1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Приложения понятия об определенном интеграле355113. Площади быстро колеблющихся кривых. Выше [110] было указано, что для успешного применения различных приближенныхформул, для вычисления определенных интегралов надлежит разбиватькривую, площадь которой определяется на участки, в каждом из которых она имеет плавную форму. Это требование весьма затруднительнодля кривых, ведущих себя неправильно, имеющих много колебаний вверхи вниз.
Для определения площадей таких кривых по предыдущим правилам приходится вводить слишком много подразделений, что значительноусложняет вычисления.Рис. 151.В таких случаях полезно применять другой способ, а именно разбивать площадь на полоски, параллельные не оси OY , а оси OX: дляприближенного определения площади кривой, изображенной на рис. 151,откладываем на оси OY наименьшую и наибольшую ординаты α и β кривой и разделяем промежуток (α, β) на n частей в точкахy0 = α, y1 , . . . , yi−1 , yi , . . .
, yn−1 , yn = β.Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OX, мыразобьем всю площадь на полоски, состоящие из отдельных частей; заприближенное выражение площади i-й полоски мы можем принять произведение ее основания (yi − yi−1 ) на сумму длин li отрезков любой прямойy = ηi (yi−1 6 ηi 6 yi ),заключенных внутри рассматриваемой площади; сумма эта непосредственно может быть определена на чертеже.
Обозначив эту сумму через356Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[114li , мы получаем для искомой площади S приближенное выражение видаy0 (b − a) + (y1 − y0 )l1 + (y2 − y1 )l2 + · · · + (yn − yn−1 )ln ,которое будет тем точнее, чем больше число делений и чем круче колебания кривой.Надлежащее развитие основной идеи этого способа привело к понятию об интеграле Лебега, значительно более общему, чем изложенноевыше понятие об интеграле Римана [94, 116].§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ114.
Предварительные понятия. Последние номера настоящей главы будут посвящены строгому аналитическому рассмотрению понятия интеграла, и в дальнейшем мы докажем существование определенного предела у суммы вида:nXk=1f (ξk )(xk − xk−1 )не только для случая непрерывных функций. Для этого нам необходимо ввести некоторые новые понятия, связанные с рассмотрениемразрывных функций.Пусть функция f (x) определена в некотором конечном промежутке (a, b). Мы будем рассматривать только ограниченные функции, т. е. такие функции, все значения которых в упомянутом промежутке остаются по абсолютной величине меньшими некоторогоопределенного положительного числа, т.
е. функция f (x) называется ограниченной в промежутке (a, b), если существует такоеположительное число B, что при всяком x из упомянутого промежутка мы имеем:|f (x)| 6 B.Если функция f (x) непрерывна, то, как мы уже упоминали [35],она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений, а потому, очевидно, будет и ограниченной. Наоборот, разрывные функции могут быть как ограниченными, так и неограниченными.
В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные разрывные функции. Положим, например, что функция114] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле357f (x) имеет график, изображенный нарис. 152. В точке x = c мы имеем разрыв непрерывности функции, и значение функции в самой точке x = c, т. е.f (c), должно быть определено какимнибудь образом путем дополнительного условия. В остальных точках промежутка, включая концы a и b, функциянепрерывна. Кроме того, при стремлеРис.
152.нии переменной x к значению x = c отменьших значений, т. е. слева, ордината f (x) стремится к определенному пределу, геометрически изображаемому отрезком N M1 .Точно так же при стремлении x к c от больших значений, т. е.справа, f (x) стремится тоже к определенному пределу, изображаемому отрезком N M2 , но этот последний предел отличен от упомянутого выше предела слева. Упомянутый предел слева обозначаютобычно символом f (c − 0), а предел справа — символом f (c + 0) [32].Этот наиболее простой разрыв непрерывности функции, при котором существуют конечные определенные пределы как слева, так исправа, называется обычно разрывом первого рода.
Значение функции в самой точке x = c, т. е. f (c), будет, вообще говоря, отличнымкак от f (c − 0), так и от f (c + 0) и должно быть определенно дополнительно. Если функция непрерывна в промежутке (a, b), включаяконцы, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, то график такой функции состоит изконечного числа кривых, непрерывных вплоть до своих концов, ииз отдельных точек в местах разрыва непрерывности (рис. 153).Такая функция, несмотря на свою разрывность, будет, очевидно, ограниченной во всем промежутке. Но, конечно,функции и с более сложными разрывами могут быть ограниченными.В дальнейшем мы часто будем рассматривать множества всех значений,которые некоторая функция f (x) принимает на каком-либо заданном проРис.
153.межутке изменения независимой пере-358Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[115менной. Если взятая функция ограничена в рассматриваемом промежутке, то множество ее значений в этом промежутке ограниченосверху и снизу, а потому это множество имеет точную верхнюю иточную нижнюю границы [39].
Если, например, f (x) непрерывна врассматриваемом промежутке (замкнутом), то, как известно [35],она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений. В данном случае эти наибольшее и наименьшее значенияфункции и будут точными верхней и нижней границами значенийf (x) в рассматриваемом промежутке.Рассмотрим другой пример. Если функция f (x) есть возрастающая функция, то она принимает наибольшее значение на правомконце промежутка и наименьшее — на левом. Эти значения, так жекак и в предыдущем случае, будут точными верхней и нижней границами значений f (x). В обоих рассмотренных примерах точныеграницы значений функции сами являлись частными значениямифункции, т.
