1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если из абсолютно сходящегося ряда выделить любуюпоследовательность его членов, то полученный таким путем ряд такжебудет абсолютно сходящимся, так как такому выделению соответствуетвыделение последовательности членов в ряде (3) с положительными членами, что, очевидно, не нарушает сходимости этого ряда. В частности,будут сходящимися ряды, составленные в отдельности из положительных и отрицательных членов сходящегося ряда.
Обозначим через s′ сумму ряда, составленного из положительных членов, и через (−s′′ ) — суммуряда, составленного из отрицательных членов. При беспредельном возрастании n сумма Sn первых n членов всего ряда может содержать скольугодно много членов из обоих упомянутых рядов, и в пределе, очевидно,получимs = lim sn = s′ − s′′ .Нетрудно показать, что когда ряд сходится не абсолютно, то ряды,составленные из его положительных и отрицательных членов, являютсясобственно расходящимися.
Так, например, для неабсолютно сходящегося ряда [124]1111 − + − + ...234ряды11111111 + + + + ... и − − − − − ...3572468расходятся. Сумма n первых членов первого ряда стремится к (+∞), авторого ряда — к (−∞) при беспредельном возрастании n. Пользуясь указанным выше обстоятельством, Риман показал, что, меняя надлежащим138]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов429образом порядок членов неабсолютно сходящегося ряда, можно сделатьего сумму равной какому угодно числу. Таким образом, оказывается, чтопонятие об абсолютно сходящемся ряде тождественно с понятием о ряде,сумма которого не зависит от порядка слагаемых.Заметим еще, что если мы в каком-нибудь сходящемся (не обязательно абсолютно сходящемся) ряде переставим местами конечное число слагаемых, то суммы первых n членов sn останутся при всех достаточнобольших n теми же, т.
е. сходимость ряда не нарушится, и сумма рядаостанется прежней. Предыдущее же рассуждение и результаты относятся и к тому случаю, когда переставляют бесконечное число слагаемых.138. Умножение абсолютно сходящихся рядов. При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм: произведение равно суме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим.
Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будеттакже абсолютно сходящимся.Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут)s = u1 + u2 + . . . + un + . . ..(4)σ = v1 + v2 + . . . + vn + . . .Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами, и притом когда само умножение совершается следующимпорядком:u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 + . .
. ++ u1 vn + u2 vn−1 + . . . + un v1 + . . .(5)Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна sσ.Обозначим через Sn сумму n первых членов ряда (5). Можно всегдавыбрать настолько большое число m, чтобы все члены, входящие в составSn , вошли и в произведение сумм:sm = u1 + u2 + . . . + um ,σm = v1 + v2 + . . . + vm ,т. е. чтобы оказалось Sn 6 sm σm , т.
е.Sn 6 sσ,(6)430Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [138так как sm 6 s, σm 6 σ, откуда и следует сходимость ряда (5) [120].Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно,имеемS = lim Sn 6 sσ.n→∞Рассмотрим теперь произведение sn σn . При данном n, очевидно,можно найти настолько большое m, чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм sn и σn , вошли в сумму Sm ; мы получим тогдаsn σn 6 Sm 6 S,а потому и в пределе, n → ∞,sn σn → sσ 6 S.(7)Неравенство это в соединении с (6) дает S = sσ, что и требовалосьдоказать.Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, но с какими угодночленами.
Следовательно, сходятся ряды с положительными членами|u1 | + |u2 | + . . . + |un | + . . .и|v1 | + |v2 | + . . . + |vn | + . . . ,а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд|u1 ||v1 | + |u2 ||v1 | + |u1 ||v2 | + |u2 ||v2 | + . . . ++ |u1 ||vn | + . .
. + |un ||v1 | + . . .Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (5)будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь черезa′1 , a′2 , . . . , a′n , . . . ; a′′1 , a′′2 , . . . , a′′n , . . . ,b′1 , b′2 , . . . , b′n , . . . ; b′′1 , b′′2 , . . . , b′′n . .
.соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значенияотрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся; положимs′ =∞Xn=1a′n ,σ′ =∞Xb′n ,n=1s′′ =∞Xa′′n ,n=1Как известно [137], мы имеемs = s′ − s′′ ,σ = σ ′ − σ ′′ .σ ′′ =∞Xn=1b′′n .(8)139]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов431Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленноперемножать между собой; сумма произведений рядовs′ σ ′ ,s′′ σ ′′ ,−s′ σ ′′ ,−s′′ σ ′содержит как раз те и только те члены, которых входят в ряд (5), апотому имеемS = s′ σ ′ + s′′ σ ′′ − s′ σ ′′ − s′′ σ ′ = (s′ − s′′ )(σ ′ − σ ′′ ) = sσ,что и требовалось доказать.П р и м е р. Ряд1 + q + q 2 + . .
. + q n−1 + . . . =11−qсходится абсолютно при |q| < 1, а потому1= (1 + q + . . . + q n−1 + . . .)(1 + q + . . . + q n−1 + . . .) =(1 − q)2= 1 + 2q + 3q 2 + . . . + nq n−1 + . . .139. Признак Куммера. Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, всеже являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях.
Проводимый ниже признак обладает гораздобольшей общностью.П р и з н а к К у м м е р а. Ряд с положительными членамиu1 + u2 + . . . + un + . . .(9)сходится, если существует такая последовательность положительных чисел α1 , α2 , . . . , αn , . . . , что, начиная с некоторого значения n,было всегдаun− αn+1 > α > 0,(10)αnun+1где α — некоторое положительное число, не зависящее от n; ряд (9)расходится, если при тех же значениях n:αnи, кроме того, ряд∞Pn=11αnun− αn+1 6 0,un+1— расходящийся.(11)432Гл. IV.
Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [139Не ограничивая общности, мы можем считать, что условия теоремывыполняются, уже начиная с n = 1. Пусть сперва выполнено условие(10). Мы выводим из него, положив n = 1, 2, 3, . . . ,α1 u1 − α2 u2 > αu2 , α2 u2 − α3 u3 > αu3 , . . . , αn−1 un−1 − αn un > αun ,откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находимα(u2 + . .
. + un ) 6 α1 u1 − αn un < α1 u1 .Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма nпервых членов которого без u1 остается меньше постоянного числа α1αu1 ,не зависящего от n, сходится [120].Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам1un+1αn+1>,1unαnuне меньше соответствующего отношения членов раст. е. отношение un+1nходящегося ряда∞X1.αnn=1Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы орядах с положительными членами:Д о п о л н е н и е к п р и з н а к у Д а л а м б е р а.
Если, начиная с некоuне превосходит соответствующеторого значения n, отношение un+1nvn+1го отношения vn членов сходящегося ряда∞Xvn ,(12)un(13)n=1то и ряд∞Xn=1uостается не меньшим соответсходится. Если же отношение un+1nствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд (13) —расходящийся.140]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов433Действительно, пусть сперва имеемun+1vn+16,unvnпричем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательноvnun−1vn−1v2unu26,6, ...6,un−1vn−1 un−2vn−2u1v1откуда, перемножая, находимvnu1un6, или un 6vn .u1v1v1Из последнего равенства и замечания в [120] при k =u1v1следуетсходимость ряда (13).
Аналогичным образом можно доказать и расходиvu> n+1и ряд (12) расходится.мость его, в случае, если un+1vnn140. Признак Гаусса. Весьма важные применения имеет и следующийП р и з н а к Г а у с с а15 . Если в ряде с положительными членами (9)u1 + u2 + . . . + un + .
. .отношениеunun+1можно представить в видеωnunµ=1+ + p,un+1nnгдеp>1и|ωn | < A,(14)причем A не зависит от n, т. е. величина ωn остается ограниченной, торяд (9) сходится, если µ > 1, и расходится, если µ 6 1.Заметим, что во всех случаях, исчерпываемых этим признаком, признак Даламбера неприменим [121]. Сама же формула (14) получаетсяnпри разложении отношения uun+1по степеням n1 , т. е. при выделениичленов различных порядков малости относительно n1 , конечно, если этовозможно.Переходя к доказательству, мы исследует отдельно случаи: 1) µ 6= 1и 2) µ = 1.
В случае 1) мы положимв признаке Куммера αn = n, причемP1расходитсязаметим, что αn > 0 и ряд[119]. Мы имеем, очевидно, вnданном случае ωnunµlim αn− αn+1 = lim n 1 + + p − n − 1 = µ − 1.n→∞n→∞un+1nn15 Всущности, обобщение признака, действительно установленного Гауссом.434Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [140Если µ > 1, то, начиная с некоторого значения n, будем иметьαnun− αn+1 > α > 0,un+1где α — любое положительное число, меньшее µ − 1, и ряд (9) будет сходящимся. Если же µ < 1, то, начиная с некоторого значения n, мы будемиметьunαn− αn+1 < 0,un+1т.
е. ряд (9) будет расходящимся [139]. В случае 2) мы имеемωn1un=1+ + p.un+1nnПоложим в признаке Куммера αn = n log n и составим рядXX 11=,αnn log n(15)где суммирование можно начинать с любого целого положительного n,так как первые слагаемые не влияют на сходимость [118]. Докажем расходимость написанного ряда, пользуясь интегральным признаком Коши[122].
Нам надо доказать расходимость интегралаZ∞dxx log x(α > 1).αНо мы имеемZ∞αdx=x log xZ∞αd(log x)=log xZ∞log α∞dt= log(log x) ,tαи функция log(log x) беспредельно возрастает при возрастании x, т. е.написанный выше интеграл действительно расходится, а потому и рядn− αn+1 , пользуясь(15) расходится. Составим теперь разность αn uun+1(14):αnωnun1− αn+1 = n 1 + + p log n − (n + 1) log(n + 1) =un+1nnωn log n= (n + 1) log n +− (n + 1) log(n + 1) =np−1140]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов=ωn log n1+(n+1)log1−.np−1n+1435(16)Множитель ωn остается по условию ограниченным, отношение жестремится к нулю при n → ∞, так как по условию p − 1 > 0, и log nвозрастает слабее любой положительной степени n (пример 2 из [66]).1Если положить n+1= −x, то x → 0, и второе слагаемое справа будетlog nnp−1(n + 1) log 1 −1n+1=−log(1 + x),xт. е. оно стремится к (−1) [38]. Мы видим, такимобразом, что в данномP 1nрасходится и αn uun+1случае ряд− αn+1 → −1 при n → ∞, аαnn− αn+1 < 0, т.
е. рядпотому, при достаточно больших n, будет: αn uun+1(9) будет расходящимся [139], что и требовалось доказать.Приведенные выше признаки сходимости могут применяться и к рядам с какими угодно членами, если заменить в них un на |un |. Но в этомслучае они дают только возможность сказать, будет ли данный ряд абсолютно сходящимся или не будет таковым. Из них можно будет извлечь,вообще говоря, условие абсолютной сходимости, но не условие расходимости, так как мы знаем, что ряд может быть не абсолютно сходящимся,но и не расходящимся [124].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
