Главная » Просмотр файлов » 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98

1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 41

Файл №824737 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008) 41 страница1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737) страница 412021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

113.85]§ 7. Некоторые геометрические приложения255В точке O кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямыепредставляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся в точке O. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по θ,получим2a2 sin 2θ,2rr ′ = −4a2 sin 2θ или r ′ = −rоткудаπr22a2 cos 2θr=−+=−=−ctg2θ=tg2θ,r′2a2 sin 2θ2a2 sin 2θ2πµ = + 2θ.2tg µ =Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы (39)имеемxyr 2 = x2 + y 2 , cos θ = , sin θ = .rrУравнение лемнискаты можно написать в видеr 2 = 2a2 (cos2 θ − sin2 θ);подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты впрямоугольных координатахx2 + y 2 = 2a2x2 − y 2,x2 + y 2или(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ),откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертогопорядка.Г Л А В А IIIПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕИ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ§ 8.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ86. Понятие о неопределенном интеграле. Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача нахождения производной или дифференциала данной функции.Первой основной задачей интегрального исчисления являетсяобратная задача — отыскание функции по заданной ее производнойили дифференциалу.Пусть дана производнаy ′ = f (x)или дифференциалdy = f ′ (x)dxнеизвестной функции y.Функция F (x), имеющая данную функцию f (x) своей производной или f (x)dx своим дифференциалом, называется первообразнойданной функции f (x).Если, например,f (x) = x2 ,86]§ 8.

Неопределенный интеграл257то первообразной функцией будет, например, F (x) = 31 x3 . Действительно,′11 3= · 3x2 = x2 .x33Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную F (x)функцию данной функции f (x), которая имеет f (x) своей производной, т. е. удовлетворяет соотношениюF ′ (x) = f (x).Так как производная от произвольной постоянной C равна нулю, мы имеем также[F (x) + C]′ = F ′ (x) = f (x),т.

е. наряду с F (x) и функция F (x) + C есть также первообразнаяфункция для f (x).Отсюда следует, что если задача нахождения первообразнойфункции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное множество других решений, отличающихся от упомянутого напроизвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, чтоэтим и исчерпываются все решения задачи, а именно:Если F (x) есть какая-либо из первообразных функций для данной функции f (x), то любая другая первообразная функция имеетвидF (x) + C,где C есть произвольная постоянная.∗В самом деле, пусть F1 (x) есть любая функция, имеющая f (x)своей производной. Мы имеемF1′ (x) = f (x).С другой стороны, и рассматриваемая функция F (x) имеет f (x)своей производной, т. е.F ′ (x) = f (x).∗ Заметим, что если функция имеет одну первообразную, то она имеетбесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга на константу.258Гл.

III. Понятие об интеграле и его приложения[86Вычитая это равенство из предыдущего, получаемF1′ (x) − F ′ (x) = [F1 (x) − F (x)]′ = 0,откуда, в силу известной теоремы [63],F1 (x) − F (x) = C,где C есть постоянная, что и требовалось доказать.Полученный нами результат можно еще формулировать так:если производные (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются лишь постояннымслагаемым.Самое общее выражение для первообразной функции называется также неопределенным интегралом от данной функции f (x)или от данного дифференциала f (x)dx и обозначается символомZf (x)dx,причем функция f (x) называется подынтегральной функцией, аf (x)dx — подынтегральным выражением.Найдя какую-нибудь первообразную функцию F (x), в силу доказанного выше можем написатьZf (x)dx = F (x) + C,где C есть произвольная постоянная.∗Приведем механическое и геометрическое истолкование неопределенного интеграла.

Пусть у нас имеется закон аналитической зависимости скорости от времени:u = f (t)и требуется найти выражение пути s от времени. Так как скоростьдвижения точки по заданной траектории есть производная dsdt от∗ Также говорят, что неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность всех ее первообразных.86]§ 8. Неопределенный интеграл259пути по времени, то задача сводится к нахождению первообразнойданной функции f (t), т.

е.Zs = f (t)dt.Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихсяна постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет местовследствие того, что мы не фиксировали того места, от которогоотсчитываем пройденный пусть s. Если, например, u = gt+u0 (равномерно ускоренное движение), то для s мы получим выражениеs=1 2gt + u0 t + C,2(1)ибо, как нетрудно проверить, производная выражения (1) по t совпадает с заданным выражением u = gt + u0 .

