1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Погрешность rn этогоприближенного выражения, т. е. разностьrn = s − sn ,называется остатком ряда.Очевидно, что остаток rn есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается из данного ряда (1), если в немотбросить первые n членов с начала:rn = un+1 + un−2 + . . . + un+p + . . .Точная величина этого остатка в большинстве случаев остаетсянеизвестной, и потому особенно важной является приближеннаяоценка этого остатка.Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессияa + aq + aq 2 + .
. . + aq n−1 + . . .(a 6= 0).(5)Рассмотрим отдельно случаи|q| < 1,|q| > 1,q = 1,q = −1.Мы знаем [27], что при |q| < 1 геометрическая прогрессия имеетa, и потому оказывается сходящимся рядом;конечную сумму s = 1−q∗Суммы Sn называются частичными суммами ряда.374Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [119действительно, при этомa − aq n,1−qaa − aq naq ns − sn =−=,1−q1−q1−qsn = a + aq + . . . + aq n−1 =и s − sn → 0 при n → ∞, так как q n → 0 при |q| < 1 [26].
При |q| > 1из выражения sn видно, что sn → ∞ при n → ∞, так как q n → ∞при |q| > 1 [29]. При q = 1 мы имеем sn = an, и, очевидно, такжеsn → ∞, так что при |q| > 1 и q = 1 геометрическая прогрессияоказывается расходящимся рядом. При q = −1 мы получаем рядa − a+ a− a+ ...Сумма sn первых n его членов равна нулю, если n четное, и равна a, если n нечетное, т. е. sn не стремится к пределу, и ряд расходится; однако при всех значениях n эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает толькозначения 0 и a.Если абсолютная величина sn — суммы n первых членов ряда(3) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастанииn, то ряд (3) называется собственно расходящимся.
В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткостибудем говорить просто расходящийся ряд.119. Основные свойства бесконечных рядов. Сходящиеся бесконечные ряды обладают некоторыми свойствами, которыепозволяют действовать с ними, как с конечными суммами.I. Если рядu1 + u2 + . .
. + un + . . .имеет сумму s, то рядau1 + au2 + . . . + aun + . . . ,(6)получаемый из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму as, ибо сумма σn первых n членов ряда(6) естьσn = au1 + au2 + . . . + aun = asn ,119]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов375а потомуlim σn = lim asn = a lim sn = as.n→∞n→∞n→∞II. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать,т. е. еслиu1 + u2 + . .
. + un + . . . = s,v1 + v2 + . . . + vn + . . . = σ,то ряд(u1 ± v1 ) + (u2 ± v2 ) + . . . + (un ± vn ) + . . .(7)также сходится и сумма его равна s±σ, ибо сумма первых членовряда(u1 ± v1 ) + (u2 ± v2 ) + . . . + (un ± vn ) = sn ± σn .Другие свойства суммы, например независимость суммы от порядка слагаемых, правило перемножения двух сумм и т. п., в применении к бесконечным рядам будут рассмотрены ниже в § 14.
Заметим пока, что они справедливы не для всякого ряда. Сочетательный закон справедлив, очевидно, для любого сходящегося ряда, т. е.можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Этосводится к тому, что вместо всех sn (n = 1, 2, 3, . . . ) мы беремпоследовательность snk , что не меняет предела s [27].III. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечноечисло членов с начала.Действительно, рассмотрим два рядаu1 + u2 + u3 + u4 + . . .
,u3 + u4 + u5 + u6 + . . .Второй получается из первого отбрасыванием первых двух слагаемых. Если обозначить через sn сумму первых n членов первогоряда, а через σn — то же для второго ряда, то, очевидноσn−2 = sn − (u1 + u2 ),sn = σn−2 + (u1 + u2 ),причем если n → ∞, то и значок (n − 2) → ∞. Отсюда видно,что если sn имеет предел, то и σn−2 имеет предел, и наоборот.
Эти376Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [119пределы s и σ, т. е. суммы взятых двух рядов, будут, конечно, различны, а именноσ = s − (u1 + u2 ).IV. Общий член un сходящегося ряда стремится к нулю прибеспредельном возрастании n:lim un = 0,(8)ибо очевидно, чтоun = sn − sn−1 ,и если ряд сходится и имеет сумму s, тоlim sn−1 = lim sn = s,откудаlim un = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0.Таким образом, условие (8) н е о б х о д и м о для сходимостиряда, но оно не достаточно: общий член ряда может стремиться кнулю, и ряд все же может быть расходящимся.П р и м е р. Гармонический ряд1+∞X11111+ + +... + + ... =.234nnn=1(9)Здесь мы имеем1→ 0 приn → ∞.nНетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов ряда (9) беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8, .
