1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 79

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 79)

.[175где q — целое число и k1 — одно из чисел ряда (17), а потомуϕ + 2k1 πϕ + 2k2 π=+ 2πq,nnт. е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1 , заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени изкомплексного числа имеет n различных значений.Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т. е. r = 0.

В этом случаевсе указанные выше значения корня равны нулю.П р и м е р ы. 1. Определим все значенияи аргумент π2 , а потому√3i=r3cosππ+ i sin = cos22π2√3i. Модуль i равен единице+ 2kπ+ i sin3π2+ 2kπ(k = 0, 1, 2).3√Мы получаем следующие три значения для 3 i:√√3131ππ5π5πcos + i sin =+ i, cos+ i sin+=−+ i,662266223π3π+ i sin= −i.cos22√2. Рассмотрим все значения n 1, т. е. все решения двучленного уравненияz n = 1.Модуль единицы равен единице и аргумент — нулю, а потому√n1=√ncos 0 + i sin 0 = cos2kπ2kπ+ i sin(k = 0, 1, 2, .

. . , n − 1).nnОбозначим буквой ε то значение этого корня, которое получается приk = 1:2π2π+ i sin.ε = cosnnСогласно формуле Моавра:εk = cos2kπ2kπ+ i sin,nn176]§ 17. Комплексные числа539т. е. все корни уравнения z n = 1 имеют видεk (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1),причем надо считать ε0 = 1.Рассмотрим теперь двучленное уравнение видаzn = aВместо z введем новое неизвестное u, полагая√z = u n a,√где n a есть одно из значений корня n-й степени из a.

Подставляя выражение для z в данное уравнение, получим для u уравнениеun = 1.Отсюда видно, что все корни уравнения z n = a могут быть представлены в виде√naεk (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1),√nгде a — одно из n значений этого корня и εk принимает все значениякорня n-й степени из единицы.176. Показательная функция. Мы рассматривали раньшепоказательную функцию ex в случае вещественного показателяx.

Обобщим теперь понятие о показательной функции на случайлюбого комплексного показателя. При вещественном показателефункция ex может быть представлена в виде ряда [129]ex = 1 +x2x3x+++ ...1!2!3!Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т. е. положимeyi = 1 +(yi)3yi (yi)2+++ ...1!2!3!Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюдаy4y6y3y5y7y2yyi+−+ ... + i−+−+ ... ,e = 1−2!4!61!357!540Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[176откуда, вспомнив разложения cos y и sin y в ряд [130], получаемeyi = cos y + i sin y.(18)Эта формула и определяет показательную функцию при чистомнимом показателе.

Заменяя y на (−y):e−yi = cos y − i sin y(19)и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получимформулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции черезпоказательные с чисто мнимым показателем:cos y =eyi + e−yi,2sin y =eyi − e−yi.2i(20)Формула (18) дает новую показательную форму комплексногочисла, имеющего модуль r и аргумент ϕ:r(cos ϕ + i sin ϕ) = reϕi .Показательную функцию при любом комплексном показателеx + yi определяем формулойex+yi = ex · eyi = ex (cos y + i sin y),(21)т. е. модуль числа ex+yi будем считать равным ex , а аргументравным y.Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении.

Пусть z = x + yi иz1 = x1 + y1 i:ez · ez1 = ex (cos y + i sin y) · ex1 (cos y1 + i sin y1 ),или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],ez · ez1 = ex+x1 [cos(y + y1 ) + i sin(y + y1 )].Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собоюe(x+x1 )+(y+y1 )i ,то есть ez+z1 .176]§ 17. Комплексные числа541Правило вычитая показателей при деленииez= ez−z1ez1может быть непосредственно проверено путем умножения частногона делитель.В случае целого положительного n будем иметь(ez )n = e|z ez{z. . . ez} = enz .n разПользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целуюположительную степень sin ϕ и cos ϕ, а также и произведение таковыхстепеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синусаили косинуса кратных дуг:sinm ϕ =(eϕi − e−ϕi )m,2m imcosm ϕ =(eϕi + e−ϕi )m.2m(22)Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательныефункции к тригонометрическим, согласно формулам (18) и (19), мы получаем искомое выражение.П р и м е р ы.

