1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 89
Текст из файла (страница 89)
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[2013. Точно так же нетрудно показать, что если R(sin x, cos x) призамене cos x на (− cos x) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки t = sin x.R201. Интегралы вида eax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx. Интеграл вида:Zeax ϕ(x)dx,(17)где ϕ(x) — многочлен n-й степени от x, интегрированием по частямможно упростить:ZZ11 axaxeax ϕ′ (x)dx.∗e ϕ(x)dx = e ϕ(x) −aaТаким образом, выделяя из интеграла слагаемое, имеющее видпроизведения eax на многочлен n-й степени, мы можем понизитьстепень многочлена под знаком интеграла на единицу.
Продолжаятаким образом интегрировать по частям и принимая во внимание,чтоZ1eax dx = eax + C,aполучимZeax ϕ(x)dx = eax ψ(x) + C,(18)где ψ(x) — многочлен той же n-й степени, что и ϕ(x), т. е. интеграл от произведения показательной функции eax на многочленn-й степени имеет вид такого же произведения.Дифференцируя соотношение (18) и сокращая обе части полученного тождества на eax , можем определить коэффициенты полинома ψ(x) по способу неопределенных коэффициентов.Рассмотрим теперь интеграл более общего вида:Zeax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx,(19)∗ Для применения формулы интегрирования по частям необходимо внестиeax под знак дифференциала по правилу eax dx = a1 deax .201]§ 19. Интегрирование функции613где P (x) и Q(x) — многочлены от x. Пусть n — наибольшая из степеней этих двух многочленов. Вводя в качестве вспомогательногосредства комплексные величины, можем привести интеграл (19) кинтегралу (17), а именно, подставив вместо cos bx и sin bx их выражения по формулам Эйлера [176]:cos bx =ebxi + e−bxi,2sin bx =ebxi − e−bxi,2iполучимZeax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx =ZZ(a+bi)x= eϕ(x)dx + e(a−bi)x ϕ1 (x)dx,где ϕ(x) и ϕ1 (x) — многочлены степени не выше n.
Применяя формулу (18):Zeax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx == e(a+bi)x ψ(x) + e(a−bi)x ψ1 (x) + C,где ψ(x) и ψ1 (x) — многочлены степени не выше n, и подставляяe±bxi = cos bx ± i sin bx,окончательно имеемZeax [P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx == eax [R(x) cos bx + S(x) sin bx] + C,∗(20)где R(x) и S(x) — многочлены степени не выше n. Таким образом,мы видим, что интеграл (19) имеет выражение того же вида, чтои его подынтегральная функция, причем степень многочленов в∗ Многочлены R(x) и S(x) должны содержать только вещественные коэффициенты.614Гл. VI.
Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[201выражении интеграла надо брать равной наибольшей из степенеймногочленов, стоящих в подынтегральной функции.Дифференцируя соотношение (20), сокращая полученное тождество на eax и приравнивая коэффициенты одинаковых членов вида xs cos bx и xs sin bx (s = 0, 1, 2, . . .
, n), стоящих в правой и левойчастях, получим систему уравнений первой степени для определения коэффициентов многочленов R(x) и S(x). Заметим при этом,что, если cos bx или sin bx под знак интеграла и не входят, в правойчасти формулы надо обязательно писать обе тригонометрическиефункции, помня высказанное выше правило определения степенеймногочленов R(x) и S(x).К интегралам вида (19) приводятся непосредственно интегралывида:Zeax ϕ(x) sin(a1 x+b1 ) sin(a2 x+b2 ) . . .
cos(c1 x+d1 ) cos(c2 x+d2 ) . . . dx.Действительно, пользуясь известными тригонометрическимиформулами, выражающими сумму и разность синусов и косинусовв виде произведения, можно, наоборот, произведение каких-либодвух из вышеупомянутых тригонометрических функций выразитьв виде суммы или разности синусов и косинусов. Применяя несколько раз это преобразование, можем довести число тригонометрических множителей под знаком интеграла до одного и таким образомполучим интеграл вида (19).П р и м е р. Согласно формуле (20):Zeax sin bxdx = eax (A cos bx + B sin bx) + C.Дифференцируем и сокращаем на eax :sin bx = (aA + bB) cos bx + (−bA + aB) sin bx,откудаaA + bB = 0, −bA + aB = 1, то есть A = −и окончательноZeax sin bxdx = eax −ab, B= 2,a 2 + b2a + b2bacossinbx+bx+ C.a 2 + b2a 2 + b2(21)Учебное изданиеСмирнов Владимир ИвановичКурс высшей математикиТом IЛицензия ИД № 02429 от 24.07.00.
Подписано в печать 27.02.08.Формат 60901/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31.Тираж 2000 экз. Заказ №"БХВ-Петербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, 5Б.Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию№ 77.99.60.953.Д.002108.02.07 от 28.02.2007 г. выдано Федеральной службойпо надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.Отпечатано с готовых диапозитивовв ГУП "Типография "Наука"199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