. . членов:1 11 11 11++++ ... +++ ... ++ ...,1+23458916un =так что в k-й группе будет 2k−1 членов. Если в каждой группе заменимвсе члены последним, наименьшим членом группы, то получится ряд1+111111+ ·2+ ·4+· 8 + ... = 1 + + + ...,2481622(10)120]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов377hiсумма первых n членов которого, равная 1+ 12 (n−1) , стремится, очевид-но, к (+∞).∗ Взяв достаточно больше число членов ряда (9), мы можемполучить какоеn групп, и сумма этих членов будет ещеih угодно числобольше, чем 1 + 12 (n − 1) , и отсюда видно, что для ряда (9) sn → +∞.120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
Особенное значение имеют ряды с положительными (неотрицательными) членами, для которых все числаu1 ,u2 ,u3 ,...,un ,...> 0.Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости.1. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся; для такогорядаsn → s или sn → +∞.Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма sn его первых членов при всяком n оставалась меньше некоторой постоянной A, независящей от n.Действительно, для такого ряда сумма sn не убывает при возрастании n, так как при этом добавляются новые положительные (неотрицательные) слагаемые, и все наши утверждения вытекают из разобранных раньше свойств возрастающих переменных[30].Для суждения о сходимости или расходимости рядов с положительными членами часто полезно бывает сравнить их с другими,более простыми рядами, чаще всего с геометрической прогрессией.Для этого мы установим признак2.
Если каждый член ряда с положительными членамиu1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,(11)∗ Мы получаем, что последовательность частичных сумм гармоническогоряда ограничена снизу числовой последовательностью, члены которой неограниченно возрастают с ростом n.378Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [120начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующегочлена сходящегося рядаv1 + v2 + v3 + . . . + vn + .
. . ,(12)то и ряд (11) также сходится.Если же, наоборот, каждый член ряда (11), начиная с некоторого n, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда(12) с положительными членами, то и ряд (11) также расходится.∗Допустим сперва, что мы имеемun 6 vn ,(13)причем ряд (12) сходится. Не ограничивая общности, мы можемсчитать, что это неравенство выполняется при всех значениях n,отбросив, в случае надобности, те первые члены, для коих оно невыполняется (свойство III [119]). Обозначив через sn сумму n первых членов ряда (11), через σn — аналогичную сумму для ряда (12),мы имеем, в силу (13),sn 6 σn .Но ряд (12) по условию сходится, и, обозначив через σ суммуряда (12), имеемσn 6 σ,а потому иsn 6 σ,откуда, в силу 1, вытекает сходимость ряда (11).Пусть теперь выполняется неравенствоun > vn .(14)sn > σn ;(15)Мы имеем, очевидно,∗Любое конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость.121]§ 12.
Основные понятия из теории бесконечных рядов379но ряд (12) теперь расходится, и сумма σn первых его n членов может быть сделана больше сколь угодно большого данного напередчисла; тем же свойством, в силу (15), обладает и sn , т. е. ряд (11)будет также расходящимся.З а м е ч а н и е. Из сходимости (или расходимости) ряда (12) вытекает и сходимость (или расходимость) рядаkv1 + kv2 + kv3 + . . . + kvn + .
. . ,где k — какое угодно постоянное положительное число.Действительно, из сходимости ряда Σvn вытекает и сходимостьряда Σkvn в силу I [119]. Наоборот, если Σvn расходится, то и рядΣkvn должен быть расходящимся, ибо, если бы он сходился, то,умножая его члены на k1 , мы, в силу I [119], имели бы и сходимостьряда Σvn . Из сказанного вытекает:Ряд (11) сходится, еслиun 6 kvn ,(16)причем ряд Σvn — сходящийся и k — какое-нибудь положительноечисло; ряд (11) расходится, еслиun > kvn ,(17)причем ряд Σvn — расходящийся.Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительнымичленами.121.
Признаки Коши и Даламбера. 3. П р и з н а к К о ш и.Если общий член ряда с положительными членами (11)u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,начиная с некоторого значения n, удовлетворяет неравенству√nun 6 q < 1,(18)где q не зависит от n, то ряд сходится.380Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [121Если же, наоборот, начиная с некоторого значения, имеем√nun > 1,(19)то ряд (11) расходится.Не ограничивая общности, можем допустить, что неравенства(18) или (19) выполняются при всех значениях n (свойство III [119]).Если выполнено (18), тоun 6 q n ,т.
е. общий член данного ряда не превосходит соответствующегочлена бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а потому, в силу 2, ряд будет сходящимся. В случае же (19) имеемun > 1,и ряд (11), общий член которого не стремится к нулю (больше единицы), не может быть сходящимся (свойство IV [119]).4. П р и з н а к Д а л а м б е р а. Если отношение последующегоn, начиная с некоторого значения n,члена ряда к предыдущему uun−1удовлетворяет неравенствуun6 q < 1,un−1(20)где q не зависит от n, то ряд (11) сходится.Если же, наоборот, начиная с некоторого значения n, имеемun> 1,un−1(21)то данный ряд расходится.Допустив, как и раньше, что неравенства (20) или (21) выполняются при всех значениях n в случае (20), мы имеемun 6 un−1 q,un−1 6 un−2 q,un−2 6 un−3 q,...,u2 6 u1 q,откуда, перемножая почленно и сокращая общие множители,un 6 u1 q n−1 ,121]§ 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
