1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Для проведения последней операции на надо знать корни D1 (x).П р и м е р. Согласно формуле ОстроградскогоZZαx2 + βx + γδx2 + εx + ηdx=+dx.332(x + 1)x +1x3 + 1Дифференцируем по x(x31(2αx + β)(x3 + 1) − 3x2 (αx2 + βx + γ)δx2 + εx + η=+322+ 1)(x + 1)x3 + 1и, освобождаясь от знаменателя, имеем1 = (2αx + β)(x3 + 1) − 3x2 (αx2 + βx + γ) + (δx2 + εx + η)(x3 + 1).Сравнивая коэффициенты при x5 , получаем δ = 0, и сравнивая затемкоэффициенты при x2 , получим γ = 0. Подставляя в написанное тождество γ = δ = 0 и сравнивая коэффициенты при остальных степенях,будем иметь:ε − α = 0,η − 2β = 0,2α + ε = 0,β + η = 1,откуда окончательно:α = γ = δ = ε = 0,и, следовательно,Zβ=1,3dxx2=+(x3 + 1)23(x3 + 1)3η=Z23dx.x3 + 1Последний интеграл вычисляется разложением дроби на простейшие:1AMx + N=+ 2.x3 + 1x+1x −x+1604Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[198Освобождаемся от знаменателя1 = A(x2 − x + 1) + (M x + N )(x + 1).Полагая x = −1, получим A = 13 , а затем, сравнивая коэффициенты приx2 и свободные члены12M =− , N = ,33и, следовательно,1x−21=−.x3 + 13(x + 1)3(x2 − x + 1)Окончательно получимZ1dx=x3 + 13ZZdxx−21−dx =x+13x2 − x + 112x − 111+C= lg(x + 1) − lg(x2 − x + 1) + √ arctg √3633откудаZdxx21=+ lg(x + 1) − lg(x2 − x + 1)+(x3 + 1)23(x3 + 1)9922x − 1+ C.+ √ arctg √3 33198.
Интеграл от выражений, содержащих радикалы.Рассмотрим некоторые другие типы интегралов, которые приводятся к интегралам от рациональной дроби.1. Интеграл#" λ µZax + bax + b,, . . . dx,(6)R x,cx + dcx + dгде R — рациональная функция своих аргументов, т. е. частное многочленов от этих аргументов, а λ, µ, . . . — рациональные числа.Пусть m — общий знаменатель этих дробей. Введем новую переменную t:ax + b= tm .cx + d199]§ 19. Интегрирование функции605При этом, очевидно, x, dxdt и выраженияλµax + bax + b,cx + dcx + dбудут рациональными функциями t, и интеграл (6) приведется кинтегралу от рациональной дроби.2.
Биномный дифференциал. К интегралу (6) приводятся в некоторых случаях интегралы от биномных дифференциалов:Zxm (a + bxn )p dx,(7)где m, n и p — рациональные числа.1Положим x = t n :ZZm+11xm (a + bxn )p dx =t n −1 (a + bt)p dt.nЕсли p или m+1n есть целое число, то полученный интеграл естьинтеграл вида (6). Из очевидного равенстваpZZm+1m+1a + bt−1+p−1pnn(a + bt) dt = tdtttследует, что и в том случае, когда m+1n + p — целое число, интеграл(7) приводится к виду (6).Существует теорема Чебышева, согласно которой указанныетри случая исчерпывают все случаи, интеграл от биномного дифференциала выражается через элементарные функции.pRax2 + bx + c)dx. Интегралы199.
Интегралы вида R(x,видаZpax2 + bx + c)dx,(8)R(x,где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера.В случае a > 0 можно пользоваться первой подстановкой Эйлера:p√ax2 + bx + c = t − ax.606Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры.
