1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 48
Текст из файла (страница 48)
. . 4 · 220(27)0Zπ/2Zπ/2sin2k+1 xdx =cos2k+1 xdx =002k(2k − 2) . . . 4 · 2.(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3(28)§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ101. Вычисление площадей. Мы переходим к приложениямпонятия определенного интеграла к вычислению площадей, объемов и длин дуг. При этом мы будем руководствоваться во многомнаглядными соображениями. Точное определение площади и объема с разных точек зрения будет нами дано в последующих томах.В [87] мы видели, что площадь, ограниченная кривой y = f (x),осью OX и двумя ординатами x = a и x = b, выражается определенным интеграломZbf (x)dx(a < b).aЭтот интеграл, как мы видели, дает алгебраическую сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью OX,входит со знаком (−).
Для того чтобы получить сумму площадей вобычном смысле, нужно вычислитьZba|f (x)|dx.Так, сумма заштрихованных на рис. 127 площадей равнаZcaf (x)dx −Zgcf (x)dx +Zhgf (x)dx −Zkhf (x)dx +Zbkf (x)dx.314Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[101Рис. 127.Площадь, заключенная между двумя кривымиy = f (x),y = ϕ(x)(1)и двумя ординатамиx = a,x = b,в том случае, когда одна кривая лежит над другой, т.
е.f (x) > ϕ(x)в промежутке (a, b), выражается определенным интеграломZba[f (x) − ϕ(x)]dx.(2)Допустим сперва, что обе кривыележат над осью OX. Непосредственно из рис. 128 видно, что искомаяплощадь S равна разности площадей, ограниченных данными кривымис осью OXS=Рис. 128.Zba=f (x)dx −ZbaZbϕ(x)dx =a[f (x) − ϕ(x)]dx,что и требовалось доказать.
Общий случай какого угодно расположения кривых относительно оси OX приводится к разобранному,101]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле315если передвинуть ось OX настолько книзу, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение равносильно прибавлениюк обеим функциям f (x) и ϕ(x) одного и того же постоянного слагаемого, причем разность f (x) − ϕ(x) остается без изменения.Предлагаем в виде упражнения доказать, что если данные двекривые пересекаются так, что одна кривя лежит частью ниже,а частью выше другой, то сумма площадей, лежащих между ними и ординатами x = a, x = b, равнаZba|f (x) − ϕ(x)|dx.(3)Часто вычисление определенного интеграла называют квадратурой.
Это связано с тем, что определение площади, как указановыше, сводится к вычислению определенного интеграла.П р и м е р ы. 1. Площадь, ограниченная параболой второй степениy = ax2 + bx + c,осью OX и двумя ординатами, расстояние между которыми есть h, равнаh(y1 + y2 + 4y0 ),6где y1 и y2 означают крайние ординатыкривой, y0 — ординату, равноотстоящую открайних.При этом предполагается, что кривая лежит над осью OX.При доказательстве формулы (4) мы можем, не ограничивая общности, считать, чтокрайняя ордината слева направлена по осиOY (рис. 129), так как передвижение всего чертежа параллельно оси OX не изменяет ни величины рассматриваемой площади, ни взаимного расположения крайних исредней ординат, ни величин этих ординат.Но при этом предположении, допустив, чтоуравнение параболы имеет вид y = ax2 +(4)Рис.
129.316Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[101bx + c, мы выразим искомую площадь S в виде определенного интегралаS=Zh(ax2 + bx + c)dx = a0hx2x3+b+ cx =320=ah2h3h+b+ ch = (2ah2 + 3bh + 6c).326При наших обозначениях мы имеем11y0 = ax2 + bx + c h = ah2 + bh + c,42x= 22y1 = ax + bx + c= c, y2 = ax2 + bx + cx=0x=h= ah2 + bh + c,откуда следуетy1 + y2 + 4y0 = 2ah2 + 3bh + 6c,что и доказывает наше утверждение.2. Площадь эллипса.
Эллипс, уравнение которогоy2x2+= 1,a2b2симметричен относительно координатных осей, а потому искомая площадь S равна учетверенной площади той части эллипса, которая лежитв первом координатном углу, т. е.S=4Zaydx0(рис. 130). Вместо того, чтобы определитьy из уравнения эллипса и подставить полученное выражение и подынтегральнуюфункцию, мы воспользуемся параметрическим представлением эллипса:x = a cos t,Рис. 130.y = b sin t,(5)и введем вместо x новую переменную t; yвыразится тогда сразу вторым из уравнений (5). Когда x меняется от102]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле3170 до a, t меняется от π2 до 0, и так как все условия правила заменыпеременных [99] в данном случае выполнены, тоS=4Z0b sin t d(a cos t) = −4abπ/2Z0π/2Zπ/2sin tdt = 4absin2 tdt.20По формуле (27) [100] при k = 1 мы имеемZπ/2π1 πsin2 tdt = · = ,2 240откуда находим окончательноS = πab.(6)При a = b, когда эллипс обращается в круг радиуса a, получим известное выражение πa2 для площади круга.3.
