1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Всякий вектор M N плоскости может бытьпредставлен как сумма двух векторов M P и P N , параллельныхосям координат (рис. 168). Вектору M P , параллельному оси OX,соответствует некоторое вещественноечисло a. Вектору M P , параллельномуоси OY , пусть соответствует символ bi,где b — вещественное число, абсолютноезначение которого равно длине вектора P N и которое будет положительным, если направление P N совпадает с положительным направлением осиOY , и отрицательным, если направлеРис. 168.ние P N противоположно положительному направлению OY .
Таким образом, естественно, вектору M Nсопоставить комплексное число, имеющее видa + bi.Отметим тот факт, что знак (+) в написанном выражении a + biне есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как еди-170]§ 17. Комплексные числа525ный символ для обозначения комплексного числа. После определения сложения комплексных чисел мы вернемся к рассмотрениюэтого знака.Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора M N на координатные оси.Отложим от начала координат вектор OA (рис.
168), совпадающий по длине и направлению с вектором M N . Конец этого вектораA будет иметь координаты (a, b), и этой точке A мы можем сопоставить то же комплексное число a + bi, что и векторам M N и OA.Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости)соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого векторана координатные оси (координатам рассматриваемой точки).Придавая в выражении a + bi буквам a и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел;a называется вещественной и bi — мнимой частью комплексногочисла.∗В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексноечисло совпадает со всей вещественной частью:a + 0i = a.(1)Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из ихгеометрической интерпретации.
Два вектора считаются равными,если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление,т. е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, апотому два комплексных числа считаются равными между собойтогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, т. е. условие равенства комплексных чиселбудетa1 + b 1 i = a2 + b 2 i∗равносильно a1 = a2 , b1 = b2 .(2)Часто мнимой частью комплексного числа называют только b, подчеркивая что и вещественная и мнимая части являются числами вещественными.Это позволяет говорить о комплексном числе, как об упорядоченной паре вещественных чисел.526Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[170В частности,a + bi = 0 равносильно a = 0; b = 0.Вместо того, чтобы определить вектор M N его проекциями a и bна координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиною r и углом ϕ, который направлениеM N образует с положительным направлением оси OX (рис. 168).Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствуетточке с координатами (a, b)), то r и ϕ будут, очевидно, полярнымикоординатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения:pa = r cos ϕ, b = r sin ϕ, r = a2 + b2 ,(3)abb.cos ϕ = √, sin ϕ = √, ϕ = arctg 2222aa +ba +bПоложительное число r называется модулем, ϕ — аргументомкомплексного числа a + bi.
Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного 2π, так как всякий вектор M N совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полныхоборотов в ту или иную сторону вокруг точки M . В случае r = 0комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно неопределенен.
Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументымогут отличаться лишь слагаемым, кратным 2π.Вещественное число имеет аргумент 2kπ, если оно положительное, и (2k + 1)π, если оно отрицательное, где k — любое целое число.Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым.
Соответствующий такому числу вектор параллеленоси OY , и аргументчисто мнимого числа bi равен π2 + 2kπ , если b > 0, и 3π2 + 2kπ ,если b < 0.Модуль вещественного числа совпадает с его абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число междудвумя вертикальными чертами:p|a + bi| = a2 + b2 .171]§ 17.
Комплексные числа527В дальнейшем мы будем часто обозначать комплексное числоодной буквой.∗ Если α есть комплексное число, то его модуль будетобозначаться символом |α|. Пользуясь выражением (3) для a и b,можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент ввидеr(cos ϕ + i sin ϕ).В этом случае говорят, что комплексное число написано в тригонометрической форме.171. Сложение и вычитание комплексных чисел.
Сумма векторов представляет собою замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, чтопроекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мыприходим к следующему определению сложения комплексных чисел:(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) + . . . + (an + bn i) == (a1 + a2 + . . . + an ) + (b1 + b2 + . . .
+ bn )i. (4)Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можнообъединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел ak и сумма вещественныхчисел bk .Как мы упоминали выше, комплексное число a + 0i отождествляется с вещественным числом a. Точно так же число 0 + bi записывают просто в виде bi (чисто мнимое число). Пользуясь определением сложения, мы можем утверждать, что комплексное числоa + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi,то есть a + b = (a + 0i) + (0 + bi).Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.
