1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 82
Текст из файла (страница 82)
сводится просто к построению геометрической суммы векторов, изображающихэти комплексные числа.Укажем построение в случае параллельного включения двух кажущихся сопротивлений ζ1 и ζ2 . Мы имеем по предыдущему правилуζ ′′ =1ζ11+1ζ2=ζ1 ζ2.ζ1 + ζ2Положивζ ′′ = ρeθi ,ζ1 = ρ1 eθ1 i ,ζ2 = ρ2 eθ2 i ,ζ1 + ζ2 = ρ0 eθ0 i ,181]§ 17. Комплексные числа561мы будем иметьρ1 ρ2, θ = θ1 + θ2 − θ0 .ρ0Это приводит нас к следующему геометрическому построению (рис. 178).Находим прежде всего сумму ζ1 + ζ2 = OC; затем строим △ AOD, подобный △ COB, для чего поворачиваем △ COB в положение C ′ O′ B ′ ипроводим прямую AD || C ′ B ′ .Из подобия треугольников выводим:ρ=OBρ1 ρ2, то есть ρ =,ρ0OCθ = θ2 − θ0 (θ1 = 0),OD = OAчто и требовалось доказать.3. Рассмотрим связанные колебания двух цепей, находящихся в магнитном соединении (рис.
179). Пусть v1 , j1 означают внешнюю электродвижущую силу и силу тока в цепи I, j2 — силу тока в цепи II (без внешней электродвижущей силы); R1 , R2 , L1 , L2 , C1 , C2 — соответственно:Рис. 178.Рис. 179.сопротивления, коэффициенты самоиндукции и емкости этих цепей, M —коэффициенты взаимной индукции цепей I и II.Имеем соотношенияZdj21dj1+M+j1 dt,v1 = R1 j1 + L1dtdtC1Zdj11dj2+M+j2 dt.0 = R2 j2 + L2dtdtC2На чертеже мы для упрощения направили ось OX по вектору ζ1 , что приводится к предположению θ1 = 0. В общем случае достаточно повернуть осьOX на угол θ1 по часовой стрелке.562Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[182Если рассматривать установившийся процесс, в котором напряжениеи ток меняются по синусоидальному закону одинаковой частоты, то этиуравнения можно переписать в векторной форме:1 j1 + ωM ij2 = ζ1 j1 + ωM ij2 ,v1 = R1 + ωL1 i +ωC1 i1 j2 = ωM ij1 + ζ2 j2 ,0 = ωM ij1 + R2 + ωL2 i +ωC2 iгде ζ1 и ζ2 — кажущиеся сопротивления цепей I и II, если они взяты самипо себе. Решая относительно j1 и j2 , получим без трудаj1 =ωMiζ2v1 , j2 = −v1 .ζ1 ζ2 + ω 2 M 2ζ1 ζ2 + ω 2 M 2Переписав первое уравнение в виде:ω2M 2 j1 ,v1 = ζ1 +ζ2мы можем сказать, что наличие цепи II изменяет кажущееся сопротив22.ление ζ цепи I на слагаемое ω ζM2182.
Кривые в комплексной форме. Если вещественные числаусловимся изображать точками на данной оси OX, то изменение вещественной переменной приводится к передвижению соответствующейточки по оси OX. Совершенно аналогично изменению комплексной переменной ζ = x + yi приводится к передвижению изображающей точкипо плоскости XOY .Особенно интересен тот случай, когда переменная ζ при своем изменении описывает некоторую кривую; это случится тогда, когда вещественная и мнимая части, т. е.
координаты x и y, суть функции некоторого параметра u, который мы будем считать вещественнымx = ϕ1 (u),y = ϕ2 (u).(41)Мы будем тогда писать простоζ = f (u),гдеf (u) = ϕ1 (u) + iϕ2 (u),и будем называть это уравнение — уравнением рассматриваемой кривой(41) в комплексной форме.182]§ 17. Комплексные числа563Уравнения (41) дают параметрическое представление кривой в прямоугольных координатах. К представлению ее в полярных координатахмы придем, если напишем переменную ζ в показательной форме:ζ = ρeθi ,ρ = ψ1 (u),θ = ψ2 (u).В этом выражении множитель ρ есть не что иное, как |ζ|, множительже eθi , который в случае вещественных ζ(θ = 0 или π) совпадает со«знаком» (±1), есть вектор длины единицы и обозначается символомSgnζ = eθi =ζ|ζ|(сокращенное латинское слово «Signum» — знак).К необходимости рассмотрения уравнений кривых в комплекснойформе приводят векторные диаграммы.
