1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеет определять площадьпоперечных сечений тела, перпендикулярных данному направлению.Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим,что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярных данному направлению, которое мы примем за ось OX. Всякое поперечное сечение определится абсциссойx точки пересечения его с осью OX, а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от x, которую мы обозначим черезS(x) и будем считать известной.Пусть, далее, a и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем егона элементы рядом поперечных сечений, начиная отx = a и кончая x = b; расРис. 137.смотрим один из таких эле-330Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[104Рис. 136.ментов ∆V , образованный сечениями с абсциссами x и x + ∆x.Заменяем объем ∆V объемом прямого цилиндра, высота которогоравна ∆x, а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе x (рис.137). Объем такого цилиндравыразится произведением S(x)∆x, и, таким образом, мы получимследующее приближенное выражение для нашего объема V :XS(x)∆x,где суммирование распространено на все те элементы, на которыеразбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда числоэлементов беспредельно возрастает и наибольшее из ∆x стремитсяк нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл,который и дает точное значение объема V , что приводит к следующему предложению.Если для данного тела известны все его поперечные сеченияплоскостями,∗ перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось OX, то объем тела V выражается формулойZbV = S(x)dx,(23)aгде S(x) означает площадь поперечного сечения с абсциссой x, a иb — абсциссы крайних сечений тела.∗ Иными словами, площадь поперечного сечения является функцией переменной x.105]§ 10.
Приложения понятия об определенном интеграле331П р и м е р. Объем «цилиндрического отрезка», отсекаемый от прямого кругового полуцилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметрAB за ось OX, точку A — за начало координат;обозначим радиус основания цилиндра через r,угол, образуемый верхним сечением отрезка сего основанием, через α.Поперечное сечение, перпендикулярноеРис.
138.диаметру AB, имеет вид прямоугольного треугольника P QR, и его площадь выражается формулойS(x) =112P Q · QR = tg αP Q .22Далее, по известному свойству окружности, отрезок P Q есть среднеегеометрическое между отрезками AP , P B диаметра AB, а потому2P Q = AP · P B = x(2r − x),и окончательно1x(2r − x) tg α.2Применяя формулу (23), для искомого объема V получимS(x) =V =Z2r01S(x)dx = tg α2Z2rx(2r − x)dx =01x3 2rtg α rx3 − =230=2 32r tg α = r 2 h,33если ввести «высоту» отрезка h = r tg α.105. Объем тела вращения. В случае, когда рассматриваемоетело получается от вращения данной кривой y = f (x) вокруг осиOX, поперечные его сечения будут круги радиуса y (рис.
139), апотомуS(x) = πy 2 ,V (x) =Zbaπy 2 dx,332Гл. III. Понятие об интеграле и его приложенияРис. 139.[105Рис. 140.т. е. объем тела, получаемого при вращении вокруг оси OX частикривойy = f (x),заключенной между ординатами x = a, x = b, выражается формулойZbV = πy 2 dx.(24)aП р и м е р. Объем эллипсоида вращения.
При вращении эллипсаy2x2+=1a2b2вокруг большой оси получается тело, называемое удлиненным эллипсоидом вращения (рис. 140). Крайние значения абсциссы x в рассматриваемом случае будут (−a) и (+a), а потому формула (24) даетVудл = πZ+aZ+a 4x3 +ax2y 2 dx = π b2 1 − 2 dx = πb2 x − 2 = πab2 .a3a3−a−a−a(25)Точно так же мы сможем вычислить и объем сжатого эллипсоида вращения, который получается при вращении нашего эллипса вокругмалой оси.
Нужно только переставить между собой буквы x, y, a и b, чтодаетZ+bZ+b y2422Vсж = π x dy = π a 1 − 2 dy = πba2 .(26)b3−b−b106]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле333В случае a = b оба эллипсоида обращаются в шар радиуса a, объемкоторого равен 43 πa3 .106. Поверхность тела вращения. Площадью поверхности,получаемой при вращении кривой в плоскости XOY вокруг осиOX, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится кнулю (рис.
141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками A и B, то поверхность F тела вращения выражаетсяформулойZ(B)F =2πyds,(27)(A)где ds есть дифференциал дуги данной кривой, т. е.pds = (dx)2 + (dy)2 .В этой формуле кривая можетбыть задана как угодно, в явнойили в параметрической форме; символы (A) и (B) показывают, чтонужно интегрировать между темиРис. 141.пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой A и B.Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрическойформе, причем роль параметра играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от точки A, и обозначим через l длину всей кривой AB.Эта кривая, конечно, считается спрямляемой.
Мы имеем: x = ϕ(s),y = ψ(s). Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s начастичные промежутки0 = s0 < s1 < s2 < · · · < sn−1 < sn = l.Пусть значению s = si соответствует точка Mi кривой, причем,очевидно, M0 совпадает с A и Mn — с B.
Обозначим через qi дли-334Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[106ну отрезка Mi−1 Mi через ∆si — длину дуги Mi−1 Mi и положимyi = ψ(si ). Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой отвращения ломаной AM1 M2 . . . Mn−1 B:Q = 2πnXyi−1 + yii=1илиQ = 2πnXyi−1 qi + πi=12nXi=1qi(yi − yi−1 )qi .Пусть δ — наибольшее из абсолютных значений |yi − yi−1 |. В силуравномерной непрерывности функции ψ(s) в промежутке 0 6 s 6 lвеличина δ стремится к нулю, если наибольшая из разностей (si −si−1 ) стремится к нулю.