1.e4ϕi4e2ϕi64e−2ϕie−4ϕi(eϕi + e−ϕi )4=++++=1616161616164ϕi2ϕi−4ϕi−2ϕi1e1e331+e+e1=++ = + cos 2ϕ + cos 4ϕ.82228828cos4 ϕ =2.(eϕi − e−ϕi )4 (eϕi + e−ϕi )3·=168(e2ϕi − e−2ϕi )3 (eϕi − e−ϕi )==1286ϕi2ϕi−2ϕi−6ϕiϕi(e− 3e+ 3e−e)(e − e−ϕi==128sin4 ϕ cos3 ϕ =542Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.

. .[177e7ϕi − e5ϕi − 3e3ϕi + 3eϕi + 3e−ϕi − 3e−3ϕi − e−5ϕi + e−7ϕi=1283311=cos ϕ −cos 3ϕ −cos 5ϕ −cos 7ϕ.64646464Заметим при этом, что любая целая степень cos ϕ и четная степеньsin ϕ представляют собою четные функции ϕ, т. е. не меняют своей величины при замене ϕ на (−ϕ), и выражение таких четных функций ϕ будетсодержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетнаяфункция ϕ, т. е. если эта функция меняет знак при замене ϕ на (−ϕ),как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени sin ϕ, торазложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуг,и свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать.

Всеэти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложениитригонометрических рядов.=177. Тригонометрические и гиперболические функции.До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишьв случае вещественного аргумента. Определим тригонометрическиефункции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера:ezi − e−ziezi + e−zi, sin z =,cos z =22iпричем выражения, стоящие справа, при любом комплексном zимеют смысл, указанный в [176].Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливость формул тригонометрии в случае комплексного аргумента. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношенияsin2 z + cos2 z = 1,sin(z + z1 ) = sin z cos z1 + cos z sin z1 ,cos(z + z1 ) = cos z cos z1 − sin z sin z1 .Функции tg z и ctg z определяются по формулам1 ezi − e−zi1 e2zi − 1sin z= · zi·=,cos zi e + e−zii e2zi + 1ezi + e−zicos ze2zi + 1= i zictg z == i 2zi.−zisin ze −ee −1tg z =177]§ 17.

Комплексные числа543Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формуламshz =ez + e−zsin izez − e−z=, chz = cos iz =,i22ez − e−ze2z − 1chzthz == z=,shze + e−ze2z + 1ez + e−ze2z + 1chz= z= 2z.cthz =−zshze −ee −1Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например,следующие соотношения:ch2 z − sh2 z = 1,sh(z1 ± z2 ) = shz1 chz2 ± chz1 shz2 ,ch(z1 ± z2 ) = chz1 chz2 ± shz1 shz2 ,(23)sh2z = 2shzchz, ch2z = ch2 z + sh2 z, 2thz1 + cth2 z ,cht2z.=th2z =22chtz1 + th zТаким образом возникает гиперболическая тригонометрия сформулами, аналогичными формулам обычной тригонометриикруга.

Заменяя в формуле обычной тригонометрии sin z на i shz иcos z на chz, получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции.Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду:z1 + z2 z1 − z2 ch,shz1 + shz2 = 2sh22z1 − z2 z1 + z2 shz1 − shz2 = 2shch,22(24)z1 + z2 z1 − z2 chz1 + chz2 = 2chch,22z1 + z2 z1 − z2 chz1 − chz2 = 2shsh.22544Гл.

VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[177Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента:ex − e−xex + e−x, chx =,222x2xe −1e +1thx = 2x., cthx = 2xe +1e −1shx =График функции y = chxпредставляет собой цепнуюлинию [78], к более подробному изучению которой мыперейдем в [178]. Графикифункций chx, shx, thx, cthxизображены на рис. 171.Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных:Рис.

171.dshxdchx= chx,= shx,dxdx1dthx= 2 ,dxch xdcthx1=− 2 .dxsh xОтсюда получаем таблицу интегралов:Zshx dx = chx + C,Zchx dx = shx + C,Zdx2 = thx + C,chxZdx= −cthx + C.shx177]§ 17. Комплексные числа545Самое название «гиперболические функции» произошло вследствие того, что cht и sht играют ту же роль для параметрическогопредставления равнобочной гиперболыx2 − y 2 = a2 ,какую функции cos t и sin t — для окружностиx2 + y 2 = a2 .Параметрическое представление окружности естьx = a cos t,y = a sin t,равнобочной же гиперболыx = acht,y = asht,как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношенияch2 t − sh2 t = 1.Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково. Если мы обозначим через Sплощадь сектора AOM (рис.

Характеристики

Список файлов книги