Если мы в соотношенииv = ζjбудем считать вектор тока j постоянным, но будем менять какую-нибудьиз различных постоянных цепи, то будет меняться кажущееся сопротивление ζ и вектор v; конец этого вектора v опишет кривую, которая называется диаграммой напряжения, построив которую, мы получим яснуюкартину изменения вектора v. Точка ζ также опишет кривую (диаграммасопротивления), которая только выбором масштаба будет отличаться отдиаграммы напряжения (за единицу будет принят вектор j).Рассмотрим теперь уравнения некоторых простейших кривых.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку ζ0 = x0 + y0 iи образующий угол α с осью OX:ζ = ζ0 + ueαi ;параметр u означает здесь расстояние, отсчитываемое от точки ζ0 до ζ.2.
Уравнение окружности с центром в точке ζ0 и радиусом r:ζ = ζ0 + reui .3. Эллипс с центром в начале координат и полуосями a и b, причембольшая ось направлена по оси OX, имеет в комплексной форме уравнение [177]:ζ = x + yi = a cos u + bi sin u =a + b ui a − b −uie +e .22564Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[182Если большая ось образует угол ϕ0 с осью OX, то уравнение эллипсапримет видa + b ui a − b −uie +eζ = eϕ0 i.22В общем случае, когда центр эллипса находится в точке ζ0 и большаяось образует угол ϕ0 с осью OX, эллипс будет иметь уравнениеa + b ui a − b −uie +e.ζ = ζ0 + eϕ0 j22Если b = a, уравнение это обращается в уравнение окружности радиуса a:ζ = ζ0 + ae(ϕ0 +u)i ,где (ϕ0 + u), так же как и u — вещественный параметр.
Если b = 0, получим отрезок прямой:ζ = ζ0 + aeϕ0 ieui + e−ui= ζ0 + aeϕ0 i cos u,2ζ = ζ0 + veϕ0 i ,образующий угол ϕ0 с осью OX, длины 2a, середина которого в точкеζ0 , ибо параметр v = a cos u — вещественный, подобно u, но может принимать значения только между (−a) и (+a).Рассматривая случаи окружности и отрезка прямой как предельныеслучаи эллипса, получающиеся, когда малая полуось становится равнойбольшой или обращается в нуль, мы можем теперь сказать вообще, чтоуравнениеζ = ζ0 + µ1 eui + µ2 e−ui ,(42)где ζ0 , µ1 , µ2 — какие угодно комплексные числа, всегда представляетуравнение эллипса.В самом деле, положивµ1 = M1 eθ1 i ,µ2 = M2 eθ2 i ,θ1 + θ2= ϕ,2θ1 − θ2= θ0 ,2можем переписать уравнение (42) в видеhiζ = ζ0 + M1 e(u+θ1 )i + M2 e−(u−θ2 )i = ζ0 + eϕ0 i M1 e(u+θ0 )i + M2 e(u+θ0 )i ,откуда ясно, что рассматриваемая кривая есть действительно эллипс сцентром в точке ζ0 , полуосями (M1 ± M2 ), и большая ось которого образует угол ϕ0 с осью OX, т.
е. имеет направление биссектрисы угла между182]§ 17. Комплексные числа565векторами µ1 и µ2 . При M2 = 0 эллипс обращается в окружность, приM2 = M1 — в отрезок прямой.4. При исследовании явлений переменного тока в цепях с непрерывнораспределенными сопротивлениями, емкостями и самоиндукцией большое значение имеют кривые, уравнение которых в комплексной формеимеет видζ = νeγu ,(43)где ν и γ — какие угодно комплексные постоянные.Положив ν = N1 eϕ0 i , γ = a + bi и переходя к полярным координатам,имеем отсюдаζ = ρeθi = N1 eϕ0 i e(a+bi)u = N1 eau e(bu+ϕ0 )i ,то естьρ = N1 eau ,θ = bu + ϕ0 ,откудаu=θ − ϕ0,bили окончательноaρ = Ne b θN = N1 e−aϕ0b,т. е. рассматриваемая кривая есть логарифмическая спираль рис.
