1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 87
Текст из файла (страница 87)
190):x′0 f (x0 ) − x0 f (x′0 ),f (x0 ) − f (x′0 )f (x0 )x1 = x0 − ′.f (x0 )x′1 =К приближенным значениям x′1 иx1 можно опять применить те же формулы и получим новые значенияРис. 190.x′1 f (x1 ) − x1 f (x′1 ),f (x1 ) − f (x′1 )f (x1 )x2 = x1 − ′.f (x1 )x′2 =Таким образом получим два ряда значенийx′0 , x′1 , x′2 , . . .
, x′n . . .иx0 , x1 , x2 , . . . , xn , . . . ,приближающихся к корню ξ слева и справа.195]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .597Если у значений x′n и xn совпадают несколько первых десятичныхзнаков, то у корня ξ, который заключается между x′n и xn , должны бытьте же самые десятичные знаки.П р и м е р. Уравнениеf (x) = x5 − x − 0, 2 = 0,которое мы рассматривали в примере 1 [193], имеет один положительныйкорень в промежутке 1 < x < 1, 1, и в этом промежуткеf ′ (x) = 5x4 − 1иf ′′ (x) = 20x3знака не меняют. Таким образом, мы можем положитьx′0 = 1;x0 = 1, 1.Вычисляем значения функции f (x):f (1) = −0, 2,f (1, 1) = 0, 31051,откуда видно, что на правом конце (x0 = 1, 1), f (x) и f ′′ (x) имеют однии тот же знак (+), и, следовательно, способ Ньютона надо применятьименно к правому концу.
Предварительно вычисляем значение f ′ (x) направом конце:f ′ (1, 1) = 6, 3205.Согласно формулам (37) и (39), будем иметь0, 1 · 0, 2= 1, 039,0, 510510, 31051x1 = 1, 1 −= 1, 051.6, 3205x′1 = 1 +Для следующего приближения вычисляем:f (1, 039) = −0, 0282,f (1, 051) = 0, 0313,f ′ (1, 051) = 5, 1005,откудаx′2 = 1, 039 +0, 012 · 0, 0282= 1, 04469,0, 0595x2 = 1, 051 −0, 0313= 1, 04487,5, 1005что дает значение корня с точностью до двух единиц в четвертом знаке[193]:1, 04469 < ξ < 1, 04487.598Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[196§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ196. Разложение рациональной дроби на простейшие.Выше мы указали ряд приемов для вычисления неопределенныхинтегралов. В настоящем параграфе мы дополним эти указания ипридадим им более систематический характер. Первым вопросомбудет вопрос об интегрировании рациональной дроби, т. е. частногодвух многочленов. Прежде чем переходить к решению этого вопроса, мы установим формулу, которая дает представление рациональной дроби в виде суммы некоторых дробей простейшего вида.Это представление называется разложением рациональной дробина простейшиеПусть имеется рациональная дробьF (x).f (x)Если это — дробь неправильная, т.
е. степень числителя не ниже степени знаменателя, то, производя деление, можем выделитьцелую часть — многочлен Q(x) и представить дробь в видеϕ(x)F (x)= Q(x) +,f (x)f (x)(1)где ϕ(x)f (x) есть уже правильная дробь, у которой степень числителяниже степени знаменателя. Кроме того, мы будем считать эту дробьнесократимой, т. е. будем считать, что числитель и знаменательвзаимно простые [188].Пусть x = a есть корень знаменателя кратности k:f (x) = (x − a)k f1 (x)и f1 (a) 6= 0.Докажем, что дробь можно представить в виде следующей суммы:Aϕ1 (x)ϕ(x)=+,(x − a)k f1 (x)(x − a)k(x − a)k−1 f1 (x)(2)где A — некоторая постоянная и второе слагаемое правой части —правильная дробь. Составим разностьAϕ(x) − Af1 (x)ϕ(x)−=kk(x − a) f1 (x) (x − a)(x − a)k f1 (x)196]§ 19.
Интегрирование функции599и определим постоянную A так, чтобы числитель дроби, стоящей вправой части написанного равенства, делился на (x − a) [184]:ϕ(a) − Af1 (a) = 0,откудаA=ϕ(a)f1 (a)(f1 (a) 6= 0).При таком выборе A только что упомянутую дробь можно сократить на (x−a), и мы придем таким образом к тождеству (2).
ОноAпоказывает, что, выделяя слагаемое вида (x−a)k , которое и называется простейшей дробью, мы можем понизить показатель степенимножителя (x − a), входящего в знаменатель по крайней мере наединицу.Положим, что знаменатель разлагается на множителиf (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 . . . (x − am )km .Постоянный множитель мы не пишем, так как он может бытьотнесен к числителю. Применяя последовательно указанное вышеправило выделения простейшей дроби, получим разложение правильной рациональной дроби на простейшие:(1)(1)(1)Ak1 −1Ak1ϕ(x)A1+=+.+..+f (x)(x − a1 )k1(x − a1 )k1 −1x − a1(2)(2)(2)Ak2 −1Ak2a1++.+..+(x − a2 )k2(x − a2 )k2 −1x − a2............................................................+(m)(m)(m)Akm −1Akma1++..
