1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 51
Текст из файла (страница 51)
142), длина которой s. Следуя предыдущему общему принципу, разобьем дугу AB наn малых элементов ∆s. Центр тяжести всей системы можно вычислить, заменив каждый из этих элементов одной точкой, центром тяРис. 142.жести рассматриваемого элемента, сосредоточив в ней всю массу элемента ∆m = ∆s7 .Рассмотрим один из таких элементов ∆s и обозначим координаты его концов через (x, y), (x + ∆x, y + ∆y); координаты же егоцентра тяжести обозначим через (x̄, ȳ). При достаточном уменьшении элемента ∆s, можем считать, что точка (x̄, ȳ) сколь угодномало отстоит от точки (x, y).7 Центр тяжести каждого такого элемента, вообще говоря, не лежит на кривой, хотя и будет тем ближе к ней, чем меньше элемент, что и указано схематически на рис.
142.107]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле339По формулам (31) имеем, как и в [104],M xG = sxG =M yG = syG =XXx̄∆m =ȳ∆m =XXx̄∆s = limȳ∆s = limXZ(B)x∆s =xds,(32)XZ(B)y∆s =yds,(33)(A)(A)откуда, вычислив s по формулеZ(B)Z(B)p(dx)2 + (dy)2 ,s=ds =(A)(A)и определим координаты центра тяжести G.Из формул (32) и (33) вытекает важная теорема:Т е о р е м а I Г у л ь д и н а. Площадь поверхности, полученнойпри вращении дуги данной плоской кривой вокруг некоторой оси,лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вращающейся дуги на длину пути, описанного приэтом вращении центром тяжести дуги.В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, для поверхностиF тела, описанного при вращениидуги AB, имеем (27) [106]Z(B)F = 2πyds = 2πyG · s(A)Рис.
143.[в силу (33)], что и требовалось доказать.Рассмотрим теперь некоторую плоскую область S (площадь которой обозначим также через S). Допустим для простоты, что этаобласть (рис. 143) ограничена двумя кривыми, ординаты которыхобозначим черезy1 = f1 (x), y2 = f2 (x).340Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[107Следуя общему принципу, указанному в начале этого номера,разобьем фигуру на n вертикальных полосок ∆S ∗ прямыми, параллельными оси OY . При вычислении координат центра тяжестиG фигуры мы можем заменить каждую такую полоску ее центромтяжести, сосредоточив в нем массу полосок ∆m = ∆S.
Рассмотримодну из таких полосок; обозначим через x и x + ∆x абсциссы ограничивающих ее прямых M1 M2 и M1′ M2′ , через x̄, ȳ — координатыцентра тяжести.При достаточном сужении полоски, т. е. при уменьшении ее ширины ∆x, точка (x̄, ȳ) сколь угодно мало будет отстоять от серединыP отрезка прямой M1 M2 , вследствие чего можем писать приближенные равенстваy1 + y2.x̄ ∼ x, ȳ ∼2Далее, масса ∆m полоски, равная ее площади ∆S, может бытьприравнена площади прямоугольника с основанием ∆x и высотой,сколь угодно мало отличающейся от длины отрезка M1 M2 = y2 −y1 ,т.
е.∆m ∼ (y2 − y1 )∆x.Применяя формулу (31), можем написатьM xG = SxG =Xx̄∆m = limX[x(y2 − y1 )]∆x =Zb=aM yG = SyG =Xȳ∆m = lim= limX 12X y2 + y1 (y222−y12 )∆x =x(y2 − y1 )dx,(y2 − y1 )∆x =Zba1 2(y − y12 )dx.2 2Из формулы (35) вытекает∗(34)Площадь каждой вертикальной полоски будет ∆S.(35)107]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле341Т е о р е м а II Г у л ь д и н а. Объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжестипри вращении.В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, нетрудно заметить, что объем рассматриваемого тела вращения V равен разностиобъемов тел, получаемых при вращении кривой y2 и кривой y1 , апотому, согласно (24) [105],V =πZbay22 dx−πZbay12 dx=πZba(y22 − y12 )dx = 2πyG · S,в силу (35), что и требовалось доказать.Полученные две теоремы Гульдина весьма полезны как приопределении поверхности или объема фигур вращения, когда известно положение центра тяжести вращающейся фигуры, так и обратно — при определении центра тяжести фигуры, когда известныобъем или поверхность производимой ею фигуры вращения.П р и м е р ы.
1. Найти объем V кольца (тора), получаемого при вращении круга радиуса r (рис. 144) вокруг оси, лежащей в его плоскости нарасстоянии a от центра (причем r < a, т. е. ось вращения не пересекаетокружность).Рис. 144.Центр тяжести вращающегося круга находится, очевидно, в его центре, а потому длина пути, описываемого центром тяжести при вращении,342Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[108равна 2πa. Площадь вращающейся фигуры равна πr 2 , а потому по теореме II Гульдина имеемV = πr 2 · 2πa = 2π 2 ar 2 .(36)2. Найти поверхность F кольца, рассмотренного в примере 1.Длина вращающейся окружности равна 2πr; центр тяжести попрежнему совпадает с центром окружности, а потому в силу теоремыI Гульдина имеемF = 2πr · 2πa = 4π 2 ar.(37)3. Найти центр тяжести G полукругарадиуса a. Примем основание полукругаза ось OX и направим ось OY по перпендикуляру к OX, восстановленному вцентре (рис.
