1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть нам удалоськаким-нибудь образом получить выражение полного дифференциала dzфункции двух независимых переменных x и y в видеdz = pdx + qdy.С другой стороны, мы знаем, чтоdz = zx′ dx + zy′ dy.Сравнивая эти два выражения, получимpdx + qdy = zx′ dx + zy′ dy.488Гл. V. Функции нескольких переменных[158Но dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, суть величины произвольныe. Полагая dx = 1 и dy = 0 или dx = 0 и dy = 1,получимp = z ′ и q = zy′ .Итак, если полный дифференциал функции z двух независимых переменных x и y может быть представлен в видеdz = pdx + qdy,то p = zx′ и q = zy′ .Теорема эта справедлива и для функции любого числа независимыхпеременных.
Совершенно так же можно показать, что если дифференциалвторого порядка может быть представлен в видеd2 z = rdx2 + 2sdxdy + tdy 2 ,′′и t = zy′′2 .то r = zx′′2 , s = zxyВернемся теперь к рассмотренному примеру. Вместо того, чтобыопределять производные левой части соотношения (18) по x и y, определим ее дифференциал, помня, что выражение первого дифференциалане зависит от выбора независимых переменных [153]:axdx + bydy + czdz = 0,(20)откудаbyaxdx − dy,czczи, следовательно, в силу доказанной теоремы,dz = −zx′ = −axczиzy′ = −by.czОпределим теперь дифференциал левой части соотношения (20), принимая во внимание, что dx и dy должны считаться при этом постоянными:adx2 + bdy 2 + cdz 2 + czd2 z = 0илиd2 z = −b1ab1 axby a 2dx − dy 2 − dz 2 = − dx2 − dy 2 −dx + dy 2 =czczzczczz czczacz 2 + a2 x2 2abxybcz 2 + b2 y 2 2dx − 2 2 3 dxdy −dy ,=−a2 z 3x zc2 z 3159]§ 15. Производные и дифференциалы функции489и, следовательноzx′′2 = −acz 2 + a2 x2,c2 z 3′′zxy=−abxy,c2 z 3zy′′2 = −bcz 2 + b2 y 2.c2 z 3Таким образом, определив дифференциал некоторого порядка, мыполучим все частные производные соответствующего порядка.159.
Существование неявных функций. Наши рассуждения носили формальный характер. Мы предполагали во всех случаях, что соответствующее уравнение или система уравнений определяют неявнымобразом некоторую функцию, имеющую производную. Сейчас докажемосновную теорему существования неявных функций.Рассмотрим уравнениеF (x, y) = 0(21)и укажем те условия, при которых оно определяет единственным образомy как функцию от x, непрерывную и имеющую производную.Т е о р е м а. Пусть x = x0 и y = y0 — решение уравнения (21), т. е.F (x0 , y0 ) = 0;(22)пусть F (x, y) и ее частные производные первого порядка по x и y —непрерывные функции при всех x и y, достаточно близких к x0 и y0 ,и пусть, наконец, частная производная Fy′ (x, y) отлична от нуля приx = x0 , y = y0 .
При этом существует при всех x, достаточно близких к x0 , одна определенная функция y (x), удовлетворяющая уравнению(21), непрерывная, имеющая производную и удовлетворяющая условию:y(x0 ) = y0 .Положим для определенности, что Fy′ (x, y) > 0 при x = x0 , y = y0 .Так как по условию эта производная непрерывна, то она будет положительной и при всех значениях x и y, достаточно близких к x0 и y0 ,т.
е. существует такое положительное число l, что F (x, y) и ее частныепроизводные непрерывны иFy′ (x, y) > 0(23)при всех x и y, удовлетворяющие условию|x − x0 | 6 l,|y − y0 | 6 l.(24)Далее, функция F (x0 , y) одной переменной y обращается в нуль приy = y0 , в силу (22). И есть возрастающая функция от y в промежутке490Гл. V. Функции нескольких переменных[159(y0 − l, y0 + l), в силу (23) и (24). Таким образом, числа F (x0 , y0 − l) иF (x0 , y0 + l) будут разных знаков: первое — отрицательное, а второе —положительное.
