1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Слагаемое Mk δk суммы S(δ) при переходе к δ ′ заменяется суммой трехслагаемых:(1) (1)(2) (2)(3) (3)M k δk + M k δk + M k δkи, в силу сказанного выше,(1) (1)(2) (2)(3) (3)(1)(2)(3)Mk δk + Mk δk + Mk δk 6 Mk (δk + δk + δk ) = Mk δk ,т. е. при переходе от δ к δ ′ каждое слагаемое Mk δk суммы или заменяется конечной суммой, которая меньше или равна Mk δk , илиостается без изменения. Отсюда и следует, что S(δ) > S(δ ′ ). Совершенно аналогично доказывается, что s(δ) 6 s(δ ′ ), и лемма доказана.Принимая во внимание, что mk 6 Mk и δk положительны, легковидеть, что при одном и том же δ мы имеем s(δ) 6 S(δ). Покажем,что такое же неравенство имеет место и для любых различных разбиений.Л е м м а 3.
Если δ1 и δ2 — любые два разбиения, то s(δ1 ) 6 S(δ2 ).Рассмотрим произведение δ1 δ2 разбиений δ1 и δ2 . Поскольку δ1 δ2есть продолжение δ1 и δ2 , из леммы 2 следует, что s(δ1 δ2 ) > s(δ1 ) иS(δ1 δ2 ) 6 S(δ2 ), и пользуясь неравенством s(δ1 δ2 ) 6 S(δ1 δ2 ), получаем s(δ1 ) 6 S(δ2 ). Лемма доказана.Из этой леммы непосредственно следует, что верхняя грань iмножества значений s(δ) при всевозможных разбиениях δ и нижняягрань I для S(δ) удовлетворяют неравенствамs(δ) 6 i 6 I 6 S(δ).(7)Займемся теперь суммами σ(δ, ξk ), которые удовлетворяют неравенствам (4).
При фиксированном разбиении δ, в силу определенияmk и Mk , можно при любом k выбрать ξk так, чтобы f (ξk ) было сколько угодно близко к Mk или даже (в некоторых случаях)совпадало с Mk , т. е. можно выбрать ξk так, чтобы сумма σ(δ, ξk )была сколь угодно близкой к S(δ) или даже в некоторых случаях, чтобы σ(δ, ξk ) совпадало с S(δ). С другой стороны, в силу (4),362Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[116σ(δ, ξk ) 6 S(δ). Отсюда следует, что S(δ) есть точная верхняя граница значений σ(δ, ξk ) при всевозможных выборах ξk .
Аналогично доказывается, что s(δ) есть точная нижняя граница значенийσ(δ, ξk ), т. е. имеет местоЛ е м м а 4. При фиксированном разбиении δ величина s(δ) естьточная нижняя граница значений σ(δ, ξk ) при всевозможных выборах ξk , а S(δ) есть точная верхняя граница множества значений σ(δ, ξk ) при тех же условиях.116. Интегрируемые функции. Укажем теперь необходимоеи достаточное условие существования интеграла у ограниченнойфункции f (x) или, как говорят, необходимое и достаточное условиеинтегрируемости f (x). Через µ(δ) в дальнейшем будем обозначатьнаибольшую из длин частичных промежутков, входящих в подразделение δ.Т е о р е м а.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции f (x) на конечном промежутке (a, b)состоит в том, чтобы разностьS(δ) − s(δ) =nXk=1(Mk − mk )δk(8)стремилась к нулю, если µ(δ) стремится к нулю.Иначе говоря, это условие, назовем его условием A, состоит вследующем: при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что неотрицательна разность:S(δ) − s(δ) < ε, если µ(δ) < η.Д о с т а т о ч н о с т ь. Положим, что условие A теоремы выполнено, т. е. S(δ) − s(δ) → 0 при µ(δ) → 0.