180,соответствующий случаю ab > 0 .0Рис. 180.Рис. 181.566Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[183Более сложные кривые типаζ = ν1 eγ1 u + ν2 eγ2 u + . . . + νs eγs uможно получить, построив «составляющие спирали»ζ1 = ν1 eγ1 u ,ζ2 = ν2 eγ2 u ,. . . , ζs = νs eγs uи вычисляя геометрически при каждом значении u сумму соответствующих значений ζ1 , ζ2 , . . . , ζs (рис. 181).183. Представление гармонического колебания в комплексной форме. Гармоническое затухающее колебание выражается формулойx = Ae−εt sin(ωt + ϕ0 ),(44)где A и ε — положительные постоянные.
Введем в рассмотрение комплексную величинуζ = Ae(ϕ0 − 2 )i e(ω+εi)it = Ae−εt+(ωt+ϕ0 − 2 )i .ππ(45)Вещественная часть этой комплексной величины совпадает с выражением (44). Таким образом, мы можем представить любое гармоническоезатухающее колебание как вещественную часть комплексного выражения вида:ζ = αeβit ,где α и β — комплексные числа. В случае формулы (45):πα = Ae(ϕ0 − 2 )iиβ = ω + εi.В случае чисто гармонического колебания без затухания ε = 0 и β будетчислом вещественным.
Выражение (45) для ζ совпадает с выражением(43) приπν = Ae(ϕ0 − 2 )i ,γ = (ω + εi)i = −ε + ωiиu = t.Отсюда видно, что при изменении t точка ζ описывает логарифмическую спираль, причем полярный угол θ есть линейная функция времени t:πθ = ωt + ϕ0 − ,2т. е.
радиус-вектор из начала координат в точку ζ вращается вокруг начала с постоянной угловой скоростью ω. Проекция точки ζ184]§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .567на ось OX совершает затухающие колебания (44). Если ε = 0,то точка ζ движется по окружности ρ = A, и ее проекция наось OX движется по закону гармонического колебания без затухания:x = A sin(ωt + ϕ0 ).§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХМНОГОЧЛЕНОВИ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ184. Алгебраическое уравнение. В настоящем параграфемы будем заниматься исследованием целого многочлена (полинома):f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + .
. . + ak z n−k + . . . + an−1 z + an ,где a0 , a1 , . . . , ak , an — данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент a0 мы можем считать отличным от нуля. Основные действия с многочленами хорошоизвестны из элементарной алгебры. Мы напомним только основнойрезультат, касающийся действия деления. Если f (z) и ϕ(z) — двамногочлена и степень ϕ(z) не выше степени f (z), то f (z) можнопредставить в видеf (z) = ϕ(z) · Q(z) + R(z),где Q(z) и R(z) — также многочлены, причем степень R(z) нижестепени ϕ(z).
Многочлены Q(z) и R(z) называются, соответственно,частным и остатком при делении f (z) на ϕ(z). Частное и остатоксуть вполне определенные многочлены, так что представление f (z)в указанном выше виде через ϕ(z) единственно.Значения z, при подстановке которых многочлен обращаетсяв нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом,корни f (z) суть решения уравненияf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + ak z n−k + . .
. + an−1 z + an = 0.(1)568Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[184Написанное уравнение называется алгебраическим уравнениемn-й степени.При делении f (z) на двучлен (z − a) частное Q(z) будет многочленом (n − 1)-й степени со старшим коэффициентом a0 , остатокже R не будет содержать z. По основному свойству деления имеетместо тождествоf (z) = (z − a)Q(z) + R.Подставляя это тождество z = a, получимR = f (a),т. е. остаток, получаемый при делении многочлена f (z) на (z − a),равен f (a) (теорема Безу).В частности, для того чтобы многочлен f (z) делился на (z − a)без остатка, необходимо и достаточно условиеf (a) = 0,т. е. для того, чтобы многочлен делился на двучлен (z − a) безостатка, необходимо и достаточно, чтобы z = a было корнемэтого многочлена.Таким образом, зная корень z = a многочлена f (z), мы можемвыделить из этого многочлена множитель (z − a):f (z) = (z − a)f1 (z),гдеf1 (z) = b0 z n−1 + b1 z n−2 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
