1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 85
Текст из файла (страница 85)
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[191−∞ к x = +∞ функция f (x) меняет знак (–) на (+). Положим теперь, что p < 0. Функцияf (x), как нетрудно видеть,p p будет иметьp− 3 . Подставляямаксимум при x = − − p3 и минимум при x =эти значения x в выражение функции f (x), получим для максимального и минимального значений этой функции, соответственно, выраженияrp2p− .q∓33Если оба эти значения одного знака, т. е.rrpp4p32p2p−−= q2 +>0q−q+333327илиp3q2+> 0,427(151 )то уравнение имеет только один pвещественныйкорень, которыйp заключается в промежутке −∞, − − p3 или в промежутке + − p3 ,+∞).Если же упомянутое выше максимальное значение f (x) имеет знак(+), а минимальное (—), т. е.p3q2+< 0,(152 )427p pp pто f (−∞), f − − 3 , f + − 3 , f (+∞) будут иметь соответственно знаки (—), (+), (—), (+), и уравнение (14) будет иметь три вещественных корня.
Заметим, кроме того, что при p > 0, наверно,выполнено условие (151 ). Предоставляем читателю показать, что вслучаеp3q2+=0(153 )427p p, причем мыуравнение (14) имеет кратный корень ± − 3 и корень 3qpсчитаем p 6= 0, и из (153 ) следует p < 0. При p = 0 и q 6= 0 мы имеем неравенство (151 ), и уравнение (14) принимает вид x3 + q = 0, т.
е.√x = 3 −q, откуда следует, что уравнение (14) имеет один вещественныйкорень [175]. При p = q = 0 уравнение (14) будет: x3 = 0 и имеет кореньx = 0 третьей кратности.Полученные результаты собраны в следующей таблице:191]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .q24+q24q24p327>0+p327<0+p327=0583x3 + px + q = 0Один вещественный и два мнимых сопряженных корняТри вещественных различныхкорняТри вещественных корня, средикоторых есть кратныйНа рис. 182 изображен графикфункцииy = x3 + px + qпри различныхот 2предположенияхp3q+.носительноВслучае427(153 ) двойному корню соответствуетточка касания кривой с осью OX.Выведем теперь формулу, выражающую корни уравнения (14) черезего коэффициенты.
Формула эта дляпрактических вычислений не годится, и в следующем номере мы, пользуясь тригонометрическими функциями, извлечем из нее практическиудобный способ вычисления корней.Вместо неизвестных x введем двеновые неизвестные u и v, полагаяx = u + v.(16)Рис. 182.Подставим в уравнение (14)(u + v)3 + p(u + v) + q = 0,u3 + v 3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0.Неизвестные u и v подчиним условию3uv + p = 0,и тогда уравнение (17) дает намu3 + v 3 = −q.(17)584Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[191Таким образом, вопрос привелся к решению двух уравнений:puv = − ,3u3 + v 3 = −q.(18)Возводя обе части первого из уравнений в куб, имеемu3 v 3 = −p3,27u3 + v 3 = −q,и, следовательно, u3 и v 3 суть корни квадратного уравненияz 2 + qz −т. е.u=s3q− +2rq2p3+,427p3= 0,27v=s3q2− −4rq2p3+.427Окончательно, согласно формуле (16), найдемssrr33q2p3q2p3qq++ − −+.x= − +24272427(19)(20)Эта формула для решения кубического уравнения (14) носит название формулы Кардана — итальянского математика XVI столетия.Обозначим для краткости через R1 и R2 выражения, стоящие подзнаком кубических корней в формуле (20):√√x = 3 R1 + 3 R2 .Каждый из кубических корней имеет три различных значения [175],так что написанная формула даст, вообще говоря, девять различных значений x, и только три из них будут корнями уравнения (14).
Посторонние значения x получились вследствие того, что мы возводили первоеиз уравнений (18) в третью степень. Для нас могут подойти лишь тезначения, для коих u и v связаны первым из соотношений (18), т. е. вформуле (20) мы должны брать толькоте значения корней кубических,произведение которых равно − p3 .Обозначим буквою ε одно из значений кубического корня из единицы:√312π2π+ i sin=− +i,ε = cos3322√134π4π+ i sin=− −i,ε2 = cos3322192]§ 18. Основные свойства целых многочленов.
. .585√√и пусть 3 R1 и 3 R2 — какие-либо значения корней, удовлетворяющиеуказанному выше условию. Умножая их на ε и ε2 , получим все три значения корня [175].Принимая во внимание, что ε3 = 1, получим следующее выражениедля корней уравнения (14), считая p и q — любыми комплексными:√√√√√√x1 = 3 R1 + 3 R2 , x2 = ε 3 R1 + ε2 3 R2 , x3 = ε2 3 R1 + ε 3 R2 . (21)192. Решение кубического уравнения в тригонометрическойформе. Положим, что коэффициенты p и q уравнения (14) — числа вещественные.
Формула Кардана, как мы уже упоминали, неудобна длявычисления корней, и мы выведем более практичные формулы. Рассмотрим отдельно четыре случая.p3q2+< 0.I.427Из написанного следует, что p < 0. Подкоренные выражения R1 и R2 вформуле (20) будут комплексными, но, несмотря на это, все три корняуравнения будут, как известно, вещественными [191]. Положимrrq2p3qq2p3q+=− ±i − −= r(cos ϕ ± i sin ϕ),− ±24272427откуда [171]rp3q, cos ϕ = − .272rСогласно формуле Кардана, имеем√ϕ + 2kπϕ + 2kπ+ i sin+x = 3 r cos33√ϕ + 2kπϕ + 2kπ+ 3 r cos− i sin(k = 0, 1, 2).33r=−(22)Принимая в обоих слагаемых равные значения дляk, получим для произ√3ведения этих слагаемых положительное число: r 2 = − p3 .