. .[199Возвышая обе части этого равенства в квадрат и решая относительно x, получимt2 − c,x= √2t a + b√откуда видно, что x, dxax2 + bx + c будут рациональнымиdt ифункциями от t и, следовательно, интеграл (8) приведется к интегралу от рациональной дроби.В случае c > 0 можно пользоваться второй подстановкой Эйлера:p√ax2 + bx + c = tx + c.Предлагаем читателю убедиться в этом.В случае a < 0 трехчлен (ax2 + bx + c) должен иметь вещественные корни x1 и x2 , ибо в противном случаеон имел бы при√всех вещественных значениях x знак (—), а ax2 + bx + c был бывеличиной мнимой.
В случае вещественности корней упомянутоготрехчлена интеграл (8) приводится к интегралу от рациональнойдроби при помощи третьей подстановки Эйлера:pa(x − x1 )(x − x2 ) = t(x − x2 ),в чем и предлагаем убедиться читателю.Подстановки Эйлера приводят большей частью к сложным выкладкам, а потому мы укажем другой прием вычисления интеграла(8).Обозначим для краткости письма:py = ax2 + bx + c.Всякая положительная четная степень y представляет собоюмногочлен от x, а потому подынтегральную функцию нетруднопривести к видуR(x, y) =ω1 (x) + ω2 (x)y,ω3 (x) + ω4 (x)yгде ωs (x) — многочлен от x.
Освобождаясь от иррациональности взнаменателе и совершая элементарные преобразования, можно пре-199]§ 19. Интегрирование функции607образовать написанное выражение к видуR(x, y) =ω7 (x)ω5 (x)+.ω6 (x) ω8 (x)yПервое слагаемое есть рациональная дробь, интегрировать ко7 (x)торую мы уже умеем. Выделяя из дроби ωω8 (x) целую часть и разлагая оставшуюся правильную дробь на простейшие, мы придем кинтегралам видаZϕ(x)√dx(9)2ax + bx + cиZdx√,(10)n(x − a) ax2 + bx + cгде ϕ(x) — многочлен от x.При этом мы предполагаем, что многочлен от ω8 (x) имеет лишьвещественные корни.Прежде чем переходить к рассмотрению интегралов (9) и (10),отметим два простейших частных случая интеграла (9):Zdx√=ax2 + bx + c1b+= √ lg x +a2aZdx√=−x2 + bx + cZrx2bc+ x+aa!+C(a > 0), (11)x − 2bdxq=arcsin+ C.2mm2 − x − 2b(12)Формулу (11) нетрудно получить при помощи первой подстановки Эйлера. Интеграл (12) уже был нами разобран раньше [92].Для вычисления интеграла (9) удобно пользоваться формулой:ZZpϕ(x)dx2√dx = ψ(x) ax + bx + c + λ √,22ax + bx + cax + bx + c(13)608Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[199где ψ(x) — многочлен степени на единицу ниже, чем ϕ(x), и λ —постоянная. На доказательстве формулы (13) мы останавливаться не будем. Дифференцируя соотношение (13) и освобождаясь отзнаменателя, получим тождественное равенство двух многочленов,откуда и можно определить коэффициенты многочленов ψ(x) и постоянную λ.Интеграл (10) приводится к интегралу (9) при помощи подстановки1x−a= .tП р и м е р.Zx+Ноа потомуZ√√Zdxx − x2 − x + 1dx ==x−1x2 − x + 1ZZxx2 − x + 1√dx −=dx =x−1(x − 1) x2 − x + 1Zx2 − x + 1√= x + lg(x − 1) −dx.(x − 1) x2 − x + 11x2 − x + 1=x+,x−1x−1x2 − x + 1√dx =(x − 1) x2 − x + 1Z√xdx +x2 − x + 1Zdx√.(x − 1) x2 − x + 1Согласно формуле (13)ZZpdxx√√dx = a x2 − x + 1 + λ.x2 − x + 1x2 − x + 1Дифференцируя это соотношение и освобождаясь от знаменателя, получим тождество2x = a(2x − 1) + 2λ,откудаa = 1,λ=1,2199]§ 19.