145); в силу симметричностифигуры относительно оси OY ясно, чтоцентр тяжести G лежит на оси OY . ОстаРис. 145.ется найти только yG . Для этой цели применим теорему II Гульдина. Тело, получаемое при вращении полукруга вокруг оси OX, есть шар радиуса a, и егообъем равен 34 . Площадь S вращающейся фигуры равна π2 a2 , а потому4 3ππa = a2 · 2πyG ,32yG =4a.3π4. Найти центр тяжести G′ полуокружности радиуса a.Выбирая координатные оси, как и в предыдущем примере, видимопять, что искомый центр G′ лежит на оси OY , так что остается найти yG′ .
Применяя теорему I Гульдина и заметив, что поверхность телавращения F в данном случае равна 4πa2 , длина s = πa, получим4πa2 = πa · 2πyG′ ,ayG′ = 2 .πКак и следовало ожидать, центр тяжести полуокружности лежитближе к ней, чем центр тяжести ограничиваемого ею полукруга.108.
Приближенное вычисление определенных интегралов;формулы прямоугольников и трапеций. Вычисление определенныхинтегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразнойфункции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция исуществует, если подынтегральная функция непрерывна, одна она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее108]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле343можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид.
Поэтому важное значение имеют способы приближенноговычисления определенных интегралов.Бо́льшая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммыZbf (x)dx = limnXi=1af (ξi )(xi − xi−1 ).(38)Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток(a, b) на n равных частей; длину каждой части обозначим через h, такчтоb−a, xi = a + ih (x0 = a; xn = a + nh = b).h=nОбозначим далее через yi значение подынтегральной функции y =f (x) при x = xi (i = 0, 1, .
. . , n):yi = f (xi ) = f (a + ih).(39)Эти величины мы считаем известными; их можно получить непосредственным вычислением, если функция f (x) задана аналитически,или снять прямо с чертежа, если она изображена графически.Полагая в сумме, стоящей в правой части (38), ξi = xi−1 или xi , мыполучим две приближенные формулы прямоугольников:Zbf (x)dx ≈b−a[y0 + y1 + · · · + yn−1 ],n(40)Zbf (x)dx ≈b−a[y1 + y2 + · · · + yn ],n(41)aaгде знак (≈) обозначает приближенное равенство.Чем больше число n, т. е.
чем меньше h, тем эти формулы будутточнее и в пределе, при n → ∞ и h → 0, дадут точную величину определенного интеграла.Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулюпри возрастании числа ординат. При данном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется длятого случая, когда данная функция f (x) монотонна в промежутке (a, b)344Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложенияРис. 146.ных прямоугольников, т. е. величины[108(рис. 146). В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой изформул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е.не превышает площади прямоугольника с тем же основаниемb−a= h и высотой, равной сумnме высот yn − y0 заштрихован-b−a(yn − y0 ).(42)nФормулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой y = f (x) приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальныхотрезков, ограничивающих прямоугольники.Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно малоотличаются от данной кривой; чем ближе такая вспомогательная линияподходит к кривой y = f (x), тем меньше будет погрешность, которуюмы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченнуювспомогательной линией.Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при x = xi совпадают с ординатами даннойкривой (рис.
147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихоРис. 147.ванных трапеций, то получимприближенную формулу трапеций:Zbaf (x)dx ≈ hhy + yy1 + y2yn−1 + yn i01++ ··· +=222=b−a[y0 + 2y1 + 2y2 + . . . 2yn−1 + yn ].2n(43)109]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле345109. Формула касательных и формула Понселе.
Увеличим теперь число делений вдвое, подразделив каждое из делений пополам. Мыполучим таким путем 2n делений (рис. 148):h,2x1 = a + h, . . . , xi = a + ih,1h, . . . ,xi+1/2 = a + i +2x0 , x1/2 = a +xn = b,которым будут соответствовать ординаты:y0 , y1/2 , y1 , . . . , yi , yi+1/2 , . . . , yn(ординаты y0 , y1 , . . . , yn будемназывать четными, ординаты y1/2 , y3/2 , .
. . , yn−1/2 — нечетными).Рис. 148.В конце каждой нечетнойординаты проведем касательную до пересечения ее с двумя соседнимичетными ординатами и заменим данную площадь суммою площадей построенных таким путем трапеций. Полученная таким образом приближенная формула называется формулой касательных :Zbf (x)dx ≈b−a[y1/2 + y3/2 + · · · + yn−1/2 ] = σ1 .n(44)aОдновременно с предыдущими описанными трапециями рассмотримвписанные трапеции, которые получим, соединив хордами концы соседних нечетных ординат; присовокупим к ним еще две крайние трапеции,образованные хордами, соединяющими концы ординат y0 и y1/2 , yn−1/2и yn . Сумму площадей полученных трапеций обозначим черезy1/2 + yn−1/2b − a y0 + yn−+ 2y1/2 + 2y3/2 + · · · + 2yn−1/2 .σ2 =2n22Если кривая y = f (x) в промежутке (a, b) не имеет точек перегиба, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