Но мы имеем nnXXqi 6 δl, (yi − yi−1 )qi 6 δi=1i=1откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится кнулю Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде2πnXi=1yi−1 qi = 2πnXi=1yi−1 ∆si − 2πnXi=1yi−1 (∆si − qi ).Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю.Для этого заметим, что непрерывная в промежутке (0, l) функцияy = ψ(s) ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число m, что |yi−1 | 6 m при всех i.
Поэтому n!nnX XXyi−1 (∆si − qi ) 6m(∆si − qi ) = m l −qi .i=1i=1i=1Но если наибольшая из разностей (si − si−1 ) стремится к нулю,то и наибольшая из длин хорд qi стремится к нулю, и периметрвписанной ломаной стремится к длине дугиnXi=1qi → l,106]§ 10. Приложения понятия об определенном интегралеоткуда2πnXi=1335yi−1 (∆si − qi ) → 0.Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемоеnnXX2πyi−1 ∆si = 2πψ(si−1 )(si − si−1 ).i=1i=1Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Такимобразом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]F =Zβαq2πψ(t) ϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t)dt,(281 )и в случае явного уравнения y = f (x) линии AB:F =Zbaq2πf (x) 1 + f ′ 2 (x)dx.(282 )П р и м е р. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого.
Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения.Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеемFудл = 2πZa pZa py 2 + (yy ′ )2 dx.y 1 + y ′ 2 dx = 2π−a−aИз уравнения эллипса мы имеем:x2y 2 = b2 1 − 2 ,aоткуда(yy ′ )2 =Fудл = 2πZa r−ab2yy ′ = −b2 x,a2b4 x 2,a4b2 x 2b4 x 2− 2 + 4 dx = 2πbaaZa s−ax21− 2ab21 − 2 dx.a336Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[106Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипсаε2 =a 2 − b2,a2имеем (см. пример [99])Fудл = 2πbZa r−a=4πbaεε2 x21 − 2 dx = 4πbaZa r0Za r1−ε2 x2dx =a20Zε p εx 2 εx 4πab1−d1 − t2 dt.=aaε0Интегрируя по частям, имеем (ср. пример 11 [92])ZZ ppt2√1 − t2 dt = t 1 − t2 +dt =1 − t2ZZppdt√1 − t2 dt +,= t 1 − t2 −1 − t2откудаи окончательноZ p1 − t2 dt =1 p[t 1 − t2 + arcsin t],2pFудл = 2πab1 − ε2 +arcsin ε.ε(29)Эта формула годится в пределе и для ε = 0, т. е.
когда b = a, и эллипсоид превращается в шар радиуса a. В скобках при этом оказываетсянеопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеемarcsin ε ε=√ε=011 − ε21= 1.ε=0Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы x и y, a и b, мы находим:Fсж = 2πZb p−bx2 + (xx′ )2 dy,107]§ 10.
Приложения понятия об определенном интеграле337где x считается функцией от y. Но из уравнения эллипса имеемy2a2 ya4 y 2x2 = a2 1 − 2 , xx′ = − 2 , (xx′ )2 = 4 ,bbbоткудаFсж = 2πaZb s−by21+ 2bZb ra2y 2 a2 ε2− 1 dy = 4πa1+dy =2bb40aεbZ p aεp2πb2 pb[t 1 + t2 + log(t + 1 + t2 )] =ε00" r!#r2πb2 aεa2 ε2a2 ε2aε=1 + 2 + log+ 1+ 2=εbbbb" r!#ra2aε2πb2a(1 + ε)2πb aε a3++log,log= 2πa2 +=22εbbbbεb=4πb2ε1 + t2 dt =и окончательноFсж = 2πa2 +2πb2a(1 + ε)log.εb(30)107. Определение центров тяжести.
Теоремы Гульдина.Если дана система n материальных точекM1 (x1 , y1 ),M2 (x2 , y2 ), . . . , Mn (xn , yn ),массы которых равны, соответственно,m1 , m2 , . . . , mn ,то центром тяжести системы G называется точка, координатыкоторой xG , yG удовлетворяют условиямM xG =nXmi xi ,M yG =i=1nXi=1где M означает полную массу системыM=nXi=1mi .mi y i ,(31)338Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[107При определении центра тяжести можно каким угодно образомгруппировать точки системы, разбивая их на частные системы стем, чтобы при вычислении координат центра тяжести Q всей системы заменять всю группу точек, вошедших в какую угодно частную систему, одной точкой, а именно ее центром тяжести, приписавей массу, равную сумме масс вошедших в нее точек.Мы не будем останавливаться на доказательстве этого общегопринципа, которое не представляет труда и легко может быть проверено на простейших частных случаях системы с тремя, четырьмяи т.
д. точками.В дальнейшем мы будем иметь дело не с системами точек, ас тем случаем, когда масса заполняет лишь некоторую плоскуюфигуру (область) или линию.Для простоты ограничимся рассмотрением лишь однородныхтел, плотность которых примем за единицу, так что масса такойфигуры будет равняться ее длине, если она имеет вид линии, иплощади, если она имеет вид плоской области.Пусть сперва нужно определить центр тяжести дуги кривой AB (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
