1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для периметраломаной получаем выражениеp=n qX1 + f ′ 2 (ξi )(xi − xi−1 ),i=1а оно действительно имеет предел, равный интегралуZb q1 + f ′ 2 (x)dx.aТаким образом, длина l дуги AB выражается формулойZb q1 + f ′ 2 (x)dx.l=(12)aПусть x′ < x′′ — какие-либо два значения из промежутка (a, b), аM и M ′′ — соответствующие точки на дуге AB. Применяя теоремуо среднем, получаем следующую формулу для длины l′ дуги M ′ M ′′ :′Zx′′qq1 + f ′ 2 (x)dx = 1 + f ′ 2 (ξ1 )(x′′ − x′ ) (x′ < ξ1 < x′′ ).l =′x′322Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[103Для длины хорды M ′ M ′′ , пользуясь формулой конечных приращений, получаем формулуpM ′ M ′′ = (x′′ − x′ )2 + [f (x′′ ) − f (x′ )]2 =q= 1 + f ′ 2 (ξ2 )(x′′ − x′ ) (x′ < ξ2 < x′′ ).Отсюда следуетp1 + f ′ 2 (ξ 2 )M ′ M ′′p=.′l1 + f ′ 2 (ξ 1 )Если точки M ′ и M ′′ стремятся к точке M с абсциссой x, то x′ иx′′ → x, а тем самым ξ1 и ξ2 → x, и из последней формулы мыполучаемM ′ M ′′→ 1.l′Этим мы пользовались в [70].Положим теперь, что кривая задана параметрическиx = ϕ(t),y = ψ(t),причем точкам A и B соответствуют значения t = α и t = β (α < β).Мы предполагаем, что значениям t из промежутка α 6 t 6 β соответствуют точки кривой AB так, что различным t соответствуютразличные точки этой кривой, которая сама себя не пересекает ине замкнута (рис.
134). Далее мы предполагаем, что в промежуткеα 6 t 6 β существуют непрерывные производные ϕ′ (t) и ψ ′ (t).Пусть, как и выше, AM1 M2 . . . Mn−1 B — вписанная ломаная иt0 = α < t1 < t2 < · · · < tn−1 < tn = β — соответствующие значенияпараметра t. Для периметра ломаной получим выражениеp=n pX[ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 )]2 + [ψ(ti ) − ψ(ti−1 )]2i=1или, применяя формулу конечных приращений,p=n qXϕ′ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi′ )(ti − ti−1 ) (ti−1 < τi и τi′ < ti ).i=1(13)103]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле323Можно показать, что требование того, чтобы наибольшая из сторонломаной стремилась к нулю, равносильно требованию того, чтобынаибольшая из разностей (ti − ti−1 ) стремилась к нулю.
Это можетбыть доказано и без предположения существования производныхϕ′ (t) и ψ ′ (t).Выражение (13) отличается от суммы, дающей в пределе интегралZβ qϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t)dt,(14)αввиду того, что аргументы τi и τi′ , вообще говоря, различны.Введем суммуq=n qXϕ′ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi )(ti − ti−1 ),i=1которая в пределе дает интеграл (14). Для того чтобы доказать, чтои сумма (13) стремится к пределу (14), надо показать, что разностьn qqX′2′2′2′2′ϕ (τi ) + ψ (τi ) − ϕ (τi ) + ψ (τi ) (ti − ti−1 )p−q =i=1стремится к нулю.Умножая и деля на сумму радикалов, получимp−q =nXi=1ψ ′ (τi′ ) + ψ ′ (τi )pp ′×ϕ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi′ ) + ϕ′ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi )× [ψ ′ (τi′ ) − ψ ′ (τi )](ti − ti−1 ).Так как[ψ ′ (τi′ ) + ψ ′ (τi )] 6то|p − q| 6qqϕ′ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi′ ) + ϕ′ 2 (τi ) + ψ ′ 2 (τi ),nXi=1|ψ ′ (τi′ ) − ψ ′ (τi )|(ti − ti−1 ).324Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[103Числа τi и τi′ принадлежат промежутку (ti−1 , ti ), и, в силу равномерной непрерывности ψ ′ (t) в промежутке α 6 t 6 β,∗ можноутверждать, что наибольшая из величин |ψ ′ (τi′ ) − ψ ′ (τi )|, которуюмы обозначим через δ, стремится к нулю, если наибольшая из разностей (ti − ti−1 ) стремится к нулю. Но из предыдущей формулыследует:|p − q| 6nXi=1δ(ti − ti−1 ) = δnX(ti − ti−1 ) = δ(β − α),i=1откуда очевидно, что p − q → 0. Таким образом, сумма (13), выражающая периметр вписанной ломаной, стремится к интегралу (14),т. е.Zβ qϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t)dt.(15)l=αЭта формула для длины l остается справедливой и в случае замкнутой кривой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например,разбить замкнутую кривую на две незамкнутые, к каждой применить формулу (16) и сложить полученные значения l.
