1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 38
Текст из файла (страница 38)
88.точки (в данном случае — везде). Такая особая точка называется точкойвозврата первого ряда.76]§ 7. Некоторые геометрические приложения2332. Рассмотрим кривую(y − x2 )2 − x5 = 0.Нетрудно проверить, что начало координат является особой точкой кривой. Уравнение кривой в явной форме будет√y = x2 ± x5 .Из этого уравнения видно, что x может изменяться от 0 до (+∞). Определим производные двух первых порядков:y ′ = 2x ±5√ 3x ,2y ′′ = 2 ±15 √x4и исследуем отдельно обе ветви кривой, соответствующие знакам (+) и(—).Заметим, прежде всего, что в обоих случаях, при x = 0 и y ′ = 0и так же, как в предыдущем примере, ось OX будет для обеих ветвейкасательной справа.Исследуя обе ветви обычным способом, получим следующие результаты: для первой ветви при возрастании x от 0 до (+∞) и y возрастаетот 0 до (+∞), и кривая вогнута; на второй ветви имеется вершина (мак6, точка перегиба при x = 225и точка пересечения ссимум) при x = 1625осью OX при x = 1.Принимая во внимание все указанное, получим кривую, изображенную на рис.
88.В начале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе ветви в точке встречи имеют одну и ту же касательную и расположены по одну сторону от этой касательной вблизиособой точки. Такая особая точка называется точкой возврата второгорода.3. Исследуем кривуюy 2 − x4 + x6 = 0.Начало координат есть особая точка кривой. Уравнение кривой в явнойформе будетpy = ±x2 1 − x2 .Уравнение кривой в неявной форме содержит только четные степени xи y, а потому оси координат суть оси симметрии кривой, и достаточноисследовать часть кривой, соответствующую положительным значениям234Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[76x и y. Из уравнения кривой в явной форме видно, что x может изменятьсяот (−1) до 1. Ограничимся вычислением первой производнойx(2 − 3x2 ).y′ = √1 − x2При x = 0 и y = y ′ = 0, т. е. в начале координат, касательная совпадаетс осью OX, а при x = 1, y = 0 и y ′ = ∞, т. е. в точке (1, 0), касательнаяпараллельна оси OY . По обычным правилам найдем, что криваяq будет иметь вершину при x =2.3Рис. 89.Принимая во внимание всесказанное и, в частности, симметричность кривой, получим кривую, изображенную на рис. 89.В начале координат две ветвикривой, соответствующие знакам(+) и (—) перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется точкой соприкосновения.4.
Исследуем кривуюy 2 − x2 (x − 1) = 0.Начало координат есть особая точка кривой. Явное уравнение кривойбудетpy = ± x2 (x − 1).Принимая во внимание, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, можем утверждать, что либо x = 0, либо x > 1. При x = 0и y = 0. Исследуем теперь ветвь кривой, соответствующую знаку (+).При увеличении x от 1 до (+∞) y увеличивается от 0 до (+∞). Из выражения первой производной3x − 2y′ = √2 x−1видно, что, при x = 1, y ′ обращается в бесконечность, т. е.
в точке (1, 0)касательная параллельна оси OY . Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку (—), будет симметрична с исследованной относительно осиOX.77]§ 7. Некоторые геометрические приложения235Принимая все это во внимание, получим кривую, изображенную нарис. 90. В рассматриваемом случае координаты точки O (0, 0) удовлетворяют уравнению кривой, но вблизи нее нет других точек кривой.
Вэтом случае особая точка называется изолированной точкой.Рис. 90.Рис. 91.Указанными выше типами особых точек исчерпываются всевозможные случаи особых точек алгебраических кривых, но может случиться,что в некоторой точке алгебраической кривой произойдет совпадениеособых точек, одинаковых или разных типов.Кривые не алгебраические называются трансцендентными.Предлагаем читателю показать, что уравнениюy = x log xсоответствует кривая, изображенная на рис. 91. Начало координат является точкой прекращения кривой.77. Элементы кривой. Приведем основные формулы, связанные с понятием касательной к кривой и ее кривизны, и введем236Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[77еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной.Если уравнение кривой имеет вид:y = f (x),(27)то угловой коэффициенты касательной есть производная f ′ (x) от yпо x, и уравнение касательной может быть написано в виде:Y − y = y ′ (X − x)(y ′ = f ′ (x)),(28)где (x, y) — координаты точки касания и (X, Y ) — текущие координаты касательной. Нормалью к кривой в точке (x, y) кривой называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно ккасательной в этой точке.
Как известно из аналитической геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратныпои по знаку, т. е. угловой коэффициент нормали будет величине1− y′ , и уравнение нормали можно написать так:Y −y =−1(X − x),y′или(X − x) + y ′ (Y − y) = 0.(29)Пусть M есть некоторая точкакривой, T и N — точки пересечения касательной и нормали кривойв точке M с осью OX, Q — основание перпендикуляра, опущенногоиз точки M на ось OX (рис. 92).Отрезки QT и QN , лежащие наоси OX, называются подкасательРис.