Окончательнобудем иметь√ϕ + 2kπ(k = 0, 1, 2),x = 2 3 rcos(23)3где r и ϕ определяются по формуле (22), причем нетрудно показать, чтоесли мы возьмем различные ϕ, удовлетворяющие второму из уравнений(22), то получим одинаковый набор корней по формуле (23).586Гл. VI.
Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[192q2p3+> 0 и p < 0.427Уравнение (14) имеет один вещественный корень и два комплексных со23пряженных [191], причем из написанного следует, что − p27 < q4 . Введемвспомогательный угол ω, полагаяrp3q−= sin ω(241 )272II.Это даст намsrrrr3q2qp3qqpω− ++= 3 − + cos ω = − − 3 tg ,24272232srrrr3qp3qqpωq2− −+= 3 − − cos ω = − − 3 ctg ,24272232ибо, в силу (241 ),r−p=3Вводя, наконец, угол ϕ по формулеtg ϕ =rqsin ω2rtg33ω,2(242 )получим следующее выражение для вещественного корня:pr2 − p3p.x1 = − − ( tg ϕ + ctg ϕ) = −3sin 2ϕ(251 )Предлагаем читателю, пользуясь формулой (21), показать, что мнимые корни будут иметь выражения:p p−3√± i −p ctg 2ϕ.(252 )sin 2ϕIII.p3q2+>0427иp > 0.В этом случае, как и в предыдущем, уравнение (14) будет qиметь одинвещественный корень и два мнимых сопряженных. При этомp327может192]§ 18.
Основные свойства целых многочленов. . .587 быть и меньше и больше, чем q2 , и мы вместо формулы (241 ) введем уголω следующим образом:rp3q= tg ω(261 )272Это даетssrr r2 ω33 q sinqp3ωq2p 32− ++==tg ,2427cos ω32srrr rq cos2 ω23qq2p3p 3ω3− −+= −=− ctg .2427cos ω32Вводя новый угол ϕ по формулеrω(262 )tg ϕ = 3 tg ,2окончательно будем иметьrrpp( tg ϕ − ctg ϕ) = −2ctg 2ϕ.x1 =(271 )33Мнимые корни будутr√i ppctg 2ϕ ±.3sin 2ϕ(272 )p3q2+= 0.427Уравнение (14) имеет кратный корень, и в этом случае, как и в случаеp = 0, решение уравнения не представляет никаких затруднений.Пользуясь выведенными тригонометрическими формулами, можнопри помощи таблицы логарифмов вычислить корни кубического уравнения с большой степенью точности.IV.П р и м е р 1.x3 + 9x2 + 23x + 14 = 0.Полагая x = y − 3, приведем уравнение к видуy 3 − 4y − 1 = 0,и это уравнение имеет три вещественных корня [191].
Формулы (22) даютcos ϕ, и, находя самый угол ϕ, определяем корни по формулам (23):588Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .√27,16cos ϕ =[193lg cos ϕ = 1, 51156ϕ = 71◦ 2′ 56′′ϕ3ϕ+360◦= 143◦ 40′ 59′′ ;3ϕ+720◦= 263◦ 40′ 59′′34lg √ = 0, 363503= 23◦ 40′ 59′′ ,lg y1 = 0, 32529,lg(−y3 ) = 1, 40501lg(−y2 ) = 0, 26970,y1 = 2, 1149,y2 = −1, 8608,x1 = −0, 8851,П р и м е р 2.y3 = −0, 2541x2 = −4, 8608,x3 = −3, 2541x3 − 3x + 5 = 0.Определяем угол ω по формуле (241 ) и угол ϕ — по формуле (242 ) и затемвычисляем корни по формулам (251 ) и (252 ):lg sin ω = 1, 60206,ω = 23◦ 34′ 11′′ ,lg tg ϕ = 1, 77318,30◦ 40′ 31′′ ,lglg√1sin 2ϕϕ== 0, 05672,−p ctg 2ϕ = 1, 97602,x1 = −2, 2790,x2 ,1sin 2ϕ√ω2= 11◦ 47′ 20′′2ϕ = 61◦ 21′ 02′′= 1, 11395−p ctg 2ϕ = 0, 94628x3 = 1, 1395 ± 0, 94628i193. Способ итерации. Во многих случаях, имея приближенноезначение x0 искомого корня ξ с небольшим числом десятичных знаков,удобно улучшать это приближенное значение корня.
Одним из способов такого исправления приближенного значения корня является способитерации, или способ последовательных приближений. Этот способ, каквыяснится из дальнейшего, годится не только для алгебраического, но идля трансцендентных уравнений.Положим, что уравнениеf (x) = 0(28)f1 (x) = f2 (x),(29)мы переписали в виде193]§ 18. Основные свойства целых многочленов. .
.589причем f1 (x) таково, что уравнениеf1 (x) = mпри любом вещественном m имеет один вещественный корень, которыйлегко вычислить с большой степенью точности. Вычисление корня уравнения (29) при помощи метода итерации состоит в следующем: подставляя приближенное значение x0 искомого корня в правую часть уравнения(29), определяем второе приближение x1 к искомому корню из уравненияf1 (x) = f2 (x0 ).Подставляя x1 в правую часть (29) для следующего приближенияx2 , решаем уравнение f1 (x) = f2 (x1 ) и т. д. Таким образом определитсяпоследовательность значенийx0 ,x1 ,x2 ,...,xn , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
