1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка. В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения.Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:F (x, y, y ′ ) = 0.Это есть соотношение, связывающее независимую переменную x,неизвестную функцию y и ее первую производную y ′ . Обыкновенно можно решить это уравнение относительно y ′ и переписать его в виде:y ′ = f (x, y),где f (x, y) есть известная функция от x и y.Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделаново втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах.93]§ 8. Неопределенный интеграл285Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция f (x, y)представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая только от y:y′ =Помня, что y ′ =dy,dxϕ(x) *.ψ(y)(22)можем переписать это уравнение в виде:ψ(y)dy = ϕ(x)dx,так что в одну часть уравнения входит только буква x, в другую — толькобуква y; это преобразование и называется разделением переменных.
ТаккакZZψ(y)dy = d ψ(y)dy, ϕ(x)dx = d ϕ(x)dx,в силу свойства I [89] получаемZZψ(y)dy = ϕ(x)dx + C,(23)откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию y.П р и м е р ы 1. Химические реакции первого порядка. Обозначив через a количество вещества, имевшегося к началу реакции, через x — количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем [51]уравнениеdx= c(a − x),(24)dtгде c — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условиеx= 0.(25)t=0Разделяя переменные, находимили, интегрируяZdx=a−xdx= cdt,a−xZcdt + C1 ;− log(a − x) = ct + C1 ,* Уравнение вида y ′ = ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами.286Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[93где C1 — произвольная постоянная. Отсюда выводимa − x = e−ct−C1 = Ce−ct ,где C = e−C1 есть также произвольная постоянная. Ее можно определитьиз условия (25), в силу которого предыдущее равенство при t = 0 даетa = C, и окончательноx = a(1 − e−ct ).2. Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные вграмм-молекулах, суть a и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через x,так что количества оставшихся веществ будут a − x и b − x.По основному закону химических реакций второго порядка скоростьтечения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, т. е.dx= k(a − x)(b − x).dtНужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальноеусловиеx= 0.t=0Разделяя переменные, имеемили, интегрируя,dx= kdt,(a − x)(b − x)Zdx= kt + C1 ,(26)(a − x)(b − x)где C1 — произвольная постоянная.Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:BA1+,=(a − x)(b − x)a−xb−x1 = A(b − x) + B(a − x) = −(A + B)x + (Ab + Ba),что даетоткуда−(A + B) = 0;A = −B =Ab + Ba = 1,1,b−a93]§ 8.
Неопределенный интегралтак чтоZdx1=(a − x)(b − x)b−aZdx−a−xZ287dx1b−x=log.b−xb−aa−xПодставляя в (26), имеем:logb−x= (b − a)kt + (b − a)C1 ,a−xb−x= Ce(b−a)kt ,a−xгде C = e(b−a)C1 . Искомая функция x определяется отсюда без всякоготруда.Предлагаем читателю разобрать случай a = b, когда предыдущиеформулы теряют смысл.3. Найти все кривые, пересекающиепод данным постоянным углом радиусывекторы, проведенные из начала координат 6 ) (рис. 121).Пусть M (x, y) есть точка искомой кривой.
Из чертежа мы имеемω = α − θ,tg ω = tg (α − θ) =y ′ − yxtg α − tg θ.=1 + tg α tg θ1 + y ′ xyОбозначив для удобства вычисленийtg ω =1aРис. 121.и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в видеx + yy ′ = a(y ′ x − y)или, умножив обе части на dx,xdx + ydy = a(xdy − ydx).(27)6 Вообще, углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых.288Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[94Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат x, y к полярным r, θ, приняв ось OX за полярнуюось и начало координат O за полюс.
