1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 59
Текст из файла (страница 59)
. + (x − a)n An (a). (2)Для определения A0 (a) положим в этом тождестве x = a, чтодастf (a) = A0 (a).Для определения A1 (a) продифференцируем тождество (2) по xи затемположим x = a:f ′ (x) = 1 · A1 (a) + 2(x − a)A2 (a) + . . . + k(x − a)k−1 Ak (a)++ . . . + n(x − a)n−1 An (a),f ′ (a) = 1 · A1 (a).Дифференцируя еще одни раз по x и полагая затем x = a, получим A2 (a)f ′′ (x) = 2 · 1A2 (a) + . . . + k(k − 1)(x − a)k−2 Ak (a)++ .
. . + n(n − 1)(x − a)n−2 An (a),f ′′ (a) = 2 · 1A2 (a).126]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения395Продолжая эту операцию, дифференцируя k раз и полагая затем x = a, мы получимf (k) (x) = k(k − 1) . . . 2 · 1Ak (a) + . . . ++ n(n − 1) . . . (n − k + 1)(x − a)n−k An (a),f (k) (a) = k!Ak (a).Итак, мы имеемA0 (a) = f (a),Ak (a) =A1 (a) =f (k) (a),k!...,f ′ (a),1!A2 (a) =An (a) =f ′′ (a),2!...,f (n) (a),n!после чего формула (2) примет видf (x) = f (a) +f ′′ (a)f ′ (a)(x − a) +(x − a)2 + . . .
+1!2!f (k) (a)f (n) (a)(x − a)k + . . . +(x − a)n . (3)+k!n!Эта формула верна только в том случае, когда f ′ (x) есть многочлен степени не выше n, и она дает разложение такого многочленапо степеням разности (x − a).Положим теперь, что f (x) — не многочлен, а какая-либо функция, определенная внутри некоторого промежутка I и имеющаянепрерывные производные до порядка (n+1). Пусть значение x = aнаходится внутри I. В дальнейшем считаем, что x принадлежит I.Обозначим через Rn (x) разность между f (x) и правой частьюформулы (3), т.
е. положимf (x) = f (a) +f ′′ (a)f ′ (a)(x − a) +(x − a)2 + . . . +1!2!f (n) (a)(x − a)n + Rn (x).+n!(4)396Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [126Дифференцируем последовательно это тождество:f ′′ (a)f (x) = f (a) +(x − a) + . . . +1!(n)f (a)n−1′+(x − a)+ Rn (x),(n − 1)!′′′f(a)′′′′(x − a) + . . . +f (x) = f (a) +1!f (n) (a)n−2′′+(x − a)+ Rn (x), (n − 2)................................................ (n)(n)(n)f (x) = f (a) + R (x).′′(41 )Полагая в (4) и последних тождествах x = a, получаемRn (a) = 0,Rn′ (a) = 0,...,Rn(n) (a) = 0.(5)Дифференцируя последнее из равенств (41 ) еще один раз, найдемRn(n+1) (x) = f (n+1) (x).(6)Из соотношений (5) и (6) мы без труда получим выражение дляRn (x), ибо по основной формуле интегрального исчисленияRn (x) − Rn (a) =ZxRn′ (t)dt,aоткуда, принимая во внимание (5) и интегрируя по частям, выводимпоследовательноRn (x) =ZxaRn′ (t)dt=−ZxaRn (t)d(x − 1) =x= −Rn′ (t)(x − t)a +ZxaRn′′ (t)(x − t)dt =126]§ 13.
Формула Тейлора и ее приложения=−=ZxRn′′ (t)d(x − t)2=2!a(x−Rn′′ (t)=−397Zxx Zx− t)2 (x − t)2+ Rn′′′ (t)dt =2!2!aaRn′′′ (t)da=(x−Rn′′′ (t)=Zx(x − t)3=3!x Zx− t)3 (x − t)3+ Rn4 (t)dt = . . . =3!3!a(xRn(n+1) (t)an− t)1dt =n!n!Zxaaf (n+1) (t)(x − t)n dt.Для уяснения сделанных преобразований заметим следующее.Переменная интегрирования обозначена буквой t, так что x подзнаком интеграла надо считать постоянным и дифференциал x равным нулю, и потому, например,d3(x − t)2(x − t)2(x − t)3=d(x − t) = −dt3!3!2!и, вообще,dk(x − t)k−1(x − t)k(x − t)k−1=d(x − t) = −dt.k!k!(k − 1)!Точно так же выражение(xRn(k) (t)x− t)k k! a(k 6 n)обращается в нуль, так как при подстановке t = x обращаетсяв нуль множитель (x − t)k , а при подстановке t = a множитель(k)Rn (a) = 0 в силу (5).Мы получаем таким путем следующее важное предложение:398Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [126Ф о р м у л а Т е й л о р а. Всякая функция f (x), имеющая внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a внутрисебя, непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, при всех значениях x внутри этого промежутка может бытьразложена по степеням разности (x − a) в видеf (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a)f ′′ (a)+ (x − a)2+ ...+1!2!f (n) (a)+ Rn (x),+ (x − a)nn!(7)где Rn (x), остаточный член формулы, имеет вид1Rn (x) =n!Zxaf (n+1) (t)(x − t)n dt.(8)Весьма часто в приложениях встречается другая форма остаточного члена, которая непосредственно получается из (8) при применении теоремы о среднем [95].