92.ной и поднормалью кривой в точкеM , и отрезкам этим соответствуют определенные числа, положительные или отрицательные, смотря по направлению этих отрезковна оси OX. Длины отрезков M T и M N называются длиною касательной и длиною нормали кривой в точке M , причем длины этимы будем считать всегда положительными. Абсцисса точки Q наоси OX равна, очевидно, абсциссе x точки M . Точки T и N суть77]§ 7.
Некоторые геометрические приложения237точки пересечения касательной и нормали с осью OX, а потомудля определения абсцисс этих точек надо положить в уравнениикасательной и нормали Y = 0 и полученные уравнения разрешитьотносительно X. Мытаким образом, для абсциссы точ получим,yки T выражение x − y′ , а для абсциссы точки N — выражение(x + yy ′ ). Нетрудно теперь определить величину подкасательной иподнормали:yy QT = OT − OQ = x − ′ − x = − ′ , yy(30)QN = ON − OQ = x + yy ′ − x = yy ′ .Из прямоугольных треугольников M QT и M QN можно определить теперь длины касательной и нормали:sqy2yp222′2|M T | = M Q + QT = y + ′2 = ± ′ 1 + y , yy(31)qpp|M N | = M Q2 + QN 2 = y 2 + y 2 y ′2 = ±y 1 + y ′2 ,причем знак ± надо выбирать так, чтобы выражения в правой части оказались положительными.Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:R=±(1 + y ′2 )3/2.y ′′(32)Обозначая длину нормали буквою n, получим из второй из формул (31):pn1 + y ′2 = ± ,ypи, подставляя это значение 1 + y ′2 в формулу (32), будем иметьеще следующее выражение для радиуса кривизны:R=±n3.y 3 y ′′Если кривая задана параметрическиx = ϕ(t),y = ψ(t),(321 )238Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[78то первая и вторая производные y ′ и y ′′ от y по x выражаются поформулам [74]ψ ′ (t)dy= ′ ,dxϕ (t)2ψ ′′ (t)ϕ′ (t) − ϕ′′ (t)ψ ′ (t)d ydx − d2 xdy=.y ′′ =3dx[ϕ′ (t)]3y′ =(33)В частности, подставляя эти выражения в формулу (32), получимвыражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае:R=±{[ϕ′ (t)]2 + [ψ ′ (t)]2 }3/2ds(dx2 + dy 2 )3/2=±=± ,d2 ydx − d2 xdyψ ′′ (t)ϕ′ (t) − ϕ′′ (t)ψ ′ (t)dα(34)где α есть угол, образуемый касательной с осью OX.Если кривая задана неявноF (x, y) = 0,то в силу формулы (25) получим следующее уравнение касательнойFx′ (x, y)(X − x) + Fy′ (x, y)(Y − y) = 0.(35)78.
Цепная линия. Цепной линией называется кривая, которая присоответствующем выборе координатных осей имеет уравнение:xa ax(a > 0).e + e− ay=2Кривая эта дает форму равновесия тяжелой нити, подвешенной за дваконца. Ее нетрудно построить по правилам, указанным в [73], и вид ееуказан на рис. 93. Определим первую и вторую производные от y:xxy1 ax1 xae − e− a , y ′′ =e + e− a = 2 ,y′ =22aaоткуда1 + y ′2 = 1 +xxe a − e− a42=79]§ 7. Некоторые геометрические приложения=4+e2xa−2+e4− 2xa=xxe a + e− a42=239y2.a2′2Подставляя это выражение (1 + y ) во вторую из формул (31), получимдля длины нормали кривойy2,n=aи подставляя выражение для n и y ′′ в формулу (321 ), получимR=y2y 6 a2== n,a3 y 3 yaт. е.
радиус кривизны цепной линии равен длине нормали M N . При x = 0ордината у цепной линии принимаетнаименьшее значение y = a, и соответствующая точка A кривой называетсяее вершиною.На рис. 93 указаны еще некоторые вспомогательные линии, которыенам понадобятся впоследствии. Призамене x на (−x) уравнение цепной линии не меняется, т. е.
ось OY есть осьсимметрии цепной линии.Рис. 93.79. Циклоида. Вообразим круградиуса a, который катится без скольжения по неподвижной прямой.Геометрическое место, описанное при таком движении некоторой точкойM окружности круга, называется циклоидой.Примем прямую, по которой катится круг, за ось OX; за начало координат примем начальное положение точки M , когда окружность касается в ней оси OX, и через t обозначим угол поворота окружности.Обозначим далее: через C — центр окружности, через N — точку касания окружности в ее некотором положении с осью OX, через Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на ось OX, и через R —основание перпендикуляра, опущенного из точки M на диаметр N N1окружности (рис.
94).Принимая во внимание, что ввиду отсутствия скольженияON = дуге N M = at,240Гл. II. Понятие о производной и его приложения[79Рис. 94.можем выразить координаты точки M , описывающей циклоиду, черезпараметр t = ∠N CM :x = OQ = ON − QN = at − a sin t = a(t − sin t),x = QM = N C − RC = a − a cos t = a(1 − cos t).Это и дает нам параметрическое представление циклоиды.Заметим прежде всего, что достаточно рассмотреть изменение t впромежутке (0, 2π), который соответствует полному обороту окружности. После этого полного оборота точка M опять совпадает с точкойкасания O′ окружности и оси OX, но только передвинется на отрезокOO′ = 2πa.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
