1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 61
Текст из файла (страница 61)
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [13115·15410··154109153× 128= 0, 023 4375 × 0, 2 = 0, 004 687= 0, 2= 0, 08= 0, 04823× 128= 0, 000 549 × 0, 08 = 0, 000 04433× 128= 0, 000 013 × 0, 048 = 0, 000 0010,004 7321 − 0, 004 732 = 0, 995 268×43, 981 0722. Приближенное вычисление длины эллипса. В [103] было полученоследующее выражение для длины l эллипса с полуосями a и b:ππl=4Z/2p2a2 sin t + b2 cos2 tdt = 4aZ/2rsin2 t +b2cos2 tdta200[формула (22)]. Вводя в рассмотрение эксцентриситет ε эллипсаε2 =a 2 − b2,a2b2= 1 − ε2 ,a2получаем:πl = 4aZ/2p1 − ε2 cos2 tdt.(29)0Интеграл этот точно вычислить нельзя, но его можно вычислить с какой угодно степенью точности, разложив12 подынтегральную функциюв ряд по степеням ε:1 1−1p2211 − ε2 cos2 t = 1 − ε2 cos2 t +ε4 cos4 t−21·21 1− 1 12 − 22 2ε6 cos6 t + .
. . =−1·2·3111 6ε cos6 t + R3 ,= 1 − ε2 cos2 t − ε4 cos4 t −281612 Разложение это, наверно, возможно, так как для эллипса ε < 1, и потомуслагаемое −ε2 cos2 t, которое играет здесь роль x в формуле бинома Ньютона, по абсолютному значению меньше единицы при этом разложении вообщеговоря подразумевается, что ε мало.131]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения411причем ошибка R3 , если ее оценить по формуле (23) при n = 3, удовлетворяет неравенству|R3 | =12· 12 · 23 ·1·2·352ε8 cos8 tтак как0<и311−θ(1 − θε2 cos2 t) 2 −1 <1 − θε2 cos2 t5 ε8 cos8 t√<,32 1 − ε231−θ<1221 − θε cos t1(30)1(1 − θε2 cos2 t) 2 −1 < (1 − ε2 cos2 t)− 2 .Подставив это выражение в (29) для l, интегрируя и вспомнив формулы (27) [100], находимπππ000ππ00 Z/2Z/2Z/2Z/2Z/2111 6ε cos6 tdt + R3 dt =l = 4adt − ε2 cos2 tdt − ε4 cos4 tdt −2816i3 45 61ε −ε +ρ ,= 2πa 1 − ε2 −464256h(31)где, в силу формулы (101 ) [95] и неравенства (30),π Zπ/2Z/282 5ε20, 05ε8175ε8√R3 dt <cos8 tdt = 12 √<√.|ρ| = π32 1 − ε2 π21 − ε21 − ε200Формула (31) сама по себе удобна для вычисления длины эллипса,особенно для малых эксцентриситетов.
Основываясь на ней, можно указать простое геометрическое построение приближенного выражения длядлины эллипса, при котором нужно иметь дело только с окружностями.Обозначим через l1 и l2 , соответственно, среднее арифметическое исреднее геометрическое полуосей эллипса:l1 =a+b,2l2 =√abи сравним длину l эллипса с длинами 2πl1 , 2πl2 двух окружностей радиусов l1 и l2 .Замечая, чтоppp√aa+b4= [1 + 1 − ε2 ],ab = a 1 − ε2 ,b = a 1 − ε2 ,22412Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131и разлагая в ряды по формуле бинома Ньютона, получим без труда следующие выражения:ih1 41 61ε −ε + ρ1 ,(32)2πl1 = 2πa 1 − ε2 −41632ih3 47 61ε −ε + ρ2 ,(33)2πl2 = 2πa 1 − ε2 −432128причем ошибки ρ1 и ρ2 , если их оценить по формуле (23), удовлетворяютнеравенствам:|ρ1 | <ε85√,32 1 − ε2|ρ2 | <77ε8.512 (1 − ε2 )3 /4Отсюда ясно, что при малом эксцентриситете, когда можно пренебречь высшими степенями ε по сравнению с ε2 , можно принять за длину эллипса длину любой из двух окружностей, радиусы которых равнысреднему арифметическому или среднему геометрическому полуосей.Если желательна бо́льшая точность, составим выражениеα · 2πl1 + β · 2πl2 ,(34)подобрав множители α и β так, чтобы по возможности большее числочленов в выражениях (31) и (34) совпадали между собой.
