1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Пусть ищутся относительныемаксимумы и минимумы функции f (x, y, z) при наличии одной связиϕ(x, y, z) = 0. Составляем функцию Φ = f + λϕ. Положим, что, приравнивая нулю ее производные первого порядка по x, y, z и учитываяуравнение связи, мы получали значения x = x0 , y = y0 , z = z0 , λ = λ0 .Мы должны испытать полученные значения переменных, т. е. определить знак разности f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 ) при всех (x, y, z), достаточноблизких к (x0 , y0 , z0 ) и удовлетворяющих уравнению связи ϕ(x, y, z) = 0.Введем функцию ψ(x, y, z) = f (x, y, z) + λ0 ϕ(x, y, z). Из уравнения связи непосредственно следует, что вместо разности f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 )518Гл.
V. Функции нескольких переменных[168можно взять разность ψ(x, y, z)−ψ(x0 , y0 , z0 ) и исследовать ее знак. Частные производные первого порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x0 , y0 , z0 )обращаются по условию в нуль. Разлагая последнюю разность по формуле Тейлора и ограничиваясь членами со вторыми производными, получим выражение вида [ср. 165]:ψ(x, y, z) − ψ(x0 , y0 , z0 ) = a11 dx2 + a22 dy 2 + a33 dz 2 ++ 2a12 dxdy + 2a13 dxdz + 2a23 dydz + . . . ,где через aik мы обозначим значения соответствующих частных производных второго порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x0 , y0 , z0 ) и черезdx, dy, dz — приращения переменных. Положим, что ϕ′z0 (x0 , y0 , z0 ) 6= 0,так что уравнение связи определяет z = ω(x, y), причем z0 = ω(x0 , y0 ).Из уравнения связи получаемϕ′x (x, y, z)dx + ϕ′y (x, y, z)dy + ϕ′z (x, y, z)dz = 0.Подставляя значения x = x0 , y = y0 , z = z0 , выражаем dz через dx и dy:dz = −ϕ′y0 (x0 , y0 , z0 )ϕ′x0 (x0 , y0 , z0 )dx−dy.ϕ′z0 (x0 , y0 , z0 )ϕ′z0 (x0 , y0 , z0 )Подставляя это выражение dz в предыдущую формулу и собирая подобные члены, получимψ(x, y, z) − ψ(x0 , y0 , z0 ) = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy 2 + .
. .Теперь можно использовать признак максимума и минимума из [163].Так, например, если AC − B 2 > 0 и A > 0, то в точке (x0 , y0 , z0 ) функцияf (x, y, z) имеет относительный минимум. Из рассуждений, приведенныхв [163], непосредственно следует, что для обоснования указанного правила достаточно предположить, что функции f (x, y, z) и ϕ(x, y, z) имеют вточке (x0 , y0 , z0 ) и ее окрестности непрерывные производные до второгопорядка.Мы не останавливаемся более подробно на вопросе о достаточных условиях относительного максимума и минимума. Существенными в предыдущих рассуждениях являлись замена разности f (x, y, z) −f (x0 , y0 , z0 ) разностью ψ(x, y, z) − ψ(x0 , y0 , z0 ), у которой производныепервого порядка в точке (x0 , y0 , z0 ) равны нулю, а также факт, что дифференциал dz зависимого переменного определялся через дифференциалы dx, dy независимых переменных из уравнения первой степени.
Аналогичным образом надо поступать для выяснения достаточных условийи при другом числе переменных и связей.169]§ 16. Формула Тейлора519169. Примеры. 1. Требуется найти кратчайшее расстояние отточки a, b, c до плоскостиAx + By + Cz + D = 0.(32)Квадрат расстояния от данной точки (a, b, c) до переменной точки(x, y, z) выражается формулойr 2 = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 .(33)В данном случае координаты (x, y, z) должны удовлетворять уравнению(32) (точка должна находиться на плоскости).
Найдем минимум выражения (33) при условии (32). Составляем функциюΦ = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 + λ1 (Ax + By + Cz + D).Приравнивая нулю ее частные производные по x, y, z, получимx=a−1λ1 A,2y =b−1λ1 B,2z =c−1λ1 C.2(34)Подставляя эти значения в условие (32), можем определить λ1 :λ1 =2(Aa + Bb + Cc + D).A2 + B 2 + C 2(35)Мы получили единственный ответ, и так как наименьшее значениедолжно существовать, то ему и должны соответствовать найденные значения переменных. Подставляя значения (34) в выражение (33), получаем выражение для квадрата расстояния от точки до плоскости:r02 =1 2 2λ1 (A + B 2 + C 2 ),4где λ1 определяется по формуле (35).2. Разложить данное положительное число a на три положительных слагаемых x, y, z так, чтобы выражениеxm y n z p(36)был наибольшим (m,n,p — данные положительные числа).Найдем максимум выражения (36) при условииx + y + z = a.(37)520Гл.