При этом из (7) следует, чтоi = I и что s(δ) и S(δ) стремятся к I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, в силу (4), что и сумма σ(δ, ξk ) стремится к I при µ(δ) → 0и любом выборе ξk . Точнее говоря: |I − σ(δ, ξk )| < ε при µ(δ) < η,причем η > 0 определяется заданием ε > 0. Таким образом, доказано, что f (x) интегрируема и число I есть величина интеграла.Достаточность условия A доказана.116] § 11.
Дополнительные сведения об определенном интеграле363Н е о б х о д и м о с т ь. Положим, что f (x) интегрируема. Докажем, что выполнено условие A. Обозначим I0 величину интегралаот f (x). Из его определения следует: для любого ε > 0 существуеттакое η > 0, что|σ(δ, ξk ) − I0 | <ε, если µ(δ) < η4(9)при любом выборе ξk . В силу леммы 4, при любом фиксированномδ, возможен такой выбор ξk = ξk′ и ξk = ξk′′ , что|σ(δ, ξk′ ) − s(δ)| <εεи |σ(δ, ξk′′ ) − S(δ)| < .44(10)Мы можем написатьS(δ) − s(δ) = [S(δ) − σ(δ, ξk′′ )] + [σ(δ, ξk′′ ) − I0 ]++ [I0 − σ(δ, ξk′ )] + [σ(δ, ξk ) − s(δ)],откуда, в силу (9) и (10), получаем при µ(δ) < η|S(δ) − s(δ)| 6 |S(δ) − σ(δ, ξk′′ )| + |σ(δ, ξk′′ ) − I0 | + |I0 − σ(δ, ξk′ )|+ε ε ε ε+ |σ(δ, ξk′ ) − s(δ)| 6 + + + = ε,4 4 4 4т. е.
|S(δ) − s(δ)| < ε при µ(δ) < η, а это и есть условие A. Необходимость условия доказана.З а м е ч а н и е 1. Из доказательства достаточности следует, чтоi = I при выполнении условия A, и при этом величина интеграларавна I. Поэтому из необходимости условия A следует, что равенство i = I является необходимым условием интегрируемости.З а м е ч а н и е 2.
Можно показать, что для любой ограниченнойфункции f (x) будет: s(δ) → i и S(δ) → I при µ(δ) → 0. Отсюдаследует, что если i = I, то (S(δ) − s(δ)) → 0 при µ(δ) → 0, и потому равенство i = I не только необходимо, но и достаточно дляинтегрируемости f (x).I. Если f (x) непрерывна на замкнутом промежутке (a, b), то онаравномерно непрерывна на нем. Кроме того, на каждом из промежутков (xk−1 , xk ) она достигает своего наименьшего значения mk и364Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложения[116наибольшего Mk . В силу равномерной непрерывности f (x) при люε,бом заданном ε > 0 существует такое η > 0, что 0 6 Mk −mk < b−aесли µ(δ) < η. При этом06nXk=1(Mk − mk )δk <nXk=1nε Xεεδk =(b − a) = ε,δk =b−ab−ab−ak=1т. е. S(δ) − s(δ) < ε, если µ(δ) < η. Таким образом, условие A выполнено, и, следовательно, всякая непрерывная функция интегрируема.II.
Положим теперь, что ограниченная функция f (x) имеет конечное число точек разрыва. Для определенности будем считать,что f (x) имеет одну точку разрыва x = c, лежащую внутри (a, b).Отметим прежде всего, что разности Mk − mk на любом частичномпромежутке не превосходят колебания M − m функции на всемпромежутке (a, b):Mk − mk 6 M − m,k = 1, 2, . . . , n.(11)Пусть задано положительное число ε. Выделим точку c из промежутка (a, b) маРис.
