1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 41
Текст из файла (страница 41)
113.85]§ 7. Некоторые геометрические приложения255В точке O кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямыепредставляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся в точке O. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по θ,получим2a2 sin 2θ,2rr ′ = −4a2 sin 2θ или r ′ = −rоткудаπr22a2 cos 2θr=−+=−=−ctg2θ=tg2θ,r′2a2 sin 2θ2a2 sin 2θ2πµ = + 2θ.2tg µ =Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы (39)имеемxyr 2 = x2 + y 2 , cos θ = , sin θ = .rrУравнение лемнискаты можно написать в видеr 2 = 2a2 (cos2 θ − sin2 θ);подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты впрямоугольных координатахx2 + y 2 = 2a2x2 − y 2,x2 + y 2или(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ),откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертогопорядка.Г Л А В А IIIПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕИ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ§ 8.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ86. Понятие о неопределенном интеграле. Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача нахождения производной или дифференциала данной функции.Первой основной задачей интегрального исчисления являетсяобратная задача — отыскание функции по заданной ее производнойили дифференциалу.Пусть дана производнаy ′ = f (x)или дифференциалdy = f ′ (x)dxнеизвестной функции y.Функция F (x), имеющая данную функцию f (x) своей производной или f (x)dx своим дифференциалом, называется первообразнойданной функции f (x).Если, например,f (x) = x2 ,86]§ 8.
Неопределенный интеграл257то первообразной функцией будет, например, F (x) = 31 x3 . Действительно,′11 3= · 3x2 = x2 .x33Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную F (x)функцию данной функции f (x), которая имеет f (x) своей производной, т. е. удовлетворяет соотношениюF ′ (x) = f (x).Так как производная от произвольной постоянной C равна нулю, мы имеем также[F (x) + C]′ = F ′ (x) = f (x),т.
е. наряду с F (x) и функция F (x) + C есть также первообразнаяфункция для f (x).Отсюда следует, что если задача нахождения первообразнойфункции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное множество других решений, отличающихся от упомянутого напроизвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, чтоэтим и исчерпываются все решения задачи, а именно:Если F (x) есть какая-либо из первообразных функций для данной функции f (x), то любая другая первообразная функция имеетвидF (x) + C,где C есть произвольная постоянная.∗В самом деле, пусть F1 (x) есть любая функция, имеющая f (x)своей производной. Мы имеемF1′ (x) = f (x).С другой стороны, и рассматриваемая функция F (x) имеет f (x)своей производной, т. е.F ′ (x) = f (x).∗ Заметим, что если функция имеет одну первообразную, то она имеетбесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга на константу.258Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[86Вычитая это равенство из предыдущего, получаемF1′ (x) − F ′ (x) = [F1 (x) − F (x)]′ = 0,откуда, в силу известной теоремы [63],F1 (x) − F (x) = C,где C есть постоянная, что и требовалось доказать.Полученный нами результат можно еще формулировать так:если производные (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постояннымслагаемым.Самое общее выражение для первообразной функции называется также неопределенным интегралом от данной функции f (x)или от данного дифференциала f (x)dx и обозначается символомZf (x)dx,причем функция f (x) называется подынтегральной функцией, аf (x)dx — подынтегральным выражением.Найдя какую-нибудь первообразную функцию F (x), в силу доказанного выше можем написатьZf (x)dx = F (x) + C,где C есть произвольная постоянная.∗Приведем механическое и геометрическое истолкование неопределенного интеграла.
Пусть у нас имеется закон аналитической зависимости скорости от времени:u = f (t)и требуется найти выражение пути s от времени. Так как скоростьдвижения точки по заданной траектории есть производная dsdt от∗ Также говорят, что неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность всех ее первообразных.86]§ 8. Неопределенный интеграл259пути по времени, то задача сводится к нахождению первообразнойданной функции f (t), т.
е.Zs = f (t)dt.Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихсяна постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет местовследствие того, что мы не фиксировали того места, от которогоотсчитываем пройденный пусть s. Если, например, u = gt+u0 (равномерно ускоренное движение), то для s мы получим выражениеs=1 2gt + u0 t + C,2(1)ибо, как нетрудно проверить, производная выражения (1) по t совпадает с заданным выражением u = gt + u0 .