Интегрирование функции609и, следовательно, в силу формулы (11),Zpx11 p 22√dx = x − x + 1 + lg x − + x − x + 1 + C.22x2 − x + 1ПодставляяполучимZx−1 =1,tZdxdx√√=−=(x − 1) x2 − x + 1t2 + t + 11 p 2= − lg t + + t + t + 1 + C =2s!1111+ ++1 +C == − lg+x−12(x − 1)2x−1p= − lg(x + 1 + 2 x2 − x + 1) + lg(x − 1) + C,окончательноZpdx11 p√= x − x2 − x + 1− lg x− + x2 − x + 1 +22x + x2 − x + 1p+ lg(x + 1 + 2 x2 − x + 1) + C.Интеграл (8) является частным случаем абелева интеграла, которыйимеет вид:ZR(x, y)dx,где R — рациональная функция своих аргументов и y — алгебраическаяфункция от x, т. е. функция от x, которая определяется из уравненияf (x, y) = 0,(15)левая часть которого есть целый многочлен относительно x и y. Еслиpy = P (x),где P (x) — многочлен третьей или четвертой степени от x, то абелев интеграл (14) называется эллиптическим интегралом.
Мы займемся этимиинтегралами в третьем томе. Даже и этот последний, а тем более и общий абелев интеграл, вообще говоря, не выражается через элементарные610Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[200функции. Если степень многочлена P (x) выше четвертой, то интеграл(14) называется гиперэллиптическим.Если соотношение (15), которое выражает y как алгебраическуюфункцию от x, обладает тем свойством, что x и y могут быть выражены в виде рациональных функций вспомогательного параметра t, то,очевидно, абелев интеграл (14) приводится к интегралу от рациональнойдроби. В указанном случае алгебраическая кривая, соответствующая соотношению (15), называется уникурсальной.
В частности, подстановкиЭйлера служат доказательством уникурсальности кривойy 2 = ax2 + bx + c.R200. Интегралы вида R(sin x, cos x)dx. Интеграл вида:ZR(sin x, cos x)dx,(16)где R — рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от рациональной дроби, если ввести новую переменнуюxt = tg .2Действительно, согласно известным формулам тригонометрии,получим2t1 − t2, cos x =,sin x =21+t1 + t2и, кроме того,2dt,x = 2 arctg t, dx =1 + t2откуда и вытекает непосредственно наше утверждение.Укажем теперь некоторые частные случаи, когда выкладки могут быть упрощены.1. Положим, что R(sin x, cos x) не меняется при замене sin xи cos x, соответственно, на (− sin x) и (− cos x), т.
е. предположим,что R(sin x, cos x) имеет период π. Так какsin x = cos x tg x,200]§ 19. Интегрирование функции611то R(sin x, cos x) оказывается рациональной функцией от cos x иtg x, не меняющейся при замене cos x на (− cos x), т. е. содержащей только четные степени cos x:R(sin x, cos x) = R1 (cos2 x, tg x).В рассматриваемом случае для приведения интеграла (16) к интегралу от рациональной дроби достаточно положитьt = tg x.Действительно, при этомdx =dt,1 + t2cos2 x =1.1 + t2Итак, если R(sin x, cos x) не меняется при замене sin x и cos x,соответственно, на (− sin x) и (− cos x), то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки t = tg x.2.
Предположим теперь, что R(sin x, cos x) меняет лишь знакпри замене sin x на (− sin x). ФункцияR(sin x, cos x)sin xне будет вовсе меняться при указанной замене, т. е. будет содержатьтолько четные степени sin x, а следовательно:R(sin x, cos x) = R1 (sin2 x, cos x) · sin x.Подставляя t = cos x, получимZZR(sin x, cos x)dx = − R1 (1 − t2 , t)dt,т. е. если R(sin x, cos x) при замене sin x на (− sin x) меняет лишьзнак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональнойдроби при помощи подстановки t = cos x.612Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
