1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 83
Текст из файла (страница 83)
. . + bn−2 z + bn−1(b0 = a0 );нахождение остальных корней приводит к решению уравненияb0 z n−1 + b1 z n−2 + . . . + bn−2 z + bn−1 = 0(n − 1)-й степени.Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ на следующийвопрос: имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни? В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнениеez = 0 (z = x + yi)185]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .569вовсе корней не имеет, так как модуль ex левой части ни при одном значении x в нуль не обращается. Но в случае алгебраическогоуравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительныйответ, который и заключается в следующей о с н о в н о й т е о р е м еа л г е б р ы: всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.Мы примем здесь эту теорему без доказательства.
В третьемтоме при изложении теории функций комплексной переменной мыдадим ее доказательство.185. Разложение многочлена на множители. Всякий многочленf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ,(2)согласно основной теореме, имеет корень z = z1 , а потому делитсяна (z − z1 ), и мы можем написать [184]f (z) = (z − z1 )(a0 z n−1 + . .
.).Второй множитель произведения, стоящего в правой части этогоравенства, имеет, согласно упомянутой основной теореме, кореньz = z2 , а потому делится на (z − z2 ). И мы можем написатьf (z) = (z − z1 )(z − z2 )(a0 z n−2 + . . .).Продолжая таким образом выделять множители первой степени, мы получим окончательно следующее разложение f (z) на множители:f (z) = a0 (z − z1 )(z − z2 ) .
. . (z − zn ),(3)т. е. всякий многочлен n-й степени разлагается на (n+1) множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные суть двучлены первой степени вида (z − a).При подстановке z = zs (s = 1, 2, . . . , n) по крайней мере одиниз множителей в разложении (3) обратится в нуль, т. е. значенияz = zs суть корни f (z).Любое значение z, отличное от всех zs , не может быть корнемf (z), так как при таком значении z ни одни из сомножителей вразложении (3) в нуль не обратится.570Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[185Если все числа zs различны между собой, то f (z) имеет ровно nразличных корней. Если среди чисел zs есть одинаковые, то числоразличных корней f (z) будет меньше n.Таким образом, мы можем высказать теорему: многочлен n-йстепени (или алгебраическое уравнение n-й степени) не можетиметь более n различных корней.Непосредственным следствием этой теоремы является следующее предложение: если известно, что некоторый многочлен степени не выше n имеет более n различных корней, то все коэффициенты этого многочлена и свободный член равны нулю, т. е.
этотмногочлен равен нулю тождественно.Положим, что значения двух многочленов f1 (z) и f2 (z) степенине выше n совпадают более чем при n различных значениях z. Ихразность f1 (z) − f2 (z) есть многочлен степени не выше n, имеющийболее n различных корней, а потому эта разность обращается тождественно в нуль и f1 (z) и f2 (z) имеют одинаковые коэффициенты.Если значения двух многочленов степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z, то все коэффициенты этихмногочленов и свободные члены одинаковы, т. е. эти многочленытождественно равны между собой.Это свойство многочленов лежит в основе так называемого метода неопределенных коэффициентов, которым мы в дальнейшембудем пользоваться.
Практически сущность этого метода сводитсяк тому, что из тождественного равенства двух многочленов вытекают равенства коэффициентов этих многочленов при одинаковыхстепенях z.Разложение (3) было нами получено путем выделения множителей первой степени из многочлена f (z) в определенном порядке.Покажем теперь, что окончательный вид разложения не зависитот того, каким образом мы выделяли указанные множители, т. е.что многочлен имеет единственное разложение на множителивида (3).Положим, что, кроме разложения (3), имеет место разложениеf (z) = b0 (z − z1′ )(z − z2′ ) . . .
(z − zn′ ).(31 )186]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .571Сравнивая эти два разложения, можем написать тождествоa0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ) = b0 (z − z1′ )(z − z2′ ) . . . (z − zn′ ).Левая часть этого тождества обращается в нуль при z = z1 ;следовательно, то же должно иметь место и по отношению к правойчасти, т. е. по крайней мере одно из чисел zk′ должно быть равнымz1 . Можно, например, считать, что z1′ = z1 . Сокращая обе частинаписанного тождества на (z − z1 ), получим равенствоa0 (z − z2 ) .
. . (z − zn ) = b0 (z − z2′ ) . . . (z − zn′ ),справедливое при всех значениях z, кроме, может быть, z = z1 .Но при этом, в силу доказанного выше предложения, это равенствотакже должно быть тождеством. Рассуждая так же, как и выше,докажем, что z2′ = z2 и т. д. и, наконец, что b0 = a0 , т. е. разложение(31 ) должно совпадать с разложением (3).186. Кратные корни. Среди чисел zs , входящих в разложение(3), могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые. Соединяяв разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можемнаписать его в видеf (z) = a0 (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 . .
. (z − zm )km ,(4)где числа z1 , z2 , . . . , zm различны иk1 + k2 + . . . + km = n.(5)Если в написанном таким образом разложении имеется множитель (z − zs )ks , то корень z = zs называют корнем кратности ks ивообще корень z = a многочлена f (z) называется корнем кратности k, если f (z) делится на (z − a)k и не делится на (z − a)k+1 .Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора.