Если мы согласимсяотсчитывать s от той точки, которая соответствует значению t = 0,т. е. если согласимся считать s = 0 при t = 0, то мы должны будемв формуле (1) положить постоянную C = 0. В предыдущих рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой x,а буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения.Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи нахождения первообразной функции. Соотношение y ′ = f (x) показывает,чтографик искомой первообразной функции, или, как говорят, интегральная криваяy = F (x),есть кривая, касательная к которой прилюбом значении x имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентомy ′ = f (x).(2)Иными словами, при любом значениинезависимой переменной x соотношением (2) задано направление касательной кРис.

114.260Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[86кривой и требуется найти эту кривую. Если построена одна такаяинтегральная кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой отрезок параллельно оси OY , будут иметь приодно и том же значении x параллельные касательные с тем же угловым коэффициентом y ′ = f (x) (рис.

114), что и исходная кривая. Упомянутый параллельный перенос равносилен прибавлениюк ординатам кривой постоянного слагаемого C, и общее уравнениекривых, отвечающих задаче, будетy = F (x) + C.(3)Для того чтобы вполне определить положение искомой интегральной кривой, т. е. выражение искомой первообразной функции,нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой прямойx = x0 ,параллельной оси OY . Такое задание равносильно заданию начального значения y0 искомой функции y = F (x), которое она должнаиметь при заданном значении x = x0 . Подставляя эти начальныезначения в уравнение (3), мы получим уравнение для определенияпроизвольной постоянной C:y0 = F (x0 ) + C,и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид:y = F (x) + [y0 − F (x0 )].Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла испособы нахождения первообразной функции, мы изложим вторуюосновную задачу интегрального исчисления и выясним ее связьсформулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения первообразной функции.

Существенным для дальнейшего является новое понятие, а именно понятие определенного интеграла.Для того чтобы естественно прийти к этому новому понятию, мыбудем исходить из интуитивного представления площади. Оно же87]§ 8. Неопределенный интеграл261будет служить нам и для выяснения связи между понятием определенного интеграла и понятием первообразной функции. Такимобразом, рассуждения следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении площади, не являются строгими доказательствами новых фактов.

Логически строгая схема построения основ интегрального исчисления указана в конце [88]. Она приведенаполностью в конце настоящей главы.87. Определенный интеграл как предел суммы. Отметимна плоскости XOY график функции f (x), причем мы считаем, чтоэтот график представляет собою непрерывную кривую, лежащую целиком над осьюOX, т. е.

считаем, что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь Sab , ограниченную осьюOX, этим графиком и двумяРис. 115.ординатами x = a и x = b(рис. 115), и постараемся найти величину этой площади. Разобьемдля этого промежуток (a, b) на n частей в точкахa = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . .

. < xn−1 < xn = b.Рассматриваемая площадь Sab разобьется на n вертикальныхполос, причем k-я полоса имеет основание длины (xk − xk−1 ). Обозначим через mk и Mk соответственно наименьшее и наибольшеезначения функции f (x) в промежутке (xk−1 , xk ), т. е. наименьшуюи наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски лежит между площадями двух прямоугольников собщим основанием (xk−1 , xk ) (рис. 116) и с высотами mk и Mk . Этипрямоугольники являются входящим и выходящим прямоугольниками для k-й полоски.

Таким образом, величина k-й полоски заключается между площадями упомянутых двух прямоугольников,т. е. между двумя числамиmk (xk − xk−1 ) и Mk (xk − xk−1 ),262Гл. III. Понятие об интеграле и его приложенияРис. 116.[87Рис. 117.а потому вся рассматриваемая площадь Sab будет лежать между суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников, т. е.

вся площадь Sab будет лежать между суммамиsn = m1 (x1 − x0 )+m2 (x2 − x1 ) + . . . + mk (xk − xk−1 ) + . . . ++mn−1 (xn−1 − xn−2 ) + mn (xn − xn−1 ),(4)Sn = M1 (x1 − x0 )+M2 (x2 − x1 ) + . . . + Mk (xk − xk−1 ) + . . . ++Mn−1 (xn−1 − xn−2 ) + Mn (xn − xn−1 ).Таким образом, мы имеем неравенствоsn 6 Sab 6 Sn .(5)Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник,принимая, как всегда, за основание (xk − xk−1 ) и взяв за высоту какую-либо ординату f (ξk ) нашего графика, соответствующуюлюбой точке ξk из промежутка (xk−1 , xk ) (рис. 117).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее