1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 80
Текст из файла (страница 80)
172), а через S0 площадь всего кругаРис. 172.Рис. 173.(S0 = πa2 ), то, очевидно,t = 2πS.S0546Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[178Пусть теперь S обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеемS = пл.1OM N − пл. AM N = xy −2Zaydx =xaZ p1 px2 − a2 dx.= x x2 − a2 −2xВычисляя интеграл по формуле из [92], находим:S=ixp1h p 21 p 2x x − a2 −x x − a2 − a2 log(x + x2 − a2 ) =22a!r21 2xx= a log+−1 .2aa2Если теперь, обозначая опять через S0 площадь круга, положим!rx2Sx= log+−1 ,t = 2πS0aa2то найдем без трудаe−t =xarx2− 1,a2r1xx2q= −− 1,∗2aax2+ a2 − 1xe = +atоткуда, складывая почленно и умножая наx=∗a2:a t(e + e−t ) = acht,2Числитель и знаменатель домножили наформулой разности квадратов в знаменателе.xa−qx2a2− 1 и воспользовались178]§ 17.
Комплексные числаy=547ppx2 − a2 = a2 ch2 t − a2 = asht,т. е. мы и получаем параметрическое представление равнобочнойгиперболы.178. Цепная линия. Исследуем кривую провисания гибкой однородной тяжелой нити, подвешенной на концах A1 и A2 (рис. 174).В плоскости этой кривой направим ось OX горизонтально, ось OYвертикально вверх. Выделим элементы M M1 = ds нити.
На каждый изних действуют натяжения T и T1 от оставшихся частей нити и вес элемента. Натяжения приложены в концах M и M1 элемента и направлены покасательным (причем T — по отрицательному, T1 — по положительномунаправлению касательной). Вес мы можем принять пропорциональнымдлине элементаdp = ρds,где ρ — линейная плотность нити (вес погонной единицы длины).Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулюсумма проекций, действующих на элемент сил как на горизонтальное,так и на вертикальное направление. Так как проекция веса элемента dsна горизонтальное направление равна нулю, то горизонтальные составляющие сил T и T1 должны быть равны по величине и противоположныпо знаку.
Обозначим через T0 общую величину их горизонтальной составляющей.Рис. 174.548Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[178Далее, из чертежа мы получаем для вертикальных составляющихнатяжений соответственно выражения−T0 tg α = −T0 y ′T0 tg (α + dα) = T0 (y ′ + dy ′ ).иЗдесь dα — прирост угла α, образованного касательной с осью OX,при перемещении из точки M в точку M1 , и dy ′ — соответствующее приращение углового коэффициента касательной, т. е. величины tgα.Приравнивая нулю сумму проекций T , T1 и силы веса ρds на ось OY ,получимT0 (y ′ + dy ′ ) − T0 y ′ − ρds = 0,то естьT0 dy ′ = ρds,что можно написать так:T0 dy ′ = ρp1 + y ′2 dx.(25)Переменные здесь разделяются [93]:pdxdy ′=,k1 + y ′2гдеk=T0;ρзаметим, что k есть постоянная, прямо пропорциональная горизонтальной составляющей натяжения и обратно пропорциональная линейнойплотности нити. Интегрируем полученное уравнениеlog(y ′ +откудаe′px+C1k1 + y ′2 ) == y′ +px + C1,k1 + y ′2 ;чтобы определить y , введем обратную величинуe−x+C1k=p1p= 1 + y ′2 − y ′ .y ′ + 1 + y ′2Вычитая почленно это равенство из предыдущего, находимx+C1 11 x+Ce h − e− k.y′ =2Интегрируя еще раз, получим уравнение искомой кривой нитиx+C1 1k x+Ce k + e− k.(26)y + C2 =2178]§ 17.
Комплексные числа549Произвольные постоянные C1 и C2 определяются из условия, что кривая проходит через точки A1 (a1 , b1 ) и A2 (a2 , b2 ). Однако в приложенияхнаибольший интерес представляет не само уравнение кривой провисания, т. е. постоянные C1 и C2 , а соотношение между горизонтальным ивертикальным расстояниями точек подвеса и длиной дуги A1 A2 .При исследовании зависимости между этими тремя величинами мыможем, конечно, совершить параллельный перенос координатных осей.Поместив начало в точку (−C1 , −C2 ), мы можем считать, что в уравнении (26) C1 = C2 = 0, и это уравнение заменится более простымxxk kxe + e− k = kch ,(261 )y=2kоткуда ясно, что кривая провисания есть цепная линия.Пусть при указанном выборе координатных осей точка подвеса A1имеет координаты (a1 , b1 ) и A2 — координаты (a2 , b2 ). Обозначив через l,h, s горизонтальное и вертикальное расстояния точек подвеса и длинунити, будем иметь aa1 2− ch,l = a2 − a1 , h = b2 − b1 = k chkkaaa222rZ pZZ axxa1 2s=1 + y ′2 dx =1 + sh2 dx = ch dx = k sh− sh.kkkka1a1a1По формулам (24) находимla2 + a1a2 + a1 a2 − a1sh= 2k sh sh,2k2k2k2ka2 − a1 a2 + a1la2 + a1s = 2k shch= 2k sh ch,2k2k2k2kh = 2k shоткуда на основании первого из соотношений (23)s2 − h2 = 4k2 sh2l,2kчто и дает искомую зависимость между l, h и s.