Точно так же,если некоторая кривая L состоит из конечного числа кривых Lk ,каждая из которых имеет параметрическое представление, удовлетворяющее указанным выше условиям, то, вычисляя по формуле(15) длину каждой кривой Lk и складывая эти длины, получимдлину кривой L.Рассмотрим переменное значение t из промежутка (α, β), которому соответствует переменная точка M дуги AB. Длина дуги AMбудет функцией от t и будет выражаться формулойZt qϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t)dt.s(t) =(16)αПринимая во внимание правило дифференцирования интеграла по∗ Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она обладает исвойством равномерной непрерывности на этом интервале.103]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле325верхнему пределу, получимто естьqds= ϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t),dtqds = ϕ′ 2 (t) + ψ ′ 2 (t)dt,(17)откуда, принимая во внимание, чтоϕ′ (t) =dx,dtψ ′ (t) =dy,dtполучаем формулу для дифференциала дуги [70]pds = (dx)2 + (dy)2 ,а формула (15) может быть, без указания переменной интегрирования, переписана в видеZ(B)Z(B)p(dx)2 + (dy)2 .l=ds =(A)(A)Пределы (A) и (B) указывают на начальную и конечную точкилинии.′′Если ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) > 0 при всех t из (α, β), то, согласно (17),мы получим производную от параметра t по s:1dt=p ′.2dsϕ (t) + ψ ′ 2 (t)Наличие непрерывных производных ϕ′ (t) и ψ ′ (t) при условии′ϕ (t) + ψ 2 (t) > 0 гарантирует нам непрерывно изменяющуюся касательную вдоль AB.Если кривая задана в полярных координатах уравнением′2r = f (θ),то, введя прямоугольные координаты x и y, связанные с полярнымиr и θ соотношениямиx = r cos θ,y = r sin θ(18)326Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[103[82], мы можем рассматривать эти уравнения, как параметрическоезадание кривой с параметром θ.Мы имеем тогдаdx = cos θdr − r sin θdθ,dy = sin θdr + r cos θdθ,dx2 + dy 2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 ,откудаds =pp(dx)2 + (dy)2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 ,(19)и если точкам A и B соответствуют значения α и β полярного угла θ(рис. 135), то формула (15) даст намs=Zβαsr2 +drdθ2dθ.(20)Рис. 135.Выражение для ds (19), которое называется дифференциалом дуги в полярных координатах, можно получить и непосредственно из чертежа, заменив бесконечно малую дугу M M ′ ее хордой и вычисливпоследнюю, как гипотенузу прямоугольного треугольника M N M ′ ,катеты которого M N и N M ′ приближенно равны, соответственно,rdθ и dr.П р и м е р ы.
1. Длина дуги s параболы y = x2 , отсчитываемой отвершины (0, 0) до переменной точки с абсциссой x, по формуле (12) выражается интеграломs=Zx p0′21 + y dx =Zx p01+4x2 dx1=2Z2xp1 + t2 dt0(мы положили t = 2x).В силу примера 11 [92] имеемZ pip1h p1 + t2 dt =t l + t2 + log(t + 1 + t2 ) + C.2(21)103]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле327Подставив это в (21), получим без трудаip1h ps=2x 1 + 4x2 + log(2x + 1 + 4x2 ) .42. Длина эллипсаy2x2+ 2 = 1,2abв силу симметричности его относительно осей координат, равна учетверенной длине той его части, которая лежит в первом координатном углу.Представив эллипс параметрически уравнениямиx = a cos t,y = b sin tи заметив, что точкам A и B соответствуют значения параметра 0 и π2 ,мы получим для искомой длины l следующее выражение по формуле(15):l=4Zπ/2pa2 sin2 t + b2 cos2 tdt.(22)0Интеграл этот не может быть вычислен в конечном виде; для негоможно указать только способ приближенного вычисления, который будет приведен ниже.3.
Длина дуги логарифмической спиралиr = Ceαθ[83], отсекаемой радиусами-векторами θ = α, θ = β, в силу (20) выражается интеграломZβαsr2 +drdθ2dθ = Cp1 + a2Zβeaθ dθ =√C 1 + a2 aβ(e − eaα ).aα4. В [78] мы рассматривали цепную линию, пусть M (x, y) есть какаялибо ее точка. Вычислим длину дуги AM (рис. 93). Принимая во внима′ние выражение для (1 + y 2 ) из [78], получимAM =Zx p0′21 + y dx=Zx0y1dx=a2Zx 0xxxa axe a + e− a dx=e − e− a =ay ′ ,2328Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложения[103откудаa2 + (дуга AM )2 = a2 + a2 y′2′= a2 (1 + y 2 ) = y 2 ,т. е. длина дуги AM равна катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна ординате точки M , и другой катет которого равенa. Мы получаем, таким образом, следующее правило построения дугиAM :Из вершины A цепной линии, как центра, надо описать окружностьрадиусом, равным ординате точки M ; отрезок OQ оси OX от началакоординат O до точки пересечения Q оси OX с упомянутой окружностью и будет представлять собою спрямленную дугу AM (рис. 93).В предыдущих формулах при выборе знаков мы руководились темобстоятельством, что для точек, лежащих на правой части цепной линии,y ′ имеет знак (+).5.
Для циклоиды, рассмотренной в [79], определим длины дуги l ветви OO′ (рис. 94) и площадь S, ограниченную этой ветвью и осью OX:l=Z2πp[ϕ′ (t)]2 + [ψ ′ (t)]2 dt =a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 tdt =00=aZ2πqZ2π√2 − 2 cos tdt = a0Z2π r4 sin2tdt = 2a2Z2πtsin dt =200t= 2a −2 cos22π= 8a,0т. е. длина дуги одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметрукатящегося круга:S=Z2πaZ2πZ2πydx = ψ(t)ϕ′ (t)dt = a2 (1 − cos t)2 dt =0002πZ2π12 1t+sin2t== a2 (1 − 2 cos t + cos2 t)dt = 2πa2 − 2a2 [sin t]2π+a02400= 2πa2 + πa2 = 3πa2 ,т. е. площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды и той неподвижнойпрямой, по которой катится круг, равна утроенной площади катящегося круга.104]§ 10.
Приложения понятия об определенном интеграле329qВычисляя l, при извлечении корня 4 sin2 2t , мы должны выбратьарифметическое значение корня, что и сделали, ибо при изменении t от0 до 2π функция sin 2t — положительна.6. Кардиоида, рассмотренная в [84], симметрична относительно полярной оси (рис. 111), а потому для вычисления ее длины l достаточновычислить длину дуги при изменении θ в промежутке (0, π) и полученный результат удвоить:l=2Zπ p0r2′2+ r dθ = 2Zπ q4a2 (1 + cos θ)2 + 4a2 sin2 θdθ =0= 8aZπ0πθθ= 16a,cos d0 = 8a 2 sin22 0т. е. длина дуги кардиоиды в восемь раз больше диаметра катящегося(или неподвижного) круга.104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