Принимая во внимание непрерывность функции F (x, y),мы можем утверждать [67], что F (x, y0 − l) будет отрицательным, аF (x, y0 + l) — положительным при всех x, достаточно близких к x0 , т. е.существует такое положительное число l1 , чтоF (x, y0 − l) > 0иF (x, y0 + l) > 0(25)при |x − x0 | 6 l1 . Обозначим через m наименьшее из двух чисел: l и l1 .Принимая во внимание (24) и (25), мы можем утверждать, что выполнены неравенства (23) и (25), если x и y удовлетворяют неравенствам|x − x0 | 6 m,|y − y0 | 6 l.(26)Если возьмем какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке(x0 − m, x0 + m), т. е.
удовлетворяющее первому из неравенств (26), тоF (x, y), как функция от y, будет в силу (23) возрастающей функцией впромежутке (y0 − l, y0 + l), и, в силу (25), будет разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль приодном определенном значении y из этого промежутка. В частности, еслиx + x0 , то, в силу (22), это значение y будет y = y0 . Мы доказали, таким образом, существование в промежутке (x0 −m, x0 +m) определеннойфункции y(x), являющейся решением уравнения (21) и удовлетворяющейусловию y(x0 ) = y0 .
Иначе говоря, из предыдущих рассуждений следует, что при всяком фиксированном x из промежутка (x0 − m, x0 + m)уравнение (21) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка (y0 − l, y0 + l).Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывнойпри x = x0 . Действительно, при любом заданном малом положительномε числа F (x0 , y0 − ε) и F (x0 , y0 + ε) будут, в силу (25), разных знаков, а следовательно, будет существовать такое положительное η, чтоF (x, y0 − ε) и F (x, y0 + ε) — разных знаков, если только |x − x0 | < η, т. е.иначе говоря, при |x − x0 | < η корень уравнения (21), т. е. значение найденной функции y(x), удовлетворяет условию |y−y0 | < ε, что доказываетнепрерывность y(x) при x = x0 .Покажем теперь существование производной y ′ (x) при x = x0 . Пусть∆x = x − x0 и пусть ∆y = y − y0 есть соответствующее приращение y.Следовательно, x = x0 + ∆x и y = y0 + ∆y удовлетворяют уравнению(21), т.
е. F (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = 0, и в силу (22) можем написатьF (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − F (x0 , y0 ) = 0.159]§ 15. Производные и дифференциалы функции491Принимая во внимание непрерывность частных производных, можемпереписать это равенство так [68]:[Fx′ 0 (x0 , y0 ) + ε1 ]∆x + [Fy′ 0 (x0 , y0 ) + ε2 ]∆y = 0,(27)где ε1 и ε2 → 0, если ∆x и ∆y → 0, и где мы обозначили через Fx′ 0 (x0 , y0 )и Fy′ 0 (x0 , y0 ) значения частных производных при x = x0 , y = y0 . Издоказанной выше непрерывности следует, что ∆y → 0, если ∆x → 0.Уравнение (27) дает намFx′ (x0 , y0 ) + ε1∆y= − ′0;∆xFy0 (x0 , y0 ) + ε2переходя к пределу при ∆x → 0, получимy ′ (x0 ) = −Fx′ 0 (x0 , y0 ).Fy′ 0 (x0 , y0 )Мы доказали непрерывность и существование производной функцииy(x) только при x = x0 . Если мы возьмем какое-либо другое значениеx из промежутка (x0 − m, x0 + m) и соответствующее значение y изпромежутка (y0 − l, y0 + l), являющееся корнем уравнения (21), то дляэтой пары значений x, y опять выполнены все условия нашей теоремы, ив силу доказанного y(x) будет непрерывной и будет иметь производнуюпри взятом значении x из упомянутого промежутка.Совершенно так же, как и выше, формулируется и доказывается теорема о существовании неявной функции z(x, y), определяемой уравнениемΦ(x, y, z) = 0.Рассмотрим теперь системуϕ(x, y, z) = 0,ψ(x, y, z) = 0,(28)определяющую y и z как функции от x.Для этого случая имеет местоТ е о р е м а.
