1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Отметим еще, что из равномерной сходимости sn (x)в промежутке (a, b) непосредственно следует и равномерная сходимостьв любой части (a, b).Понятие о равномерной сходимости последовательностей может бытьистолковано и геометрически. Если мы изобразим графически функцииs(x) и sn (x) при различных значениях n, то для равномерно сходящейсяпоследовательности наибольший отрезок ординаты, заключенной между18∗ В данном случае речь идет о поточечной сходимости функциональнойпоследовательности так как предел (44) рассматривается при каждом значениипеременной x как предел обычной числовой последовательности.450Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [144кривыми sn (x) и s(x), должен стремиться к нулю, при n → ∞ для всех xиз (a, b); для неравномерно сходящейся последовательности это условиене будет выполнено.Обстоятельство это наглядно проверяется на рис. 159 и 160, сделанных 16 для разобранных выше примеров:1, sn (x) = xn .sn (x) =x+nРис.
159.Рис. 160.В случае рис. 160 предельная функция s(x) графически изображается отрезком (0, 1) оси OX, исключая точку 1, и отдельной точкой скоординатами (1, 1).Правда, в последнем примере предельная функция s(x) не непрерывна. Но нетрудно привести пример сходящейся последовательности, предельная функция которой непрерывна, но которая тем не менее сходитсянеравномерно. Таким свойством обладает хотя бы последовательность(рис. 161)nx(0 6 x 6 a).(48)sn (x) =1 + n2 x2Мы имеем, очевидно, при x 6= 0:1xnx=1 + n2 x2n n12 + x216 Для большей наглядности рис. 159 и 160 выполнены в разных масштабахдля x и y.145]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов451и, при n → ∞, первый множитель справа n1 → 0, а второй стремится к x1 ,т. е. sn (x) → 0 при x 6= 0. При x = 0, очевидно, sn (0) = 0 при всяком n,и, следовательно, при всех x из (0, a), где a — некоторое положительноечисло,s(x) = lim sn (x) = 0.n→∞Однако максимальная величина отрезка ординаты между кривымиsn (x) и s(x), которая в рассматриваемом случае приводится просто кординате кривой sn (x) так как s(x) = 0, будет 12 и будет соответствоватьзначению x = n1 .
Так как она не стремится к нулю при n → ∞, топоследовательность (48) небудет равномерно сходящейся в промежутке (0, a); и,действительно, если мы хотим, чтобы было|s(x)−sn (x)| =nx< ε,1 + n2 x2то, решая относительно nнеравенство 2-й степениxn + x2 n2εи считая ε достаточно малым, получим0 <1−n>Рис. 161.p1[1 + 1 − 4ε2 ] = N (x).2xεФункция эта возрастает беспредельно при x → 0, что и обуславливаетнеравномерную сходимость последовательности.Заметим, наконец, что те же рис. 160 и 161 показывают, что последовательность xn равномерно сходится в промежутке (0, q), где q — любоеnxположительное число, меньшее единицы, а последовательность 1+n2 x2равномерно сходится в промежутке (q, a), где 0 < q < a, в чем нетрудноубедиться и непосредственным вычислением.145.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей.1. Предельная функция равномерно сходящейся в промежутке (a, b) последовательности непрерывных функций также непрерывна.Пустьs1 (x), s2 (x), . . . , sn (x), . . .452Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [145— данная последовательность функций, причем все они непрерывны впромежутке (a, b), и пустьs(x) = lim sn (x)n→∞ее предельная функция.
Нам нужно доказать, что, задав наперед скольугодно малое положительное число ε, можно найти такое число δ, чтобыбыло [35]:|s(x + h) − s(x)| < ε, если |h| < δ,(49)при условии, что оба числа x и x + h лежат в промежутке (a, b). Мыможем писать при любом n:|s(x + h) − s(x)| == |[s(x + h) − sn (x + h)] + [sn (x + h) − sn (x)] + [sn (x) − s(x)]| 66 |s(x + h) − sn (x + h)| + |s(x) − sn (x)| + |sn (x + h) − sn (x)|.В силу определения равномерной сходимости мы можем выбрать nнастолько большим, чтобы во всем промежутке (a, b), в том числе и призначениях x и x + h, было|s(x + h) − sn (x + h)| <ε,3|s(x) − sn (x)| <ε.3Выбрав так n и фиксировав его, в силу непрерывности функции sn (x)[35], мы можем найти такое число δ, чтобы было|sn (x + h) − sn (x)| <ε,3если|h| < δ.Сопоставив все эти неравенства, мы и получим неравенство (49).Если последовательность функций сходится неравномерно, то предельная функция может и не быть непрерывной, примером чего можетслужить хотя бы последовательность xn в промежутке (0, 1).Обратное утверждение, однако, неверно, — и для неравномерно сходящейся последовательности предельная функция может быть непрерывной, например, для последовательности:nx.1 + n2 x22.
Еслиs1 (x),s2 (x),...,sn (x),...145]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов453есть равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в промежутке (a, b) функций и (α, β) — любой промежуток, лежащий в(a, b), тоZβZβsn (x)dx → s(x)dx, n → ∞(50)ααили, иначе,limn→∞Zβsn (x)dx =αZβlim sn (x)dx.n→∞(51)αЕсли пределы интегрирования переменные, например, β = x, то последовательность функцийZxsn (t)dt (n = 1, 2, 3, . . .)(52)αтакже сходится равномерно в промежутке (a, b).
Процесс этот называется переходом к пределу под знаком интеграла.∗Заметим прежде всего, что в силу свойства 1) предельная функцияs(x) также непрерывна. Рассмотрим теперь разностьZβs(x)dx −Zβsn (x)dx =ααZβ[s(x) − sn (x)]dx.αЗадав число ε, мы можем, в силу равномерной сходимости, найти такоечисло N , чтобы при всех значениях n > N , во всем промежутке (a, b)мы имели|s(x) − sn (x)| < ε,а потому [95], (101 )Zβ Zβ Zβ [s(x) − sn (x)]dx 6 |s(x) − sn (x)|dx| < εdx = ε(β − α) 6 ε(b − a).αααИтак, для любого промежутка (α, β), заключающегося в (a, b), имеемZβ Zβ s(x)dx − sn (x)dx < ε(b − a)α∗αТакое действие также называется перестановкой знаков предела и интеграла.454Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [145при n > N . Правая часть неравенства не зависит от α и β и стремитсяк нулю, если ε → 0. Ввиду произвольности ε мы можем формулироватьрезультат так: при любом заданном положительном ε1 существует N , независящее от α и β, такое, чтоZβ Zβ s(x)dx − sn (x)dx < ε1ααпри n > N . Отсюда непосредственно вытекает формула (50). Полагаяβ = x и принимая во внимание независимость N от β, видим, что последовательность (52) сходится равномерно для всех x из (a, b).Для неравномерно сходящихся последовательностей эта теорема может оказаться и неверной.
Пусть, например,2sn (x) = nxenx (0 6 x 6 1)(рис. 162). Нетрудно показать, разбирая отдельнослучаи x > 0 и x = 0, чтопри всяком x в промежутке(0, 1)sn (x) → 0приn → ∞,так что здесь s(x) = 0. Последовательность эта, однако, не может быть равномерно сходящейся, так какнаибольшая ордината кривой y = sn (x), или, что тоже самое, наибольшая величина разности sn (x) − s(x),которая получается при x =Рис. 162.√1 ,2nвозрастает беспредельно при n → ∞.С другой стороны, мы имеемZ10sn (x)dx = nZ1022 1111xe−nx dx = − e−nx = (1 − e−n ) → ,2220145]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов455в то время какZ1s(x)dx = 0.03. Если функции последовательностиs1 (x),s2 (x),...,sn (x),......,s′n (x),...имеют непрерывные производныеs′1 (x),s′2 (x),в промежутке (a, b), причем последовательность s′n (x) равномерно сходится к предельной функции σ(x), а последовательности sn (x) сходится к предельной функции s(x),∗ то sn (x) также сходится равномерноиds(x),(53)σ(x) =dxили иначеd limn→∞ sn (x)dsn (x)=.(54)limn→∞dxdxПроцесс этот называется переходом к пределу под знаком производной.Пусть α — любое постоянное, x — переменное значение на промежутке(a, b).