е.разностьx + yi = (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i)∗ В современных учебниках комплексные числа обычно обозначаются буквой z.528Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[171определяется из условия(x + yi) + (a2 + b2 i) = a1 + b1 i,или, в силу (4) и (2): x + a2 = a1 ; y + b2 = b1 , т. е. x = a1 − a2 ,y = b1 − b2 , и окончательно получаем(a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i.(5)Вычитание комплексного числа (a2 + b2 i), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a1 + b1 i) и комплексного числа(−a2 − b2 i). Это соответствует следующему: вычитание векторовсводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, по направлению ему противоположным.Рассмотрим вектор A2 A1 , начальнойточке A2 которого соответствует комплексное число a2 + b2 i и концу A1 —число a1 +b1 i. Этот вектор представляетсобой, очевидно, разность векторов OA1и OA2 (рис. 169) и, следовательно, емусоответствует комплексное число(a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i,Рис.
169.равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим (рис. 170)|α1 + α2 | 6 |α1 | + |α2 |,причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы,Рис. 170.172]§ 17. Комплексные числа529соответствующие комплексным числам α1 и α2 имеют одинаковоенаправление, т. е.
когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π. Доказанное свойство имеет, очевидно, местои в случае любого числа слагаемых:|α1 + α2 + . . . + αn | 6 |α1 | + |α2 | + . . . + |αn |,т. е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых,причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когдааргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2π.Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать|α1 + α2 | > |α1 | − |α2 |,т.
е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в томслучае, когда направления соответствующих векторов противоположны.Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как этомы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь (рис. 170)|α1 | − |α2 | 6 |α1 − α2 | 6 |α1 | + |α2 |.172. Умножение комплексных чисел. Произведение двухкомплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается какчисло, составленное из множимого, как множитель составлен изединицы.
Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем r и аргументом ϕ, может быть получен из единичного вектора,длина которого равна единице и направление которого совпадаетс положительным направлением оси OX, путем его удлинения в rраз и поворота в положительном направлении на угол ϕ.Произведением некоторого вектора a1 на вектор a2 назовем вектор, который получится, если к вектору a1 применить вышеуказанные удлинения и поворот, при помощи которых вектор a2 получается из единичного вектора, причем последнему соответствует,очевидно, вещественная единица.530Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[172Если (r1 , ϕ1 ), (r2 , ϕ2 ) суть модули и аргументы комплексныхчисел, соответствующих векторам a1 и a2 , то произведению этихвекторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем r1 r2 и аргументом (ϕ1 + ϕ2 ). Мы приходим, таким образом,к следующему определению произведения комплексных чисел:Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент — сумме аргументов сомножителей.Таким образом, в том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметьr1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + isinϕ2 ) == r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )].
(6)Выведем теперь правило составления произведения для тогослучая, когда комплексные числа даны не в тригонометрическойформе:(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = x + yi.Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументовсомножителей, можем написатьa1 = r1 cos ϕ1 ,b1 = r1 sin ϕ1 ,a2 = r2 cos ϕ2 ,b2 = r2 sin ϕ2 ;согласно определению умножения (6):x = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ),y = r1 r2 sin(ϕ1 + ϕ2 ),откудаx = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) == r1 cos ϕ1 · r2 cos ϕ2 − r1 sin ϕ1 · r2 sin ϕ2 = a1 a2 − b1 b2 ,y = r1 r2 (sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ) = r1 sin ϕ1 · r2 cos ϕ2 ++ r1 cos ϕ1 · r2 sin ϕ2 = b1 a2 + a1 b2 ,и окончательно получим∗(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (b1 a2 + a1 b2 )i.∗(7)Можно было задать эту формулу как правило умножения комплексныхчисел по определению.172]§ 17. Комплексные числа531В случае b1 = b2 = 0 сомножители являются вещественнымичислами a1 и a2 и произведение приводится к произведению a1 a2этих чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
