1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Для отличия главного значения логарифма от общего его значения, даваемого формулой (30), пользуются для главного значения обозначениемlog вместо Log, так чтоlog[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = log r + ϕi,(31)где −π < ϕ 6 π.С помощью логарифма определим комплексную степень любогокомплексного числа. Если u и v — два комплексных числа, причемu 6= 0, то положимuv = evLogu .Заметим, что Log u, а потому и uv имеют, вообще говоря, бесчисленное множество значений.Примеры. 1. Модуль i равен единице и аргумент π2 , а потомуπ+ 2kπ i (k = 0, ±1, ±2, . . .).Log i =22.
Определим ii :ii =eiLogi=e−π +2kπ2(k = 0, ±1, ±2, . . .).180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.Укажем на применение комплексных величин при изучении гармонических колебаний. Рассмотрим переменный ток, сила которого j в каждыймомент времени имеет во всей цепи одно и то же значение, определяемоепо формулеj = jm sin(ωt + ϕ),(32)где t — время, а jm , ω и ϕ — постоянные.180]§ 17.
Комплексные числа555Постоянная jm , которую мы будем считать положительной, называется амплитудой; постоянная ω называется частотой и связана с периодом T соотношением2π,T =ωпостоянная ϕ называется фазой переменного тока.Ток, сила которого определяется по формуле (32), называется синусоидальным. Сказанное применяется и для напряженияv = vm sin(ωt + ϕ1 ),(33)и в дальнейшем мы будем рассматривать силы тока и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону, определяемому формулами (32)и (33).Существует простое геометрическое изображение синусоидальныхвеличин одной и той же частоты. Через некоторую точку O плоскостипроводим луч, который мы будем вращать с угловой скоростью ω почасовой стрелке; этот луч назовем осью времени.Пусть начальное положение оси времени при t = 0 совпадает с осьюOX.
Построим вектор OA (рис. 177) длины jm , который образует угол ϕс начальным положением оси времени (напомним, что положительнымнаправлением отсчета углов мы считаем направление против часовойстрелки).(1)Рис. 177.В момент t вектор OA будет образовывать угол (ϕ + ωt) с осью времени, повернувшейся на угол ωt; проекция вектора OA на направление,перпендикулярное оси времени и получающееся поворотом ее на уголπпротив часовой стрелки, или, короче говоря, взятая с надлежащим2556Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[180знаком длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора OA на осьвремени, и дает нам, очевидно, величину j = jm sin(ωt + ϕ)..Для изображения другой синусоидальной величины того же периода(1)j (1) = jmsin(ωt + ϕ1 )(1)надо будет отложить вектор длины jm , образующий с первым векторомуголψ = ϕ1 − ϕ.Таким образом, при помощи неподвижных векторов на плоскости мыможем изображать синусоидальные величины одной и той же частоты.Длина всякого вектора дает амплитуду соответствующей величины, аугол между двумя векторами представляет собой разность фаз соответствующих этим векторам величин.
Построенные указанным образомвекторы дают так называемую векторную диаграмму системы синусоидальных величин одного и того же периода.Геометрическая сумма нескольких векторов векторной диаграммы,согласно теореме о проекции замыкающей, будет соответствовать синусоидальной величине того же периода, равной сумме синусоидальныхвеличин, соответствующих слагаемым векторам.Пользуясь определением умножения, приведенным в [172], можнопридать операциям с векторными диаграммами удобный аналитическийвид.В дальнейшем мы будем обозначать векторы теми же буквами, ножирным шрифтом.Произведение вектора j на комплексное число reϕi будем считатьравным вектору, который получается из вектора j, если его длинуумножить на r и повернуть его на угол ϕ, т.
е. будем считать, чтопроизведение reϕi j получается согласно приведенному в [172] правилуумножения комплексного числа, изображающего вектор j, на комплексное число reϕi .Если комплексное число reϕi написать в виде (a+bi), то произведениеможно представить в виде суммы двух векторов(a + bi)j = aj + bij,причем первое слагаемое есть вектор, параллельный вектору j, а второеслагаемое есть вектор, перпендикулярный вектору j.Разлагая какой-либо вектор j1 на два взаимно перпендикулярных направления, можем представить его в видеj1 = aj + bij = (a + bi)j.180]§ 17.
Комплексные числа557При этом |a + bi| равно, очевидно, отношению длин векторов j и j1 , ааргумент числа (a+bi) представляет собой угол, образованный векторомj1 с вектором j. Этот угол дает разность фаз величин, соответствующихвекторам j1 и j.Введем понятие о среднем квадратичном значении синусоидальнойвеличины (32), которое мы обозначим символом M (j 2 ). Оно определяется равенствомZT12j 2 dt.M (j ) =T0Интегрируя выражение2j 2 = jmsin2 (ωt + ϕ) =в пределах от 0 до T =M (j 2 ) =2π,ω1 21 2jm − jmcos 2(ωt + ϕ)22получим 2πω1 21 21 2jm −jm sin 2(ωt + ϕ)= jm.24ω20Корень квадратный из среднего квадратичного значения называетсяэффективным, или действующим, значением величины:jef f =pjmM (j 2 ) = √ .2На практике при построении векторных диаграмм обычно принимают длину вектора равной не амплитуде, а эффективному значению величины, т.
