1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В случае a1 = a2 = 0 и b1 = b2 = 1 равенство (7) даетi · i = i2 = −1,т. е. квадрат мнимой единицы равен (−1).Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получимi2 = −1,i3 = −i,i4 = 1,i5 = i,i6 = −1, . . .и вообще, при всяком целом положительном k:i4k = 1,i4k+1 = i,i4k+2 = −1,i4k+3 = −i.Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i2 = −1.Если α есть комплексное число a+bi, то комплексное число a−biназывается сопряженным с α, и его обозначают через α.
Согласноформулам (3) имеем |α|2 = a2 + b2 .Но из равенства (7) вытекает(a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ,а следовательно,|α|2 = (a + bi)(a − bi) = αα,т. е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадратумодуля каждого из них.Отметим еще очевидные формулыα + α = 2a,α − α = 2bi.(8)Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону,т.
е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение — от532Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[173порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:(α1 + α2 ) + α3 = α1 + (α2 + α3 ), (α1 α2 )α3 = α1 (α2 α3 ),(α1 + α2 )β = α1 β + α2 β.Предоставляем сделать это читателю.Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителейбудет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулютогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.173.
Деление комплексных чисел. Деление комплексныхчисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если (r1 , ϕ1 ) — модуль и аргумент делимого, а (r2 , ϕ2 ) — модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеетодин определенный результат, если делитель отличен от нуля, ичто модуль частного будет rr21 , а аргумент его (ϕ1 − ϕ2 ). Обозначаячастное в виде дроби, можем написатьr1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )r1= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )].r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )r2(9)Итак, модуль частного равен частному модулей делимого иделителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Если r2 = 0, то формула (9) теряет смысл.Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме,а в виде a1 + b1 i и a2 + b2 i, то, выражая в формуле (9) модули иаргументы через a1 , a2 , b1 , b2 , получим следующее выражение длячастного:b 1 a2 − a1 b 2a1 a2 + b 1 b 2a1 + b 1 i+i,=22a1 + b 2 ia2 + b 2a22 + b22которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменатель на комплекс-174]§ 17.
Комплексные числа533ное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе(a1 + b1 i)(a2 − b2 i)(a1 a2 + b1 b2 ) + (b1 a2 − a1 b2 )ia1 + b 1 i==,a2 + b 2 ia22 + b22a22 + b22и окончательно,a1 a2 + b 1 b 2b 1 a2 − a1 b 2a1 + b 1 i=+i.22a2 + b 2 ia2 + b 2a22 + b22(10)Раньше [172] мы указали на то, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и присложении и умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливымивсе те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам.
Сюда относятся, например: правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона вслучае целого положительного показателя, формулы, относящиесяк прогрессиям, и т. д.Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащихкомплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.Из формул (4), (5), (7) и (10) непосредственно вытекает следующеепредложение: если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными.Так, например, заменяя в формуле (7) b1 и b2 на (−b1 ) и (−b2 ),получим(a1 − b1 i)(a2 − b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) − (b1 a2 + a1 b2 )i.Указанное свойство будет, очевидно, справедливым и для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.174.
Возвышение в степень. Применяя формулу (6) в случаеn равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень[r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ),(11)534Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[174т. е. для возвышения комплексного числа в целую положительнуюстепень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргументумножить на показатель степени.Полагая в формуле (11) r = 1, получаем формулу Моавра(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.(12)П р и м е р ы. 1. Разлагая левую часть равенства (12) по формуле бинома Ньютона и приравнивая вещественные и мнимые части согласноусловию (2), получим выражения для cos nϕ и sin nϕ через степени cos ϕи sin ϕ 17 :n−2cos nϕ = cosn ϕ − (nϕ sin2 ϕ+2 ) cosn−4n−2k+ (nϕ sin4 ϕ + .
. . + (−1)k (nϕ sin2k ϕ+4 ) cos2k ) cosn+... +ր (−1) 2 sinn ϕց (−1)n−12(n − четное)n cos ϕ sinn−1 ϕ(13)(n − нечетное);n−1n−3n−5sin nϕ = (nϕ sin ϕ−(nϕ sin3 ϕ+(nϕ sin5 ϕ − . . . +1 ) cos3 ) cos5 ) cosn−2k−1+(−1)k (nϕ sin2k+1 ϕ+. . .+2k+1 ) cos+... +ր (−1)ց (−1)n−22n−12n cos ϕ sinn−1 ϕnsin ϕ(n − четное)(n − нечетное).В частности, при n = 3 формула (12) после раскрытия скобок будетиметь видcos3 ϕ + 3i cos2 ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ − i sin3 ϕ = cos 3ϕ + i sin 3ϕ,откудаcos 3ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ,sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ.17 Символом (n ) мы обозначаем число сочетаний из n элементов по m, тоmесть(nm) =n(n − 1) .