Под знаком интеграла в правойчасти формулы (8) функция (x − t)n сохраняет знак, а потому потеореме о среднем мы имеемf (n+1) (ξ)Rn (x) =n!Zxa(x − t)n dt =x (x − t)n+1 f (n+1) (ξ)−.n!n + 1 aПодставляя верхний и нижний пределы, получимx(x − a)n+1(x − t)n+1 −=,n+1n+1aтак как при t = x написанное выражение обращается в нуль. Подставляя это в предыдущую формулу, будем иметьRn (x) = (x − a)n+1f (n+1) (ξ),(n + 1)!(9)где ξ есть некоторое среднее значение, лежащее между a и x. Этаформа остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа, и формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа127]§ 13.
Формула Тейлора и ее приложения399будетf ′ (a)f ′′ (a)+ (x − a)2+ ...+1!2!f (n) (a)f (n+1) (ξ)+ (x − a)n+1+ (x − a)nn!(n + 1)!f (x) = f (a) + (x − a)(71 )(ξ между a и x).127. Различные виды формулы Тейлора. При n = 0 мыполучаем из (71 ) выведенную раньше [63] формулу конечных приращений Лагранжа:f (x) − f (a) = (x − a)f ′ (ξ);формула Тейлора является, таким образом, непосредственнымобобщением формулы конечных приращений.Переходя к прежним обозначениям и написав x вместо a и x + hвместо x, перепишем формулу Тейлора (7) в видеf (x + h) − f (x) =hn f (n) (x)hf ′ (x) h2 f ′′ (x)++...++ Rn (x), (10)1!2!n!так как при новых обозначениях (x − a) надо заменить на h.
Значение ξ, лежащее при прежних обозначениях между a и x, будетлежать между x и (x + h), и его можно обозначить через (x + θh),где 0 < θ < 1. В силу (9) остаточный член формулы (10) можно,таким образом, написать в виде:Rn (x) = hn+1f (n+1) (x + θh)(0 < θ < 1).(n + 1)!(11)Левая часть формулы (10) есть приращение ∆y функции y =f (x), соответствующее приращению или, что то же, дифференциалу h независимой переменной. Вспомнив выражения для дифференциалов высших порядков [55], мы имеемdy = y ′ dx = f ′ (x)h,d2 y = y ′′ (dx)2 = f ′′ (x)h2 ,...,400Гл. IV.
Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [128dn y = y (n) (dx)n = f (n) (x)hn ,откудаd2 ydn+1 y dydn y++ ... ++∆y =,(12)1!2!n!(n + 1)! x+θhdn+1 y причем символ (n+1)!обозначает результат подстановки в выx+θhn+1dyвместо x суммы x + θh.ражение (n+1)!В этом виде формула Тейлора особенно интересна тогда, когдаприращение h независимой переменной есть величина бесконечномалая. Формула (12) дает тогда возможность выделить из приращения функции ∆y бесконечно малые слагаемые различных порядковотносительно h.В частном случае, когда исходное значение a независимой переменной есть нуль, формула Тейлора (7) принимает видf (x) = f (0) + xf ′′ (0)f (n) (0)f ′ (0)+ x2+ . . .
+ xn+ Rn (x),1!2!n!(13)где1Rn (x) =n!Zx0f (n+1) (t)(x − t)n dt =xn+1 f (n+1) (ξ)(n + 1)!(14)и ξ, лежащее между 0 и x, можно обозначить θx, где θ, зависящее отx, удовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Формула (13) называетсяформулой Маклорена.128. Ряды Тейлора и Маклорена. Если f (x) имеет при x = aи x близких к a производные всех порядков, то мы можем написатьформулу Тейлора при любом значении n. Перепишем формулу Тейлора в виде:f (x) − Sn+1 (x) = Rn (x),гдеSn+1 (x) = f (a) + (x − a)f (n) (a)f ′ (a)+ . . .
+ (x − a)n,1!n!129]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения401т. е. Sn+1 (x) есть сумма первых (n + 1) членов бесконечного рядаf (a) + (x − a)f ′ (a)f (n) (a)+ . . . + (x − a)n+ ...1!n!Если при некотором значении x и беспредельном возрастании nlim Rn (x) = 0,(15)n→∞то, в силу сказанного в [118], указанный выше бесконечный рядсходится при указанном значении x и его сумма равна f (x). Таким образом, получается разложении функции f (x) в бесконечныйстепенной ряд Тейлора:f (x) = f (a) + (x − a)f (n) (a)f ′ (a)+ . . .
+ (x − a)n+ ...1!n!(16)по степеням разности (x − a).В дальнейшем мы всегда будем иметь дело с тем случаем, когдаусловие (15) имеет место не для отдельного значения x, а для всехx из некоторого промежутка.Таким же образом формула Маклорена дает нам при соблюдении условия (15) разложение f (x) в ряд Маклоренаf (x) = f (0) + xf ′ (0)f (n) (0)+ . . . + xn+ ...1!n!(17)Оценка Rn (x) имеет важное значение для приближенного вычисления значений функции f (x) при помощи разложения ее в степеннойряд.Применим предыдущие соображения к разложению и приближенному вычислению простейших функций.129.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