Если мы согласимсяотсчитывать s от той точки, которая соответствует значению t = 0,т. е. если согласимся считать s = 0 при t = 0, то мы должны будемв формуле (1) положить постоянную C = 0. В предыдущих рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой x,а буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения.Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи нахождения первообразной функции. Соотношение y ′ = f (x) показывает,чтографик искомой первообразной функции, или, как говорят, интегральная криваяy = F (x),есть кривая, касательная к которой прилюбом значении x имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентомy ′ = f (x).(2)Иными словами, при любом значениинезависимой переменной x соотношением (2) задано направление касательной кРис.
114.260Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[86кривой и требуется найти эту кривую. Если построена одна такаяинтегральная кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой отрезок параллельно оси OY , будут иметь приодно и том же значении x параллельные касательные с тем же угловым коэффициентом y ′ = f (x) (рис.
114), что и исходная кривая. Упомянутый параллельный перенос равносилен прибавлениюк ординатам кривой постоянного слагаемого C, и общее уравнениекривых, отвечающих задаче, будетy = F (x) + C.(3)Для того чтобы вполне определить положение искомой интегральной кривой, т. е. выражение искомой первообразной функции,нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой прямойx = x0 ,параллельной оси OY . Такое задание равносильно заданию начального значения y0 искомой функции y = F (x), которое она должнаиметь при заданном значении x = x0 . Подставляя эти начальныезначения в уравнение (3), мы получим уравнение для определенияпроизвольной постоянной C:y0 = F (x0 ) + C,и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид:y = F (x) + [y0 − F (x0 )].Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла испособы нахождения первообразной функции, мы изложим вторуюосновную задачу интегрального исчисления и выясним ее связьсформулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения первообразной функции.
Существенным для дальнейшего является новое понятие, а именно понятие определенного интеграла.Для того чтобы естественно прийти к этому новому понятию, мыбудем исходить из интуитивного представления площади. Оно же87]§ 8. Неопределенный интеграл261будет служить нам и для выяснения связи между понятием определенного интеграла и понятием первообразной функции. Такимобразом, рассуждения следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении площади, не являются строгими доказательствами новых фактов.
Логически строгая схема построения основ интегрального исчисления указана в конце [88]. Она приведенаполностью в конце настоящей главы.87. Определенный интеграл как предел суммы. Отметимна плоскости XOY график функции f (x), причем мы считаем, чтоэтот график представляет собою непрерывную кривую, лежащую целиком над осьюOX, т. е.
считаем, что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь Sab , ограниченную осьюOX, этим графиком и двумяРис. 115.ординатами x = a и x = b(рис. 115), и постараемся найти величину этой площади. Разобьемдля этого промежуток (a, b) на n частей в точкахa = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . .
. < xn−1 < xn = b.Рассматриваемая площадь Sab разобьется на n вертикальныхполос, причем k-я полоса имеет основание длины (xk − xk−1 ). Обозначим через mk и Mk соответственно наименьшее и наибольшеезначения функции f (x) в промежутке (xk−1 , xk ), т. е. наименьшуюи наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски лежит между площадями двух прямоугольников собщим основанием (xk−1 , xk ) (рис. 116) и с высотами mk и Mk . Этипрямоугольники являются входящим и выходящим прямоугольниками для k-й полоски.
Таким образом, величина k-й полоски заключается между площадями упомянутых двух прямоугольников,т. е. между двумя числамиmk (xk − xk−1 ) и Mk (xk − xk−1 ),262Гл. III. Понятие об интеграле и его приложенияРис. 116.[87Рис. 117.а потому вся рассматриваемая площадь Sab будет лежать между суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников, т. е.
вся площадь Sab будет лежать между суммамиsn = m1 (x1 − x0 )+m2 (x2 − x1 ) + . . . + mk (xk − xk−1 ) + . . . ++mn−1 (xn−1 − xn−2 ) + mn (xn − xn−1 ),(4)Sn = M1 (x1 − x0 )+M2 (x2 − x1 ) + . . . + Mk (xk − xk−1 ) + . . . ++Mn−1 (xn−1 − xn−2 ) + Mn (xn − xn−1 ).Таким образом, мы имеем неравенствоsn 6 Sab 6 Sn .(5)Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник,принимая, как всегда, за основание (xk − xk−1 ) и взяв за высоту какую-либо ординату f (ξk ) нашего графика, соответствующуюлюбой точке ξk из промежутка (xk−1 , xk ) (рис. 117).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