. . (n − m + 1)n!=.1 · 2...mm!(n − m)!174]§ 17. Комплексные числа5352. Просуммируем выраженияAn = 1 + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . . . + r n−1 cos (n − 1)ϕ,Bn = r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . . . + r n−1 sin (n − 1)ϕ.Положимz = r(cos ϕ + i sin ϕ)и составим комплексное числоAn + Bn i = 1 + r(cos ϕ + i sin ϕ) + r 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + .
. . ++ r n−1 [cos(n − 1)ϕ + i sin(n − 1)ϕ].Пользуемся равенством (11) и формулой для суммы геометрической прогрессииAn + Bn i = 1 + z + z 2 + . . . + z n−1=1 − z n 1 − r n (cos ϕ + i sin ϕ)n==1−z1 − r(cos ϕ + i sin ϕ)(1 − r n cos nϕ) − ir n sin nϕ=.(1 − r cos ϕ) − ir sin ϕУмножая числитель и знаменатель последней дроби на величину (1−r cos ϕ) + ir sin ϕ, сопряженную со знаменателем, получимAn + Bn i =[(1 − r n cos nϕ) − ir n sin nϕ][(1 − r cos ϕ) + ir sin ϕ]=(1 − r cos ϕ)2 + r 2 sin2 ϕ(1 − r n cos nϕ)(1 − r cos ϕ) + r n+1 sin ϕ sin nϕ+r 2 − 2r cos ϕ + 1(1 − r n cos nϕ)r sin ϕ − 1(1 − r cos ϕ)r n sin nϕ+i=r 2 − 2r cos ϕ + 1r n+1 cos(n − 1)ϕ − r n cos nϕ − r cos ϕ + 1+=r 2 − 2r cos ϕ + 1r n+1 sin(n − 1)ϕ − r n sin nϕ + r cos ϕ+i.r 2 − 2r cos ϕ + 1=Приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), будемиметьAn = 1 + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . .
. + r n−1 cos(n − 1)ϕ ==r n+1 cos(n − 1)ϕ − r n cos nϕ − r cos ϕ + 1,r 2 − 2r cos ϕ + 1536Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[175Bn = r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . . . + r n−1 sin(n − 1)ϕ ==r n+1 sin(n − 1)ϕ − r n sin nϕ + r sin ϕ.r 2 − 2r cos ϕ + 1Считая, что абсолютное значение вещественного числа r меньше единицы, и беспредельно увеличивая n, получим в пределе суммы бесконечных рядов1 − r cos ϕ,1 + r cos ϕ + r 2 cos 2ϕ + . . . = 2r − 2r cos ϕ + 1 (14)r sin ϕ.r sin ϕ + r 2 sin 2ϕ + . .
. = 2r − 2r cos ϕ + 1В выражениях An и Bn положим r = 1, тогда получимcos(n−1)ϕ−cos nϕ−cos ϕ+11 + cos ϕ + cos 2ϕ + . . . + cos(n − 1)ϕ ==2(1−cos ϕ)sin n − 12 ϕ + sin ϕ22 sin ϕ2 sin n − 12 ϕ + 2 sin2 ϕ2===2 ϕ2 sin ϕ24 sin 2=sincos (n−1)ϕ2.sin ϕ2nϕ2(151 )Аналогичным образом получимsin ϕ + sin 2ϕ + .
. . + sin(n − 1)ϕ =sinsin (n−1)ϕ2.sin ϕ2nϕ2(152 )175. Извлечение корня. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.Таким образом, равенствоpnr(cos ϕ + i sin ϕ) = ρ(cos ψ + i sin ψ)равносильно равенствуρn (cos nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).175]§ 17. Комплексные числа537Но у равных комплексных чисел должны быть равны и аргументымогут отличаться лишь кратным 2π, т. е.ρn = r,откуда√nr,nψ = ϕ + 2kπ,ϕ + 2kπ,n√где n r есть арифметическое значение корня и k — любое целое число.
Таким образом, мы получаемp√ϕ + 2kπϕ + 2kπn+ i sin,(16)r(cos ϕ + i sin ϕ) = n r cosnnρ=ψ=т. е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.В формуле (16) число k может принимать всевозможные целыезначения; однако можно показать, что различных значений корнябудет только n, и она будут соответствовать значениямk = 0, 1, 2, . .
. ,(n − 1).(17)Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16)будут различными при двух различных значениях k = k1 и k = k21π2πи ϕ+2kотличаются не кратнымтогда, когда аргументы ϕ+2knn2π, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаютсякратным 2π.Но разность (k1 − k2 ) двух чисел из ряда (17) по абсолютномузначению меньше n, а потому разностьϕ + 2k2 πk1 − k2ϕ + 2k1 π−=2πnnnне может быть кратна 2π, т.
е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.Пусть теперь k2 — целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его ввидеk2 = qn + k1 ,538Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