Так как первыедва члена каждого из выражений (31), (32) и (33) совпадают, то, преждевсего, должно бытьα + β = 1.Приравнивая, далее, между собой коэффициенты при ε4 в выражениях (31) и (34), получаем3β3α+=163264или4α + 6β = 3.Решая полученные два уравнения относительно α и β, находимα=3,21β=− .2Подставив это в (34), имеем1 l1 − l2 =223 45 6 31 1= 2πa 1 − ε2 −ε −ε + ρ1 − ρ2 ,46425622α · 2πl1 + β · 2πl2 = 2π3(35)132]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения413т. е.
оказывается, что совпадают члены не только с ε4 , но и с ε6 , и расхождение формул (31) и (35) начинается только с членов с ε8 . Принявво внимание найденные выше оценки для ρ, ρ1 и ρ2 и заметив, что√11 − ε2и11<,1 − ε2(1 − ε2 )3 /417577 15 3· +· < 0, 4,+21232 2512 28можем окончательно сказать: с ошибкой, не превосходящей 0,4ε, за дли1−ε2ну эллипса с полуосями a, b и эксцентриситетом ε можно принятьдлину окружности радиуса r, причемr=1√3a+b−ab.2 22132. Разложение log(1 + x).13 Это разложение можно получить из общей теории, но мы применим другой способ, который суспехом употребляется и во многих других случаях.Выразим log(1 + x) в виде определенного интеграла.
Мы имеем,очевидно, при x > −1:Zx0то естьxdt= log(1 + t) = log(1 + x) − log 1 = log(1 + x),1+t0log(1 + x) =Zxdt.1+t0Но имеет место тождество(−1)n tn1= 1 − t + t2 − t3 + . . . + (−1)n−1 tn−1 +,1+t1+tкоторое непосредственно получается, если делить единицу на 1 + tи остановиться на остатке (−1)n tn . Таким образом,13 Функция log x не может быть разложена в ряд по степеням x, так как приx = 0 она сама и ее производные терпят разрыв непрерывности и обращаютсяв бесконечность.414Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [132log(1 + x) =Zxdt=1+t0=Zx01 − t + t2 − t3 + . . . + (−1)n−1 tn−1 +=x−(−1)n tn idt =1+tx3x4(−1)n−1 xnx2+−+ ...++ Rn (x),234nгдеnRn (x) = (−1)Zxtn dt.1+t(36)0Рядx−x3x2(−1)n−1 xn+− ...++ ...,23nдля которого u n−1 n |x| → |x| при=un−1nn → ∞,наверно расходящийся при |x| > 1 (следствие [121]), а потому нужнорассматривать только случай |x| < 1, x = ±1. При этом случайx = −1 также должен быть отброшен, ибо при x = −1 функцияlog(1 + x) обращается в бесконечность.Итак, остаются случаи: 1) |x| < 1 и 2) x = 1. В случае 1), применяя к выражению (36) для Rn (x) теорему о среднем [95] и принимаяво внимание, что tn не меняет знака при изменении t от 0 до x, имеем(−1)nRn (x) =1 + θxZxtn dt =(−1)n xn+1(n + 1)(1 + θx)0откуда, в силу условия |x| < 1, следует|Rn (x)| <11.n + 1 1 + θx(0 < θ < 1),(37)132]§ 13.
Формула Тейлора и ее приложения4151Множитель 1+θxв правой части предыдущего неравенства остается ограниченным при всех значениях n, так как заключается1, не зависящими от n, а потому при расмежду пределами 1 и 1+xсматриваемых значениях xRn (x) → 0 приn → ∞.Тот же результат мы получим и в случае 2), когда x = 1. Та жеформула (37) при x = 1 показывает|Rn (1)| =111<,n+11+θn+1т.
е. опятьRn (1) → 0 приИтак, разложениеlog(1 + x) = x −n → ∞.x3x3(−1)n−1 xn+− ...++ ...23n(38)имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих неравенствам−1 < x 6 +1.(39)В частности, при x = 1 имеем равенствоlog 2 = 1 −1 1(−1)n−1+ − ... ++ ...,2 3nо котором уже было упомянуто выше [123]. Формула (38) непосредственно для вычисления логарифмов не годится, так как в нейпредполагается, что x удовлетворяет неравенствам (39) и, крометого, ряд в правой части ее сходится недостаточно быстро. Ее можно преобразовать в более удобный для вычислений вид.
Для этогоподставим в равенствоlog(1 + x) = x −x3x3+− ...23(−x) вместо x, что даетlog(1 − x) = −x −x3x3−− ...23(|x| < 1),416Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [132и вычтем почленно. Мы получимlogx51+xx3=2 x+++ ...1−x35(|x| < 1).Положив здесьмы имеемloga+zz1+x= 1+ =,1−xaax=z,2a + z(40)1z31z5a+zz=2+ ·++...,a2a + z3 (2a + z)35 (2a + z)5илиlog(a + z) = log a + 21z3z++....2a + z3 (2a + z)3(41)Эта формула годится уже при всех положительных значенияхzзаключается между нулем иa и z, так как при этом x = 2a+zединицей. Она тем более удобна для вычисления, чем меньше дробьz2a+z , или, что то же, чем меньше z по сравнению с a.Формула (41) весьма полезна для вычисления логарифмов.