Заметим прежде всего, чтоможем определить производные от многочлена f (z) по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной:f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + ak z n−k + . . . + an−1 z + an ;572Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[186f ′ (z) = na0 z n−1 +(n−1)a1z n−2 +. . .+(n−k)ak z n−k−1 +. . .+an−1 ;f ′′ (z) = n(n − 1)a0 z n−2 + (n − 1)(n − 2)a1 z n−3 + . . .. . .
+ (n − k)(n − k − 1)ak z n−k−2 + . . . + 2 · 1an−2 .∗.....................................................................Формула Тейлораf (z) = f (a) +(z − a)2 ′′z−a ′f (a) +f (a) + . . .1!2!(z − a)k (k)(z − a)n (n)f (a) + . . . +f (a) (6)...+k!n!представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы a и z, справедливое не только при вещественных,но и при комплексных значениях этих букв.Выведем теперь условие для того, чтобы z = a было корнем f (z)кратности k. Перепишем (6) в виде:1 (k)z − a (k+1)(z −a)n−k (n)f (a)+f (a) +f (z) = (z−a)f(a)+. . .+k!(k+1)!n!z−a ′(z − a)k−1 (k−1)+ f (a) +f (a) + . .
. +f(a) .1!(k − 1)!kМногочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степеньниже степени (z − a)k , и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении f (z) на(z − a)k . Для того, чтобы f (z) делилось на (z − a)k , необходимои достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю.Рассматривая его как многочлен относительно переменной (z − a),получаем следующее условие:f (a) = f ′ (a) = . . . = f (k−1) (a) = 0.(7)К этому условию мы должны еще добавить условие∗ Вообще говоря, дифференцирование функции комплексного переменного — вопрос для отдельного изучения и будет рассмотрен в следующих томах.187]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .f (k) (a) 6= 0,573(8)ибо если бы и f (k) (a) = 0, то f (z) делился бы не только на (z − a)k ,но и на (z − a)k+1 .
Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы z = a было корнемкратности k многочлена f (z).Положим ψ(z) = f ′ (z), следовательноψ ′ (z) = f ′′ (z), ψ ′′ (z) = f ′′′ (z), . . . , ψ (s−1) (z) = f (s) (z).Если z = a есть корень кратности k многочлена f (z), то, в силу (7)и (8):ψ(a) = ψ ′ (a) = . . .
= ψ (k−2) (a) = 0и ψ (k−1) (a) 6= 0,т. е. z = a будет корнем кратности (k − 1) для ψ(z) или, что то же,для f ′ (z), т. е. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности (k −1) для производной этого многочлена.Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будеткорнем кратности (k − 2) для второй производной, корнем кратности (k − 3) для третьей производной и т. д.
и, наконец, корнемпервой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной (k − 1)-го порядка.Таким образом, если для f (z) имеет место разложение′f (z) = a0 (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 . . . (z − zm )km ,(9)то для f (z) будем иметьf ′ (z) = (z − z1 )k1 −1 (z − z2 )k2 −1 . . .
(z − zm )km −1 ω(z),(10)где ω(z) — многочлен, не имеющей уже корней, общих с f (z).187. Правило Горнера. Укажем теперь практически удобное правило для вычисления значений f (z) и производных при заданном значении z = a.Пусть при делении f (z) на (z − a) получается частное f1 (z) и остатокr1 , при делении f1 (z) на (z − a) — частное f2 (z) и остаток r2 и т.
д.:f (z) = (z − a)f1 (z) + r1 ,r1 = f (a),574Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .f1 (z) = (z − a)f2 (z) + r2 ,f2 (z) = (z − a)f3 (z) + r3 ,[187r2 = f1 (a),r3 = f2 (a),.................................Перепишем формулу (6) в виде:f (z) = f (a)+(z − a)f (n) (a)f ′ (a) f ′′ (a)+(z − a) + . . . +(z − a)n−1 .12!n!Сравнивая эту формулу с первым из написанных выше равенств, получимf1 (z) =f ′′ (a)f ′ (a)f (n) (a)+(z − a) + .
. . +(z − a)n−1 , r1 = f (a).12!n!Поступая точно так же с f1 (z), найдем:f ′′′ (a)f (n) (a)f ′ (a)f ′′ (a)+(z − a) + . . . +(z − a)n−2 , r2 =,2!3!n!1f2 (z) =и, вообще,rk+1 =f (k) (a)k!(k = 1, 2, . . . , n).Положим теперьf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ,f1 (z) = b0 z n−1 + b1 z n−2 + . . . + bn−2 z + bn−1 , bn = r1и покажем, каким образом можно вычислять коэффициенты частного bsи остаток bn . Раскрывая скобки и собирая члены с одинаковыми степенями z, получим тождество187]§ 18.
Основные свойства целых многочленов. . .575a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an == (z − a)(b0 z n−1 + b1 z n−2 + . . . + bn−2 z + bn−1 ) + bn == b0 z n + (b1 − b0 a)z n−1 + (b2 − b1 a)z n−2 + . . . ++ (bn−1 − bn−2 a)z + (bn − bn−1 a),и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z:a0 = b0 , a1 = b1 − b0 a, a2 = b2 − b1 a, . . . , an−1 = bn−1 − bn−2 a,an = bn − bn−1 a,откудаb0 = a0 , b1 = b0 a + a1 , b2 = b1 a + a2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