е. по сравнению с описаннымвыше построением длины векторов√уменьшают в отношении 1 : 2.Дифференцируя формулу (32), получимπdj= ωjm cos(ωt + ϕ) = ωjm sin ωt + ϕ +,dt2djотличается от j лишь тем, что амплитуда умножаетсят. е. производная dtна ω и к фазе прибавляется π2 .Выведенное соотношение в векторных обозначениях напишется так:dj= ωij.dt(34)558Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. .
.[181Интегрируя формулу (32) и отбрасывая произвольную постоянную,что необходимо делать, если мы желаем получить также синусоидальнуювеличину того же периода, имеемZ11π,jdt = − jm cos(ωt + ϕ) = jm sin ωt + ϕ −ωω2откуда следует19Zjdt =1j.ωi(35)181. Примеры. 1. Рассмотрим цепь переменного тока, в которуювведены последовательно: сопротивление R, самоиндукция L и емкостьC. Обозначив через v напряжение и через j силу тока, будем иметь известное из физики соотношение:Z1djjdt.v = Rj + L +dtCОграничимся пока только явлениями установившимися и притомтем случаем, когда и напряжение и сила тока оказываются синусоидальными величинами одного и того же периода. Предыдущее уравнениеможно переписать в векторной форме, введя вместо v и j векторы напряжения и тока v и j:Z1djjdt;v = Rj + L +dtCвспомнив формулы (34) и (35), находим отсюдаv = Rj + ωLij +1j = (R + ui)j = ζj,ωCi(36)где1, ζ = R + ui.(37)ωCПолученная зависимость между векторами напряжения и тока имеет вид обычного закона Ома с тою только разницей, что вместо омического сопротивления здесь входит комплексный множитель ζ, которыйназывается кажущимся сопротивлением цепи и состоит из суммы трехu = ωL −19 Символ djdtRdj,dtа символобозначает вектор, соответствующий синусоидальной величинеRjdt.jdt — вектор, соответствующий181]§ 17.
Комплексные числа559«сопротивлений»: омического R,от самоиндукции (ωLi) сопротивления1.и сопротивления от емкости ωCiФормула (36) дает вместе с тем разложение вектора v на две составляющие: Rj — по направлению j и uij — по направлению, перпендикулярному к j. Первая называется ваттной, вторая — безваттной составляющими напряжения. Эти термины станут ясными, если мы вычислимсреднюю мощность W тока нашей цепи, которая определяется как среднее арифметическое по всему периоду от мгновенной мощности vj:W =1TZTvjdt =vm jmT0ZTsin(ωt + ϕ1 ) sin(ωt + ϕ2 )dt;0ϕ1 означает здесь фазу напряжения, ϕ2 — фазу тока, так чтоv = vm sin(t + ϕ1 ),j = jm sin(ωt + ϕ2 ).Без труда находимW =vm jm2TZT[cos(ϕ1 − ϕ2 ) − cos(2ωt + ϕ2 )]dt =0=vm jmcos(ϕ1 − ϕ2 ) = vef f jef f cos(ϕ1 − ϕ2 ).2(38)Таким образом, наибольшая по абсолютному значению средняя мощность получается, когда фазы напряжения и тока совпадают или отличаются на π; наименьшая, равная нулю, мощность получается тогда, когдаэти фазы отличаются на π/2.При составлении этого выражения W безваттная составляющая uijвектора v дает среднюю мощность, равную нулю, ибо вектор uij перпендикулярен вектору j, т.
е. для него cos(ϕ1 − ϕ2 ) = 0, и вся средняя мощность, которая переходит в джоулево тепло, получается лишь от ваттной(«рабочей») составляющей.Соотношение (36) можно переписать в видеj=1v = ηv,ζгдеη=1= g + hiR + uiилиj = gv + hiv.560Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[181Комплексный множитель η называется кажущейся проводимостьюцепи, он равен обратной величине кажущегося сопротивления.
Предыдущая же формула дает разложение вектора тока на ваттную и безваттную составляющие (по направлению v и перпендикулярно к нему).2. Основные правила для вычисления сопротивления сложной цепипостоянного тока, в которую включены сопротивления последовательноили параллельно, правила, которые выводятся из законов Ома и Киргофа, остаются в силе и для цепей с переменным установившимся синусоидальным током, если только условимся мгновенные значения напряжения и тока заменить соответствующими векторами, а омическиесопротивления — кажущимися.Так, если в цепь включены последовательно кажущиеся сопротивленияζ1 = R1 + x1 i, ζ2 = R2 + x2 i, .
. . ,то векторы напряжения и тока будут связаны соотношениями:v = ζ ′ j,гдеζ ′ = ζ1 + ζ2 + . . . ,(39)т. е. при последовательном включении кажущиеся сопротивления складываются.Наоборот, если те же сопротивления включены параллельно, то мыполучим соотношениеv = ζ ′′ j,111++...,=ζ ′′ζ1ζ2где(40)т. е. при параллельном включении складываются кажущиеся проводимости.Графически построение полного кажущегося сопротивления при последовательном включении кажущихся сопротивлений ζ1 , ζ2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