Мы имеем [82]x2 + y 2 = r 2 ,θ = arctgy,xчто даетxdx + ydy = rdr,dθ =11+y2x2dyxdy − ydx=xx2 + y 2 .Уравнение (27) перепишется после этого в виде:rdr = ar 2 dθ, илиdr= adθ.rИнтегрируя, имеемlog r = aθ + C1 , т. е. r = Ceaθ , где C = eC1 .Полученные кривые называются логарифмическими спиралями.§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА94. Основные свойства определенного интеграла. Мы ужеговорили, что определенный интегралI=Zbf (x)dx,a < b,(1)aгде (a, b) — конечный промежуток и f (x) — непрерывная в немфункция, есть предел сумм вида [87]Zbf (x)dx = limnXk=1af (ξk )(xk − xk−1 ).(2)Этот предел надо понимать следующим образом: при любом заданном положительном ε существует такое положительное числоη, чтоnXf (ξk )(xk − xk−1) < εI −k=194]§ 9. Свойства определенного интеграла289при любом разбиении и выборе точек ξk из промежутков (xk−1,xk ),если набольшая из (положительных) разностей xk − xk−1 < η.Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любомвыборе ξk и стремлении наибольшей из разностей xk − xk−1 кнулю.Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает.
Строго говоря, определение упомянутого предела (2) надо понимать так, как это указано выше (с помощь εи η).В конце главы мы докажем существование упомянутого пределасумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будемсчитать подынтегральную функцию непрерывной на промежуткеинтегрирования.Мы предполагали, что нижний предел a интеграла меньше верхнего предела b. Если a = b, то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считатьZaf (x)dx = 0.(3)aЭто равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему.При a > b принимается следующее определение:Zbaf (x)dx = −Zaf (x)dx.(4)bВ интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньшеверхнего a и интеграл понимается обычным образом, как указановыше.
Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму(2), то для нее (a > b) мы получимa = x0 > x1 > x2 > · · · > xk−1 > xk > · · · > xn−1 > xn = b,и все разносит (xk − xk−1 ) отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), т. е.
будем считать290Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[94a верхним пределом и b нижним, то промежуточные точки xk надобудет считать в обратном порядке, и в сумме (2) все разности переменят знак. Эти соображения делают естественным определение(4) в том случае, когда a > b.Отметим еще очевидное равенствоZbdx =aZba1dx = b − a.(5)Действительно, раз подынтегральная функция при всех x равнаединице, тоZbadx = lim[(x1 − a) + (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + · · · ++ (xn−1 − xn−2 ) + (b − xn−1 )].Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной (b−a).Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла.
Первые два из них суть определения, выраженныеравенствами (3) и (4).I. Определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижнимпределами считается равным нулю.II. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак:ZaZbf (x)dx = − f (x)dx.abIII. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:Zbf (x)dx =aЭто уже было выяснено в [87].Zbaf (t)dt.94]§ 9. Свойства определенного интеграла291IV. Если дан ряд чиселa, b, c, .
. . , k, l,Уравнение вида y ′ ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами. расположенных в каком угодно порядке, тоZlf (x)dx =aZbf (x)dx +aZcf (x)dx + · · · +bZlf (x)dx.(6)kЭту формулу достаточно установить для случая трех чисел a,b, c, после чего нетрудно распространить доказательство на какоеугодно число слагаемых.Допустим сперва, что a < b < c.
Из определения вытекает, чтоZcf (x)dx = limnXl=1af (ξi )(xi − xi−1 ),причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ниразбивали на части промежуток (a, c), лишь бы только наибольшаяиз разностей (x1 − xi−1 ) стремилась к нулю. Мы можем условитьсяразбивать промежуток (a, c) так, чтобы точка b, лежащая междуa и c, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогдасуммаnXf (ξi )(xi − xi−1 )i=1разобьется на две такого же типа, с той лишь разницею, что присоставлении одной мы будем разбивать на части промежуток (a, b),при составлении же другой — промежуток (b, c), и притом так, чтов обоих случаях наибольшая из разностей (xi − xi−1 ) стремится кнулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно кZbaf (x)dx,Zcbf (x)dx,292Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[94и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа ξi ,Zcf (x)dx = limnXi=1af (ξi )(xi − xi−1 ) =Zbf (x)dx +aZcf (x)dx,bчто и требовалось доказать.Пусть теперь b лежит вне промежутка (a, c), например a < c < b.По доказанному сейчас мы можем написатьZbaZcaZbZcZbZbf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx,f (x)dx.cоткудаf (x)dx =aaf (x)dx −cНо в силу свойства II имеем−т.
