавливаться не будем.Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу x0 , ак концу x′0 , то не получили бы приближения к корню, как это показываетпроведенная пунктиром касательная.
В случае рис. 188 кривая обращенавогнутостью в сторону положительных ординат, т. е. f ′′ (x) > 0, и способНьютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где f (x) > 0. Изрис. 187 вытекает, что при f ′′ (x) < 0 способ Ньютона надо применятьк тому концу, где ордината f (x) < 0. Мы приходим, таким образом, кследующему правилу: если f ′ (x) и f ′′ (x) в промежутке (x′0 , x0 ) не обращаются в нуль, а ординаты f (x′0 ) и f (x0 ) разных знаков, то, применяяспособ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки f (x) и f ′′ (x)совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке (x′0 , x0 ).195.
Способ простого интерполирования. Укажем еще один способ приближенного вычисления корня. Через концы N и P дуги кривойпроведем прямую. Абсцисса следа B этой прямой на оси абсцисс и даст приближенное значение корня (рис. 189). Пусть, как и раньше, x′0 иx0 — абсциссы концов промежутка. Уравнениепрямой N P будетX − x0Y − f (x0 )= ′f (x′0 ) − f (x0 )x0 − x0 .Полагая Y = 0, найдем выражение абсциссыточки B:x′0 f (x0 ) − x0 f (x′0 ),f (x0 ) − f (x′0 )или(x0 − x′0 )f (x′0 ),x′0 −f (x0 ) − f (x′0 )Рис. 189.(39)596Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.
. .илиx0 −[195(x0 − x′0 )f (x0 ).f (x0 ) − f (x′0 )Замена участка кривой отрезком прямой, проходящей через конечныеточки кривой, равносильна замене функции f (x) в исследуемом промежутке многочленом первой степени, имеющим те же конечные значения,что и f (x), или, что то же равносильно предположению, что в указанномпромежутке изменения f (x) пропорциональны изменениям x. Этот прием, называемый обычно простым интерполированием, применяется, например, при пользовании таблицами логарифмов (partes proportionales).Указанный нами прием вычисления корня называется также иногда правилом ложного положения (regula falsi).Если применять одновременно как способ простого интерполирования, так и способ Ньютона, получается возможность оба предела x′0 и x0приблизить к корню ξ.Положим, например, что на конце x0 знаки f (x) и f ′′ (x) совпадают,так что способ Ньютона надо применять именно к этому концу.Применяя оба способа, получимдва новых приближенных значения(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