V. Функции нескольких переменных[169Вместо максимума выражения (36) можно искать максимум его логарифмаm log x + n log y + p log z.Составляем функциюΦ = m log x + n log y + p log z + λ1 (x + y + z − a).Приравнивая нулю ее частные производные, получимx=−m,λ1y=−n,λ1z=−p,λ1и соотношение (37) даетλ1 = −m+n+p,aто естьx=ma,m+n+py=na,m+n+pz=pa,m+n+p(38)причем найденные значения переменных суть положительные числа.Можно показать, что при поставленных условиях выражение (36) должно иметь наибольшее значение, и единственность ответа показывает, каки в примере 1, что найденным значениям переменных и соответствует,именно, наибольшее значение выражения (36).Формулы (38) показывают, что для решения задачи число a надоразбить на части, пропорциональные показателям m, n и p.Предлагаем читателю в последних двух примерах провести исследование достаточных условий по методу, указанному в предыдущем параграфе.3.
Проводник длины l0 разветвляется на одном из своих концовна k отдельных проводников длинls (s = 1, 2, . . . , k), причем сила тока в соответствующих частях проводника есть i0 , i1 , . . . , ik . СпрашиРис. 167.вается, как надо выбрать площадипоперечных сечений q0 , q1 , . . . , qk отдельных частей проводника для того, чтобы при данной разности потенциалов E для цепей (l0 , l1 ), (l0 , l2 ),. . . , (l0 , lk ) пошло наименьшее количество материала V (рис. 167).169]§ 16. Формула Тейлора521Обозначим буквою c сопротивление проволоки из данного вещества,длина которой и площадь поперечного сечения равны единице.Функция V переменных q0 , q1 , .
. . , qk , наименьшее значение которойищется, будетV = l0 q0 + l1 q1 + . . . + lk qk .Принимая во внимание данную разность потенциалов E, можем написать k соотношенийls isl0 i0+− E = 0 (s = 1, 2, . . . , k).(39)ϕs = cq0qsСоставим функциюΦ = (l0 q0 + l1 q1 + . . . + lk qk ) +kX ls isl0 i0+−E .λs cq0qss=1Приравнивая нулю частные производные от Φ по q0 , q1 , . . . , qk , получимcl0 i0l0 − 2 (λ1 + λ2 + .
. . + λk ) = 0,q0(40)λs cls is=0(s=1,2,...,k).ls −qs2Из условий (39) получимl2 i2El0 i0l1 i1lk ik== ... ==−;q1q2qkcq0обозначив буквою σ общую величину этих отношений, можем написатьqs =ls isσ(s = 1, 2, . . . , k),σ=l0 i0E−.cq0Из уравнений (40) имеемλs =l2 isqs2= s 2.ciscσПодставив эти выражения λs в первое из уравнений (40), получимq02 =илиq0 =i0 2(l1 i1 + l22 i2 + . . . + lk2 ik ),σ2pi0 (l12 i1 + l22 i2 + . . . + lk2 ik )Ec−l0 i0q0,(41)522Гл. V. Функции нескольких переменных[169откуда окончательноq0 =c[l0 i0 +Eqi0 (l12 i1 + l22 i2 + .
. . + lk2 ik )].Подставляя это выражение q0 в соотношения (41), получим для q1 , q2 ,. . . , qk :l0 i0cls is 1+ p(s = 1, 2, . . . , k).qs =222Ei0 (l1 i1 + l2 i2 + . . . + lk ik )Таким образом, необходимые условия максимума и минимума V дают нам единственную систему положительных значений для q0 , q1 , . . . ,qk ; но из физических соображений ясно, что при некотором выборе площадей поперечных сечений должно получаться наименьшее количествоматериала, и можно утверждать, что полученные значения q0 , q1 ,. . . , qkи дадут решения задачи.Г Л А В А VIКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛАВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫИ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ§ 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА170.
Комплексные числа. Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательногочисла не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи сэтим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новыхчисел более общей природы, частным случаем которых являютсявещественные числа.
При этом существенно определить эти числа идействия над ними таким образом, чтобы для новых чисел осталисьв силе все основные законы действий, известные для вещественныхчисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным.Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе.Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениямипри расширении понятия о числе.524Гл.
VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .[170Мы знаем, что всякое вещественное число графически можноизобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, илиже как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начала координат; обратно — всякому отрезку или точкена оси OX соответствует определенное вещественное число.Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY , то, обобщивнадлежащим образом понятие о числе, мы получим возможностькаждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.Если условимся не различать между собой векторы, равные подлине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует вещественное число единица.Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY , сопоставим символ i, называемой мнимой единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