(3)+..+(x − am )km(x − am )km −1x − amУкажем теперь способы определения коэффициентов, входящихв правую часть написанного тождества. Освобождая его от знаменателя, придем к тождественному равенству двух многочленов и,600Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. .
.[196приравнивая их соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений первой степени для определения искомых коэффициентов. Изложенный способ, как мы уже упоминали выше [185],называется способом неопределенных коэффициентов.Можно поступить и иначе, а именно придавать в упомянутомвыше тождественном равенстве многочленов различные частныезначения переменной x. Этим способом подстановки можно ещепользоваться и предварительно продифференцировав любое числораз упомянутое тождество.Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что разложение (3) единственно, т.
е. что его коэффициенты имеют вполнеопределенное значение, не зависящее от способа разложения. Вдальнейшем мы дадим примеры применения указанных выше способов определения неизвестных коэффициентов разложения.В случае вещественности многочленов ϕ(x) и f (x) правая частьтождества (3) может все-таки содержать мнимые члены, происходящие от мнимых корней знаменателя. Мы приведем другое разложение рациональной дроби, свободное от этого недостатка, ноограничимся при этом лишь тем случаем, когда знаменатель дробиимеет только простые корни, так как в приложениях имеет наибольшее значение именно этот случай.Паре комплексных сопряженных корней знаменателя x = a ± biбудет соответствовать сумма простейших дробейA − BiA + Bi+.x − a − bi x − a + biПриводя эти дроби к одному знаменателю, получим простейшуюдробь видаMx + Nx2 + px + q(p = −2a,q = a2 + b2 ).Таким образом, в рассматриваемом случае вещественная рациональная дробь разложится на вещественные простейшие:A1A2Arϕ(x)=++ ...++f (x)x − a1x − a2x − ar197]§ 19.
Интегрирование функции+601M 1 x + N1M 2 x + N2M s x + Ns+ 2+ ...+ 2, (4)x2 + p1 x + q1x + p2 x + q2x + ps x + qsпричем в первой строке стоят дроби, соответствующие вещественным корням знаменателя, а во второй — дроби, соответствующиепарам комплексных сопряженных корней.197. Интегрирование рациональной дроби.
Интегрирование рациональной дроби в силу формулы (1) приводится к интегрированию многочлена, что даст также многочлен, и к интегрированию правильной рациональной дроби, что мы и будем сейчасрассматривать.Если знаменатель дроби имеет только простые корни, то, в силуформулы (4), все приведется к интегралам двух видов:R Adx = A log(x − a) + CI.x−aиRII.Mx + Ndx.x2 + px + qВспоминая сказанное [92], получим ответ видаZ2x + pMx − N+ C.dx = λ log(x2 + px + q) + µ arctg p2x + px + q4q − p2Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл выразитсячерез логарифмы и арктангенсы.Рассмотрим теперь тот случай, когда знаменатель правильнойрациональной дроби содержит кратные корни. Обратимся к разложению (3). Мнимые числа, которые могут в нем встретиться, будутиграть лишь промежуточную роль в дальнейших вычислениях и вокончательном результате исчезнут.При интегрировании простейших дробей, знаменатель которыхвыше первой степени, мы получим также рациональную дробь:Z(i)(i)Aki −sAki −sdx =+Ck−si(x − ai )(1 − ki + s)(x − ai )ki −s−1(ki − s > 1).602Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[197Сумма полученных после интегрирования дробей даст алгебраическую часть интеграла, которая по приведении к общему знаменателю будет, очевидно, правильной дробью видаω(x).(x − a1 )k1 −1 (x − a2 )k2 −1 . . . (x − am )km −1Числитель ω(x) есть многочлен степени по крайней мере на единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собоюобщий наибольший делитель D(x) знаменателя интегрируемой дроби f (x) и ее первой производной f ′ (x) [188].Сумма остальных непроинтегрированных дробей(1)(2)(m)A1A1A1++ ...+x − a1x − a1x − amпри приведении к общему знаменателю окажется правильной дробью видаω1 (x),(x − a1 )(x − a2 ) .
. . (x − am )где ω1 (x) есть многочлен степени по крайней мере на единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою частное D1 (x) от деления f (x) на D(x). Таким образом, мы получимследующую формулу Остроградского:Zω1 (x)ϕ(x)ω(x)dx =+dx.(5)f (x)D(x)D1 (x)Многочлены D(x) и D1 (x) мы можем определять и не зная корней f (x) [188].
Укажем теперь, как определить коэффициенты многочленов ω(x) и ω1 (x), степени которых мы можем считать на единицу ниже степеней соответствующих знаменателей. Дифференцируя равенство (5), освобождаемся от знаков интеграла. Освобождаясь в полученном таким образом тождестве от знаменателя, будемиметь тождественное равенство двух многочленов и, применяя кнему метод неопределенных коэффициентов или подстановки, сможем определить коэффициенты ω(x) и ω1 (x).197]§ 19. Интегрирование функции603Формула Остроградского дает, таким образом, алгебраическуючасть интеграла правильной рациональной дроби и тогда, когдакорни знаменателя неизвестны. Знаменатель дроби, стоящей подзнаком интеграла в правой части равенства (5), содержит толькопростые корни, и, разлагая эту дробь на простейшие, мы сумеемвычислить этот интеграл, причем, как это мы только что видели,он выразится через логарифмы и арктангенсы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