В силу свойства 2) мы имеемlimn→∞Zxs′n (x)dx =αНоZxZxσ(x)dx.αs′n (x)dx = sn (x) − sn (α) → s(x) − s(α),αа потому предыдущая формула даетs(x) − s(α) =Zxα∗То есть сходится поточечно.σ(x)dx.456Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [146Дифференцируя это равенство и пользуясь известными свойствамиопределенного интеграла (свойство VII) [95], мы имеемds(x)= σ(x),dxчто и требовалось доказать. Остается доказать равномерную сходимостьпоследовательности sn (x). Имеемsn (x) = sn (α) +Zxs′n (x)dx.αПоследовательность sn (α) сходится и вовсе не содержит x.
ПоследоRxвательность s′n (x)dx сходится равномерно в силу свойства 2). Отсюдаαи вытекает равномерная сходимость sn (x), так как из определения равномерной сходимости непосредственно вытекает, что сумма двух равномерно сходящихся последовательностей есть также равномерно сходящаяся последовательность. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность, члены которой не содержат x, как, например, sn (α), подходит подопределение равномерно сходящейся последовательности.Заметим еще, что мы доказали равномерную сходимость sn (x) вовсем промежутке (a, b), используя лишь равномерную сходимость s′n (x) исходимость sn (α), и, следовательно, при формулировке последнего свойства достаточно потребовать сходимости sn (x) в одной точке x = a. Отсюда, как мы уже сказали, будет вытекать равномерная сходимость sn (x)во всем промежутке (a, b).146.
Свойства равномерно сходящихся рядов. Если в предыдущих предложениях мы будем считать sn (x) суммой n первых членовданного рядаu1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . . ,а s(x) — суммой всего ряда, то непосредственно получим аналогичныепредложения для рядов с переменными членами.1. Если члены рядаu1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . .(55)непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходится равномерно,то и сумма его s(x) есть непрерывная функция в промежутке (a, b).147]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов4572. Если члены ряда (55) непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходятся равномерно, то его можно почленно интегрироватьмежду какими угодно пределами α, β, лежащими в промежутке (a, b),т.
е.βZβ X∞∞ ZXun (x)dx =un (x)dx.(56)α n=1n=1 αЕсли пределы интегрирования переменные, например, β = x, то ряд,который получается почленным интегрированиемZxαu1 (x)dx +Zxu2 (x)dx + . . . +αZxun (x)dx + . . . ,(57)αтакже равномерно сходится в промежутке (a, b).3. Если ряд (55) сходится в промежутке (a, b) и его члены имеютнепрерывные в промежутке (a, b) производные u′1 (x), . . . , u′n (x), . . .
,причем ряд, составленный из производныхu′1 (x) + u′2 (x) + . . . + u′n (x) + . . . ,сходится равномерно в промежутке (a, b), то и данный ряд сходитсяравномерно и его можно дифференцировать почленно, т. е.∞∞Xdun (x)d X.un (x) =dx n=1dxn=1При выводе эти предложений из теорем [145] надо только иметь в виду, что указанные в предложениях свойства имеют, как мы уже знаем,место в случае конечного числа слагаемых. Так, например, если членыряда un (x) суть непрерывные функции, то и функцииsn (x) = u1 (x) + u2 (x) + .
. . + un (x)непрерывны при любом n [34].147. Признаки равномерной сходимости. Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости.Ряд функций, определенных в промежутке (a, b):u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . . ,458Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [147сходится равномерно в промежутке (a, b), если выполнено одно из следующих условий:(А) Можно найти последовательность положительных постоянныхM1 , M2 , . . . , Mn , . . .таких, чтои рядв промежутке|un (x)| 6 Mn(a, b)M1 + M2 + . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