154.лым фиксированным промежутком (a1 , b1 )(рис. 154), таким, что a < a1 < c < b1 < b и b1 − a1 < ε. На замкнутых промежутках (a, a1 ) и (b1 , b) функция f (x) непрерывна, атем самым и равномерно непрерывна. Поэтому для каждого из этихдвух промежутков существует такое число η, что |f (x′′ )−f (x′ )| < ε,если x′ и x′′ принадлежат (a, a1 ) или (b1 , b) и |x′′ − x′ | < η. Числа ηмогут оказаться разными для (a, a1 ) и (b1 , b), но если мы возьмемнаименьшее из этих двух чисел η, то оно будет годиться для обоихпромежутков.
Пусть δ — любое такое разбиение (a, b), что соответствующее ему µ(δ) меньше чисел η и ε:µ(δ) < η и µ(δ) < ε,(12)т. е. меньше наименьшего из двух чисел η и ε.Оценим соответствующую таком δ сумму (8), состоящую изнеотрицательных слагаемых. Промежутки (xk−1 , xk ), принадлежащие δ, разобьем на два класса.
К первому отнесем те, которые целиком укладываются в (a, a1 ) или (b1 , b), а ко второму классу остальные частичные промежутки разбиения δ. Это будут те промежутки116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле365(xk−1 , xk ), которые или принадлежат (a1 , b1 ) или частью налегаютна этот промежуток. Сумма длин δk промежутков первого класса,очевидно, меньше (b − a), а эта сумма для промежутков второгокласса меньше 3ε. Это вытекает из неравенства b1 − a1 < ε, второго из неравенств (12) и того факта, что число частью налегающихна (a1 , b1 ) промежутков разбиения δ не больше двух. Далее, дляпромежутков первого класса, в силу непрерывности f (x) на (a, a1 )и (b1 , b), первого из неравенств (12) и определения числа η, имеемMk − mk < ε.
Для промежутков второго класса используем неравенство (11). Таким образом, имеем для суммы по промежуткампервого классаXX(Mk − mk )δk < εδk < ε(b − a)IIи для промежутков второго классаXX(Mk − mk )δk 6 (M − m)δk < (M − m)3ε.IIIIОкончательноnXk=1(Mk − mk )δk < ε[(b − a) + 3(M − m)],(13)если µ(δ) удовлетворяет неравенствам (12). Квадратная скобка вправой части (13) есть определенное число, и принимая во внимание возможность произвольного выбора малого положительногочисла ε, мы можем утверждать, что выполнено условие A, т.
е. всякая ограниченная функция f (x), имеющая конечное число точекразрыва непрерывности, интегрируема.III. Рассмотрим тот случай, когда f (x) — монотонная ограниченная на конечном промежутке (a, b) функция. Для определенностибудем считать, что f (x) не убывает, т. е. f (c1 ) 6 f (c2 ), если c1 < c2 .При этом на каждом промежутке (xk−1 , xk ) мы имеем mk = f (xk−1 )и Mk = f (xk ). Отсюда следуетS(δ) − s(δ) =nXk=1(Mk − mk )δk =nXk=1[f (xk ) − f (xk−1 )]δk .366Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[116Но δk 6 µ(δ) и разности f (xk ) − f (xk−1 ) неотрицательны, и, следовательно,nXS(δ) − s(δ) 6 µ(δ)[f (xk ) − f (xk−1 )].k=1Принимая во внимание, чтоnXk=1[f (xk ) − f (xk−1 )] = [f (x1 ) − f (a)]++ [f (x2 ) − f (x1 )] + · · · + [f (b) − f (xn−1 )] = f (b) − f (a),получаемS(δ) − s(δ) 6 [f (b) − f (a)]µ(δ),откуда следует, чтоS(δ) − s(δ) < ε, если µ(δ) <εпри f (b) > f (a).f (b) − f (a)Если f (b) = f (a), то f (x) — постоянная.Таким образом, всякая монотонная ограниченная функция интегрируема.Заметим, что монотонная функция может иметь и бесчисленноемножество точек разрыва, так что случай (III) не исчерпываетсяслучаем (II).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