Хотя фактически таблица логарифмов была вычислена не с помощью рядов, которые во времена Непера и Бригга были еще неизвестны, все же формула (41) может с успехом применяться для проверки и для быстроговычисления таблицы логарифмов. Положим в (41) z = 1 и возьмем последовательно a = 15, 24, 80, мы получимh1i1+log 16 − log 15 = 2+ . . .
= 2P,3313 · 31ih11++ . . . = 2Q,log 25 − log 24 = 23493 · 49h 1i1+log 81 − log 80 = 2+...= 2R,1613 · 1613где ряды, обозначенные через P , Q, R, сходятся весьма быстро. Эти равенства дают нам уравнения4 log 2 − log 3 − log 5 = 2P,−3 log 2 − log 3 + 2 log 5 = 2Q,133]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения417− log 2 + 4 log 3 − log 5 = 2Rдля определения чисел log 2, log 3, log 5, решая которые, найдем без трудаlog 2 = 14P + 10Q + 6R,log 3 = 22P + 16Q + 10R,log 5 = 32P + 24Q + 14R.Полученные таким путем логарифмы будет натуральными; с их помощью мы находим модуль M десятичной системы логарифмов:M=1= 0, 434 294 4819 . .
. ,log 10зная который, можем от натуральных логарифмов переходить к десятичным по формулеlog10 x = M log x.Аналогичным путем, пользуясь разложениями на множителиa=a=2400 = 100 · 28 · 3,a+z =2 401 = 74 ,9800 = 100 · 2 · 7 ,a+z =9 801 = 34 · 112 ,2a = 123 200 = 100 · 24 · 7 · 11,a + z = 123 201 = 36 · 132 ,a=a+z =2 600 = 100 · 2 · 13,a = 28 899 = 32 · 132 · 192601 = 32 · 172 ,a + z = 28 900 = 100 · 172 ,мы вычислим log 7, log 11, log 13, . . .Определив логарифмы простых чисел, мы уже без помощи рядов, атолько одними сложениями и умножениями на целые множители определим и логарифмы составных чисел, которые, как известно, всегда можноразложить на простые множители.133. Разложение arctg x. Здесь мы будем поступать так же,как и при разложении log(1 + x). Мы имеемd arctg t =dt.1 + t2Получаем, интегрируя,Zx0xdt= arctg t = arctg x − arctg 0 = arctg x,21+t0418Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [133где arctg x, как и в примере из [98], имеет главное значение. Мыимеем, следовательно,Zx dt=1 − t2 + t4 − . . . + (−1)n−1 t2n−2 +arctg x =1 + t200n 2nx5x3(−1)n−1 x2n−1(−1) tdt = x −+− ...++ Rn (x),+21+t352n − 1ZxгдеnRn (x) = (−1)Zxt2n dt.1 + t2(42)0Рядx5x3(−1)n−1 x2n−1+− ...++ ...,352n − 1для которого отношениеx− u 2n − 3 n x2 → x2=un−12n − 1при n → ∞наверно, расходится при x2 > 1; нам поэтому достаточно ограничиться случаем x2 6 1, т. е.−1 6 x 6 +1.(43)Считая сначала 0 < x 6 1, из формулы (42), в силу VII [95],получим:|Rn (x)| =Zxt2ndt <1 + t20Zx0t2n dt =x2n+116→ 0 (n → ∞),2n + 12n + 1так как, очевидно,t2n< t2n .1 + t2133]§ 13.
Формула Тейлора и ее приложения419Если x < 0, то, вводя вместо t новую переменную, t = −τ , получимZ −x 2nτdτ.Rn (x) = (−1)n+11 + τ20Здесь верхний предел (−x) уже положителен, а потому опятьимеет место указанная выше оценка для |Rn (x)|, т. е. разложениеarctg x = x −x5(−1)n−1 x2n−1x3+− ...++ ...352n − 1(44)имеет место при всех значениях x, не превосходящих единицу поабсолютному значению.В частности, при x = 1 получаемarctg 1 =1π1= 1 − + − ...435Ряд этот, ввиду весьма медленной сходимости, непригоден для вычисления числа π. Ряд (44) сходится тем быстрее, чем меньше x. Положим,например,11и ϕ = arc tg .x=55Мы имеемtg 2ϕ =251−125=5,12tg 4ϕ =561−25144=120.119Так как tg 4ϕ мало отличается от единицы, то угол 4ϕ мало отличается от π4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