е. опятьZcZbf (x)dx =cf (x)dx =aZcf (x)dx,bZbf (x)dx +aZcf (x)dx.bАналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек.V. Постоянный множитель можно выносить из-под знакаопределенного интеграла, т. е.ZbaAf (x)dx = AZbaf (x)dx,95]§ 9. Свойства определенного интеграла293ибоZbAf (x)dx = limnXi=1aAf (ξi )(x1 − xi−1 ) == A limnXi=1f (ξi )(xi − xi−1 ) = AZbf (x)dx.aVI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например,Zba[f (x) − ϕ(x)]dx = lim= limnXi=1nXi=1[f (ξi ) − ϕ(ξi )](xi − xi−1 ) =f (ξ1 )(xi − xi−1 ) − limnXi=1=ϕ(ξi )(xi − xi−1 ) =Zbaf (x)dx −Zbϕ(x)dx.∗a95.
Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (a, b) функции f (x) и ϕ(x) удовлетворяют условиюf (x) 6 ϕ(x),то иZbaf (x)dx 6Zba 6 x 6 b,ϕ(x)dx(b > a),(7)(8)aкороче говоря, неравенства можно интегрировать.∗ Это верно в том случае если оба интеграла в правой части существуют.Это утверждение является, фактически, следствием теоремы об арифметических действиях с пределами.294Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[95Составим разностьZbaϕ(x)dx −Zbf (x)dx =aZba[ϕ(x) − f (x)]dx == limnXi=1[ϕ(ξi ) − f (ξi )](xi − xi−1 ).В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, то же можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводитк неравенству (8).Приведем еще геометрическое пояснение сказанного.
Допустимсперва, что обе кривыеy = f (x),y = ϕ(x)лежат над осью OX (рис. 122).Тогда фигура, ограниченная кривой y = f (x), осью OX и ординатами x = a и x = b, лежит целиком внутри аналогичной фигуры,ограниченной кривой y = ϕ(x), апотому площадь первой фигурыне превосходит площади второй,т. е.Рис. 122.Zbaf (x)dx 6Zbϕ(x)dx.aОбщий случай какого угодно расположения данных кривыхотносительно оси OX при сохранении условия (7) приводится кпредыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобыобе кривые оказались над осью OX; это передвижение прибавит ккаждой функции f (x) и ϕ(x) одно и то же слагаемое c.Легко показать, что если в (7) имеет место знак <, то и в (8) имеет знак <. Напомним, что функции f (x) и ϕ(x) считаются непрерывными.95]§ 9. Свойства определенного интеграла295С л е д с т в и е. Если в промежутке (a, b)|f (x)| 6 ϕ(x) 6 M,то(9) bZ Zb f (x)dx 6 ϕ(x)dx 6 M (b − a),ab < a.(10)aВ самом деле, условия (9) равносильны следующим:−M 6 −ϕ(x) 6 f (x) 6 ϕ(x) 6 +M.Интегрируя эти неравенства в пределах от a до b (свойство VII) ипользуясь (5), получаем−M (b − a) 6 −Zbϕ(x)dx 6aZbf (x)dx 6aZbaϕ(x)dx 6 M (b − a),что равносильно неравенствам (10).Полагая ϕ(x) = |f (x)|, получаем из (10) важное неравенство: bZ Zb f (x)dx 6 |f (x)|dx,(101 )aaкоторое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы: абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