Вычислить площадь, заключенную между двумя кривымиy = x2 ,x = y2.Данные кривые (рис. 131) пересекаются в двух точках (0, 0), (1, 1), координаты которых мы получим, решая совместно уравнения этих кривых.√Так как в промежутке (0, 1) имеем x > x2 , то искомая площадь S всилу (2) выражается формулойS=Z10Рис. 131.√x−x2dx =2 3/2 x3x−3311 = .30102. Площадь сектора. Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах естьr = f (θ),(7)и двумя радиусами-векторамиθ = α,θ = β,(8)318Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложения[102проведенными из полюса под углами α и β к полярной оси, выражается формулойS=Zβα1 21r dθ =22Zβ[f (θ)]2 dθ.(9)αДля вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь(рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусамивекторами (8) на n частей. Рассмотримплощадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами θ и θ + ∆θ.Обозначив через ∆S его площадь, через m и M — наименьшее и наибольшеезначения функции r = f (θ) в промежутке (θ, θ + ∆θ), мы видим, что ∆Sзаключается между площадями двухкруговых секторов того же растворения ∆θ, но радиусов m и M , т.
е.Рис. 132.11 2m ∆θ 6 ∆S 6 M 2 ∆θ,22а потому, обозначив через P некоторое число, лежащее между m иM , можем написать1∆S = P 2 ∆θ.2Так как непрерывная функция f (θ) в промежутке (θ, θ + ∆θ)принимает все значения между m и M , то в этом промежутке наверное найдется такое значение θ′ , при которомf (θ′ ) = P,а тогда1[f (θ′ )]2 ∆θ.(10)2Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов∆S так, что наибольшее из значений ∆θ стремится к нулю, и если∆S =102]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле319вспомним сказанное в [87], то в пределе получимS = limX12′2[f (θ )] ∆θ =Zβα11[f (θ)]2 dθ =22Zβr2 dθ,αчто и требовалось доказать.Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы (9) заключается в замене площади сектора ∆S площадьюкругового сектора того же растворения ∆θ и радиуса f (θ′ ). Приняв вместо точного выражения (10) приближенное:∆S =1 2r ∆θ,2где r = f (θ′′ ) и θ′′ — любое значение из промежутка (θ, θ + ∆θ), дляплощади этого сектора мы получим в пределе тот же результат:limX12′′2[f (θ )] ∆θ =Zβα1 2r dθ.2(11)При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (11)получает простой геометрический смысл: 12 r2 dθ есть приближенное выражение площадиэлементарного сектора растворения dθ и потому называется просто элементомплощади в полярных координатах.П р и м е р.
Найти площадь,ограниченную замкнутой кривойr = a cos 3θ(a > 0).Кривая эта, построение коРис. 133.торой по точкам не представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади320Гл. III. Понятие об интеграле и его приложениязаштрихованной части, соответствующей изменению θ от 0 допо формуле (9) имеемS=6Zπ/61 2a cos2 3θdθ = a220[103π,6так чтоZπ/6Zπ/2πa2.cos2 3θd(3θ) = a2cos2 tdt =400103. Длина дуги. Пусть имеется дуга AB некоторой кривой.Впишем в нее ломаную линию (рис. 134) и будем увеличивать числосторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремиласьк нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от того,какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой,а упомянутый предел называется длиной этой дуги.
Это же определениедлины годится и для замкнутой криРис. 134.вой.Пусть кривая задана явным уравнением y = f (x), причем точкам A и B соответствуют значения x = a и x = b (a < b), и пустьf (x) имеет непрерывную производную в промежутке a 6 x 6 b, которому и соответствует дуга AB. Мы покажем, что при этих условиях дуга AB спрямляема и что ее длина выражается определенныминтегралом.Пусть AM1 M2 . . . Mn−1 B — вписанная ломаная, причем ее вершинам соответствуют значенияa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b,и обозначим yi = f (xi ). Принимая во внимание формулу для длины отрезка из аналитической геометрии, для периметра ломанойполучим следующую формулуp=n pX(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 =i=1103]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле=321n pX(xi − xi−1 )2 + [f (xi ) − f (xi−1 )]2 .i=1Пользуясь формулой конечных приращенийf (xi ) − f (xi−1 ) = f ′ (ξi )(xi − xi−1 ) (xi−1 < ξi < xi ),получим для длины отдельной стороны ломаной выражениеq1 + f ′ 2 (ξi )(xi − xi−1 ),из которого мы видим, что требование того, чтобы наибольшая изсторон стремилась к нулю, равносильно требованию, чтобы наибольшая из разностей (xi −xi−1 ) стремилась к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