Пусть x = x0 , y = y0 , z = z0 — решение системы (28),пусть ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) и их частные производные первого порядка —непрерывные функции (x, y, z) при всех значениях этих переменных, достаточно близких к (x0 , y0 , z0 ), и пусть выражениеϕ′y (x, y, z)ψz′ (x, y, z) − ϕ′z (x, y, z)ψy′ (x, y, z)492Гл.
V. Функции нескольких переменных[160отлично от нуля при x = x0 , y = y0 , z = z0 . При этом существует при всех значениях x, достаточно близких к x0 , одна определеннаясистема двух функций y(x), z(x), удовлетворяющая уравнениям (28)непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию y(x0 ) = y0 , z(x0 ) = z0 .На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. В третьем томе мы рассмотрим общий случай любого числа функций с любымчислом переменных.160. Кривые в пространстве и поверхности. Начнем с указания некоторых фактов, известных из аналитической геометрии.Пусть трехмерное пространство отнесено к прямолинейным прямоугольным осям OX, OY , OZ, так что всякая точка определяетсякоординатами x, y, z.
Пусть a, b, c — какая-либо тройка чисел, причем по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Такой тройкечисел соответствует два прямо противоположных направления впространстве, у которых направляющие косинусы (косинусы углов,образованных этими направлениями с осями OX, OY , OZ) пропорциональны числам (a, b, c).Упомянутые косинусы выражаются формулами:cos α =a√,2± a + b 2 + c2cos γ =cos β =b√,2± a + b 2 + c2c√.2± a + b 2 + c2Выбор знака у радикала (верхнего или нижнего) определяет одно из прямо противоположных направлений.Пусть имеются две тройки чисел (a, b, c) и (a1 , b1 , c1 ).
Равенствоaa1 + bb1 + cc1 = 0выражает условие перпендикулярности соответствующих этимтройкам чисел направлений.∗Как известно из аналитической геометрии, всякому уравнениюс тремя переменнымиF (x, y, z) = 0(29)∗Имеются в виду вектора с координатами (a, b, c) и (a1 , b1 , c1 ).160]§ 15. Производные и дифференциалы функции493или в явной формеz = f (x, y)(30)соответствует, вообще говоря, некоторая поверхность в пространстве, отнесенном к прямоугольным осям OX, OY , OZ.Линия в пространстве может быть рассматриваема, как пересечение некоторых двух поверхностей, и может быть, следовательно,определена совокупностью двух уравненийF1 (x, y, z) = 0,F2 (x, y, z) = 0.(31)Иначе кривую можно определить в параметрической форме уравнениями:x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ω(t).(32)Длина дуги кривой, как и в случае плоской кривой, определяетсякак предел периметров ломаных линий, вписанных в эту дугу, прибеспредельном уменьшении каждой из сторон этой ломаной.
Рассуждения, которые мы не будем приводить, так как они совершенноаналогичны рассуждениям [103] в случае плоской кривой, показывают, что длина дуги выражается определенным интеграломs=(MZ 2)(m1 )t2Z pp222(dx) + (dy) + (dz) =ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t)dt, (33)t1где t1 и t2 суть значения параметра t, соответствующие концам M1и M2 дуги, и дифференциал дуги имеет выражениеp(34)ds = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .Если роль параметра t играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от некоторой определенной точки ее, что совершенно также, как это мы делали в случае плоской кривой [70], можно покаdy dzзать, что производные dxds , ds , ds равны направляющим косинусамкасательной к кривой, т.
е. равны косинусам углов, образованныхположительным направлением этой касательной с осями координат.494Гл. V. Функции нескольких переменных[160Принимая во внимание (32) и (33), мы получаем для этих косинусов формулы:ϕ′ (t)cos α = p,′2′2′2± ϕ (t) + ψ (t) + ω (t) ′ψ (t)cos β = p,(35)± ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t) ω ′ (t)cos γ = p± ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) + ω ′2 (t)при соответствующем выборе знака у радикала, зависящем от выбора направления касательной.Выше мы считали, что функции (32) имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из них отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