Ее можно переписать вследующей форме:√lsh 2ks2 − h2.(27)=ll2kЕсли точки подвеса и длина нити заданы, то величины l, h и s известны и мы получаем уравнение для определения параметра k, или если линейная плотность ρ нити также известна, то уравнение (27) может550Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[178служить для определения горизонтальной составляющей натяжения T0 .Положим для сокращения письма:√s2 − h2l= ξ,= c.2klУравнение (27) превратится вshξ= c.ξ(271 )Вспомнив разложение показательной функции в степенной ряд [129],найдемeξ − e−ξξ4ξ6shξξ2==1++++ ...,ξ2ξ3!5!7!откуда видно, что при возрастании ξ от 0 до +∞ отношение также постоянно возрастает от 1 до +∞.
Стало быть, при всяком заданном значенииc > 1 уравнение (271 ) имеет один положительный корень, который можно вычислить, пользуясь таблицами гиперболических функций18 . Данные величины l, h и s должны при этом удовлетворять условиюc=√s2 − h2>1lилиs2 > h2 + l2 ,которое очевидно и√ из геометрических соображений, так как h2 + l2 есть хорда A1 A2 ,а s — дуга цепной линии между теми же точками.Пусть, например,s = 100 м,Рис. 175.l = 50 м, h = 20 м, ρ = 20 кг/м,мы получим√√c = 0, 02 10 000 − 400 = 0, 8 · 6 = 1, 96и по таблицам гиперболических функций найдем корень уравнения (271 ):ξ=18 Например,l= 2, 15,2kтаблицы Янке и Эмде.178]§ 17. Комплексные числа551откуда50lρ=· 20 = 232 кг.2ξ2 · 2, 15Пусть точки подвеса находятся на одинаковой высоте.
Исследуем стрелупровисания нити f (рис. 175):llllk 2kk 2ke + e− 2k − k =e + e− 2k − 2 .f = OA − OC =22T0 = kρ =Разлагая показательную функцию в ряд, получимf=1 l41 l2++ ...22! 2 · k4! 24 · k3(28)Точно так же будем иметь для s = дуге A1 A2 [формула (27) приh = 0]:s = 2ksh ll1 l51 l3l= k e 2k − e− 2k = l +++ ...222k3! 2 · k5! 24 · k4(29)Ограничиваясь в ряде (28) одним слагаемым, определим приближенно k:l2.k≈8fВ разложении (29) удержим первые два слагаемых и подставим найденное для k выражение8 f2.s≈l+3 lДифференцируя это соотношение, получим зависимость между удлинением нити и увеличением стрелы провисания:ds ≈16 f df,3 lилиdf ≈3lds.16fУравнение (25) было нами получено в предположении, что на всякийэлемент нити действует сила тяжести, пропорциональная длине элемента. В некоторых случаях, например при рассмотрении цепей висячих мостов, эту силу тяжести надо считать пропорциональной длине не самогоэлемента, но его проекции на горизонтальную ось.
Это случится тогда,когда нагрузка от настила моста настолько велика по сравнению с собственным весом цепи, что последней можно пренебречь. В этом случаевместо уравнения (25) будем иметьT0 dy ′ = ρdx,552Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .откудаy′ =[178ρx + C1T0иρ 2x + C1 x + C2 ,2T0т. е. кривая провисания будет параболой.y=Положим, что концы нити A1 и A2находятся на одинаковой высоте, и поместим начало координат в вершину параболы (рис. 176), так что уравнение ее будетy = αx2α=ρ.2T0Как и выше, определим длину пролета l =A1 A2 и стрелу прогиба f = OA. Из уравнения параболы получимРис. 176.f =αl2,4откудаα=4f.l2Вычислим длину дуги A1 A2 , равную удвоенной дуге OA2 :ls=2Z2 p1 + 4α2 x2 dx.0По формуле бинома Ньютона имеемp1 + 4α2 x2 = (1 + 4α2 x2 )1/2= 1 + 2α2 x2 − 2α4 x4 + . .
.и интегрируя, находим разложение для s:s=l+1 451 23α l −α l + ...640Подставим вместо α найденное выше его выражение:s=l+8f3 l2l−325 4f32 48ε + ... ,l + . . . = l 1 + ε2 −l35179]§ 17. Комплексные числа553где ε = fl . Ограничиваясь в написанном разложении двумя первымислагаемыми, получим приближенную формулуs≈l+8 f2,3 lсовпадающую с аналогичной формулой для цепной линии.179. Логарифмирование. Натуральным логарифмом комплексного числа r(cos ϕ+i sin ϕ) называется показатель степени, вкоторую надо возвести e, чтобы получить логарифмируемое число.
Обозначив натуральный логарифм символом Log, можем сказать, что равенствоLog[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = x + yiравносильно следующему:ex+yi = r(cos ϕ + i sin ϕ).Последнее равенство можно написать так:ex (cos y + i sin y) = r(cos ϕ + i sin ϕ),откуда, сравнивая модули и аргументы, получимex = r,y = ϕ + 2kπ(k = 0, ±1, ±2, . . .),то естьx = log rи x + yi = log r + (ϕ + 2kπ)iи окончательноLog[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = log r + (ϕ + 2kπ)i,(30)т.
е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифммодуля, а мнимая часть представляет собою произведение i наодно из значений аргумента.554Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[180Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует. Если мыподчиним значение аргумента неравенству−π < ϕ 6 π,k = 0,то получим так называемое главное значение логарифма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