е. сами принадлежали к рассматриваемой совокупности значений функции. В более сложных случаях разрывной функции точные границы значений функции могут сами и не являтьсязначениями функции, т. е. могут и не принадлежать к множествузначений функции.Пусть m — точная нижняя граница множества значений ограниченной функции f (x) на некотором конечном промежутке (a, b) иM — точная верхняя граница.
Возьмем новый промежуток (a′ , b′ ),который является частью (a, b).Пусть m′ и M ′ — точные нижняя и верхняя границы множествазначений f (x) на (a′ , b′ ). Так как множество значений f (x) на (a′ , b′ )содержится в множестве значений f (x) на более широком промежутке (a, b), то можно утверждать, что m′ > m и M ′ 6 M , т. е.имеет местоЛ е м м а 1. Если некоторый промежуток заменить его частью, то точная верхняя граница значений f (x) не может увеличиться, а точная нижняя граница не может уменьшиться.115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. Пусть конечный промежуток (a, b) разбит на конечное число частей промежуточными значениями x:a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk−1 < xk < · · · < xn−1 < xn = b.(1)115] § 11.
Дополнительные сведения об определенном интеграле359Такое разбиение будем обозначать одной буквой δ; значения xkназываются точками деления δ. У различных разбиений число частичных промежутков и точки деления xk , вообще говоря, различны. Длины частичных промежутков для разбиения (1) обозначим:δk = xk − xk−1 (k = 1, 2, . . . , n). Пусть f (x) — ограниченная функция, заданная на промежутке (a, b).
Напишем сумму, соответствующую разбиению δ (1), предел которой, если он существует, даетопределенный интеграл от f (x) по промежутку (a, b):σ(δ, ξk ) =nXf (ξk )δk .(2)k=1Она зависит от δ и выбора точек ξk . Рассмотрим множество значений f (x) в промежутке (xk−1 , xk ). В силу ограниченности функцииf (x), это — ограниченное множество. Обозначим через mk точнуюнижнюю и через Mk — точную верхнюю границы значений f (x) впромежутке (xk−1 , xk ) (k = 1, 2, . .
. , n) и в слагаемых суммы (2)заменим f (ξk ) на mk , а также на Mk . Мы получим две суммы, зависящие только от разбиения δ промежутка (a, b):s(δ) =nXmk δ k ;S(δ) =k=1nXMk δk .∗(3)k=1Из определения mk и Mk непосредственно следуетmk 6 f (ξk ) 6 Mk ,откуда ввиду положительности δk будем иметьs(δ) 6 σ(δ, ξk ) 6 S(δ).(4)Пусть, как и выше, m и M — точные нижняя и верхняя границы значений f (x) на всем промежутке (a, b). Используя лемму 1,нетрудно видеть, что имеют место неравенстваm 6 mk 6 Mk 6 M,k = 1, 2, . . .
, n,(5)∗ Эти суммы часто называют нижней и верхней суммами Дарбу соответственно.360Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[115и, кроме того, очевидноnXk=1δk =nX(xk − xk−1 ) = b − a.k=1Умножая неравенства (5) на положительные числа δk и суммируяпо k от k = 1 до k = n, получимm(b − a) 6 s(δ) 6 M (b − a),m(b − a) 6 S(δ) 6 M (b − a),т. е.
множество значений s(δ) и S(δ) при всевозможных разбиенияхδ ограничено сверху и снизу. Обозначим буквою i точную верхнююграницу множества значений s(δ) и буквою I — точную нижнююграницу значений S(δ) при всевозможных разбиениях δ:sδ 6 i,Sδ > I.(6)Отметим, что неотрицательная разность M − m называется обычноколебанием функции f (x) на промежутке (a, b). Разность Mk − mkесть колебания функции f (x) на промежутке (xk−1 , xk ).Введем теперь некоторые новые понятия.
Разбиение δ ′ промежутка (a, b) назовем продолжением разбиения δ, если всякая точкаделения δ есть и точка деления δ ′ , т. е. δ ′ получается из δ добавлением новых точек деления (если δ ′ не совпадает с δ). Если δ1 и δ2 —два разбиения, то произведением их назовем такое разбиение (a, b),точки деления которого получаются объединением точек делениякак δ1 , так и δ2 . Произведение разбиений обозначим символом δ1 δ2 .Это понятие применимо и для нескольких сомножителей. Разбиение δ1 δ2 является, очевидно, продолжением как разбиения δ1 , таки разбиения δ2 .Л е м м а 2.
Если разбиение δ ′ есть продолжение разбиения δ,то s(δ) 6 s(δ ′ ) и S(δ) > S(δ ′ ).При переходе от δ к δ ′ каждый из промежутков (xk−1 , xk ) подразделения δ может разбиться на части. Положим, например, чтоэтот промежуток разбился на три части (xk−1 , αk ), (αk , βk ), (βk , xk ),(1)(2)(3)длины которых δk = αk − xk−1 , δk = βk − αk , δk = xk − βk , и115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле(1)(2)361(3)пусть Mk , Mk , Mk — точные верхние границы множества зна(1)(2)чений f (x) в указанных промежутках. В силу леммы 1: Mk , Mk(3)(1)(2)(3)и Mk 6 Mk , и сумма δk + δk + δk = δk = xk − xk−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
